Moment obrotowy i pęd kątowy: szczegółowe wyjaśnienia i problem

W artykule omówiono zależność momentu obrotowego od momentu pędu wirującego korpusu i jego rozwiązywane problemy.

Moment obrotowy i moment pędu są odpowiednio obrotowym analogiem siły i liniowego momentu pędu. Moment wypadkowy działający na obracający się korpus wytwarza szybkość zmian momentu pędu wokół osi obrotu zgodnie z prawami Newtona. W przypadku braku momentu obrotowego jego moment pędu jest zachowany. 

Rozważmy ciało sztywne, w którym styczna siła działa na masę punktową m w odległości r od swojej osi obrotu.  

Kiedy siła wypadkowa działa na ciele, które jest przymocowane do osi, jego pęd (mv) zmienia się i zaczyna się poruszać. Ponieważ siła jest przyłożona z dala od swojej osi obrotu, moment pędu (L) jest zbudowany z produkt pęd (P) na ciele i prostopadłej odległości (r) od osi obrotu.

Wielkość momentu pędu jest,

θ

jest kątem między r i P.

Jeśli cząstki wewnętrzne znajdują się u źródła ciała lub

  są antyrównoległe 180^o lub równolegle 0^o względem siebie pęd liniowy

i moment pędu

stać się zerem. 

Przeczytaj o momencie obrotowym i prędkości

Zależność momentu obrotowego i pędu kątowego

Ze względu na przyłożoną siłę na odległość na korpusie generowany jest moment obrotowy, który może obracać się wokół własnej osi. W ten sposób moment obrotowy nadaje ciału ruch obrotowy.

Jak wzór na moment pędu, moment obrotowy jest również równoważny przyłożonej sile na odległość.

Wielkość momentu obrotowego jest,

T=rFsinθ

Kąt pomiędzy r i F wynosi zero. tj. = sin90^o = 1

grzechθ=grzech90o = 1

Więc,  

T=rF1……………..(4)

Prawa ruchu Newtona mówi, F = ma

T=r(ma)…………(5)

Zauważ, że przyspieszenie ciała oznacza zmianę ruchów ciała; więc jego rozmach.

T=rm*dv/dt

T=d/dt*rmv

T=d/dt*rp

Z równania (2),

Zależność między momentem obrotowym a moment pędu jest odpowiednikiem siły i liniowego pędu opisanych przez prawa ruchu Newtona. Równanie (*) to wzór na prawo dynamiki Newtona w ruchu obrotowym. W ten sposób moment obrotowy i moment pędu umożliwiają nam transformację stanu ruchu obrotowego.

Jaki jest moment obrotowy działający na bączek, który zmienia swój pęd z 30 kgm/s na 50 kgm/s w ciągu 5 sekund?

Biorąc pod uwagę,:

L₁ = 30 kgm/s

L₂ = 50 kgm/s

t₁ = 0 s

t₂ = 5 s

Znaleźć:

T=?

Wzór:

T=dl/dt

Rozwiązanie:

Moment obrotowy działający na górę jest obliczany jako,

T=dl/dt

T=L₂-L₁/t₂-t₁

Zastępując wszystkie wartości,

T=50-30/5-0

T=20/4

T = 5

Moment obrotowy działający na górę wynosi 5Nm.

Obracający się korpus o promieniu 1.5 m porusza się z pędem 50 kgm/s. Oblicz moment obrotowy działający na ciało przez 5 sekund, który zmienia jego pęd do 100 kgm/s.

Biorąc pod uwagę,:

r = 1.5m

P₁ = 50 kgm/s

t₂ = 2 s

t₁ = 0 s

P₂ = 100 kgm/s

Znaleźć:=?

T=?

Formuła:

L = rx P

T=dl/dt

Rozwiązanie:

Moment pędu ciała przed wywołaniem momentu obrotowego jest,

L₁ = rx P₁

L₁ = 1.5 x 50

L₁ = 75kg²/ S

Moment pędu ciała po wywołaniu momentu obrotowego jest,

L₂ = rx P₂

L₂ = 1.5 x 100

L₂ = 150kg²/ S

Połączenia moment obrotowy działający na wirujący ciało jest obliczane jako,

T=dl/dt

π=L₂-L₁/t₂-t₁

Zastępując wszystkie wartości,

π=150-75/2-0

π=75/2

π=37.5

Moment obrotowy działający na korpus wynosi 37.5 Nm. 

Znajdź moment obrotowy z momentu pędu

Moment obrotowy znajduje się przez zróżnicowanie momentu pędu.

Rozróżnij równanie (1),

Termin

jest prędkością liniową

\ ciała.

