Prawdopodobieństwo warunkowe: 7 interesujących faktów do poznania

by

Warunkowe prawdopodobieństwo

Warunkowy teoria prawdopodobieństwa wychodzą z koncepcji podejmowania ogromnego ryzyka. jest teraz wiele problemów, które pojawiają się w grach losowych, takich jak rzucanie monetami, rzucanie kostką i granie w karty. 

Teoria prawdopodobieństwa warunkowego jest stosowana w wielu różnych dziedzinach i elastyczności Warunkowe prawdopodobieństwo dostarcza narzędzi do prawie tak wielu różnych potrzeb. teoria prawdopodobieństwa i próby związane z badaniem prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń.

Rozważmy X i Y oba zdarzenia z przypadkowego eksperymentu. Następnie prawdopodobieństwo wystąpienia X w sytuacji, gdy Y już się zdarzyło z P (Y) ≠ 0, jest znane jako prawdopodobieństwo warunkowe i jest oznaczone jako P (X / Y).

Dlatego P (X / Y) = prawdopodobieństwo wystąpienia X, jeśli pod warunkiem, że Y już się wydarzyło.

P(X Y)/P(Y) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

Podobnie P (Y / X) = prawdopodobieństwo wystąpienia Y, ponieważ X już się wydarzyło.

P(X ⋂ Y)/P(X) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

W skrócie w niektórych przypadkach P (X / Y) jest używane do określenia prawdopodobieństwa wystąpienia X, gdy wystąpi Y. Podobnie, P (Y / X) służy do określenia prawdopodobieństwa wystąpienia Y podczas X.

Co to jest twierdzenie o mnożeniu na prawdopodobieństwie?

Jeśli X i Y oba są samonośnymi (niezależnymi) zdarzeniami arbitralnego eksperymentu, to

P(X ⋂ Y) = P(X). P( X/Y ), jeśli P ( X ) ≠ 0

P(X ⋂ Y) = P(Y). P( Y/X ), jeśli P ( Y ) ≠ 0

Co to są twierdzenia o mnożeniu dla zdarzeń niezależnych? 

If X i Y oba są samonośnymi (niezależnymi) zdarzeniami połączonymi z dowolnym eksperymentem, wtedy P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)

to znaczy, prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe pomnożeniu ich prawdopodobieństw. Używając twierdzenia o mnożeniu, mamy P (X ∩ Y) = P (Y). P (Y / X)

 Ponieważ X i Y są niezależnymi zdarzeniami, dlatego P (Y / X) = P (Y)

Oznacza to, że P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)

Chociaż wydarzenia wzajemnie się wykluczają: 

Jeśli X i Y są zdarzeniami wzajemnie