Prędkość i pęd są w dokładnym kierunku. Więc = vpsin0^o = 0

Termin jest zgodny z Prawa Newtona.

Wzór na moment obrotowy i moment pędu

Terminem jest moment obrotowy działający na ciało, który zmienia moment pędu L.

Pozycja wektor r i siła F prostopadła do siebie nawzajem.

Podstawiając powyższe równanie do równania (%),

mZwiązek między liniowy przyspieszenie a i kątowe przyśpieszenie α to a = rα

Połączenia moment obrotowy zapewnia sztywnemu korpusowi wymagane przyspieszenie kątowe w celu wykonania ruchu obrotowego. Kierunek zarówno τ, jak i α wzdłuż osi obrotu. Jeśli są w tym samym kierunku, ciało przyspieszy kątowo. Ale jeśli są w przeciwnym kierunku, ciało zwolni.

Termin pan² jest nazywany "moment bezwładności'(I), który opisuje skłonność ciała do przeciwstawiania się przyspieszeniu kątowemu.

Z równania (*), (7) i (8), wzór na moment obrotowy i moment pędu jest,

Powyższe równanie pokazuje, że dotychczasowy moment obrotowy działający na korpus jako iloczyn momentu bezwładności i przyspieszenie kątowe zmienia swój moment pędu.

Jeśli na korpus nie działa moment obrotowy. tj

jest również zerem. Oznacza to, że moment pędu ciała nie zmienia się ani nie pozostaje stały. W ten sposób moment pędu jest konserwowany. 

Przeczytaj o momencie obrotowym i prędkości kątowej

Jaki jest moment obrotowy działający z odległości 0.5 m na tarczę o masie 5 kg, która przyspiesza do 10 rad/s²?

Biorąc pod uwagę,:

r = 0.5m

m = 5 kg

α= 10 rad/s²

Znaleźć: τ =?

Formuła: τ = Iα

Rozwiązanie:

Moment obrotowy działający na tarczę oblicza się jako:

τ= Iα

Ale moment bezwładności to I =mr²

τ = pan²α

Zastępując wszystkie wartości,

Moment obrotowy działający na tarczę wynosi 12.5 Nm.

Siła 50 N jest przyłożona w odległości 2 m na sztywny korpus 5 kg, który przyspiesza kątowo do 5 rad/s². Oblicz moment obrotowy działający na ciało.

Biorąc pod uwagę,:

F = 50 N

r = 2m

m = 5 kg

Znaleźć: τ =?

Formuła:

Rozwiązanie:

Moment obrotowy na korpusie sztywnym jest obliczany jako,

Ale ja =mr²

Zastępując wszystkie wartości,

Moment obrotowy działający na korpus sztywny wynosi 100 Nm.

Moment obrotowy i pęd kątowy dla układu cząstek

Załóżmy, że układ S zawiera cząstkę j o masie m_j i prędkość v_j.

Z równania (1) moment pędu cząstki j jest dany przez,

Stąd, całkowity moment pędu układu wirującego jest,

Z równania (*), zmiana momentu pędu układu jest,

Termin

działające na system.

Zgodnie z równaniem (%),

W zamkniętym systemie, moment netto jest sumą momentów wewnętrznych i zewnętrznych na poszczególnych cząsteczkach w układzie.

Ale wszystko siły wewnętrzne w ciele są zerowe.

Z powyższego równania rozumiemy, że kiedy zewnętrzny moment obrotowy działa na ciało, zmienia się jego całkowity moment pędu.

Przeczytaj o pędzie systemu

Przeczytaj także:

• Jak znaleźć moment pędu za pomocą masy
• Jak znaleźć pęd w zderzeniach sprężystych
• Co to jest zmiana pędu
• Jak znaleźć pęd liniowy
• Czy pęd jest wielkością wektorową?
• Jak znaleźć pęd w ruchu kołowym
• Jak znaleźć moment pędu układu
• Prawo zachowania pędu
• Jak znaleźć pęd na podstawie wykresu siły i czasu
• Czy pęd jest zachowany w zderzeniu niesprężystym?

Manisha Naika

Witam, nazywam się Manish Naik i ukończyłem studia magisterskie z fizyki na kierunku elektronika półprzewodnikowa jako specjalizacja. Mam trzyletnie doświadczenie w pisaniu artykułów na temat fizyki. Pisanie, którego celem było dostarczenie dokładnych informacji wszystkim czytelnikom, zarówno początkującym, jak i ekspertom.
W wolnym czasie uwielbiam spędzać czas na łonie natury lub zwiedzać miejsca historyczne.
Nie mogę się doczekać, aby połączyć się z Tobą za pośrednictwem LinkedIn –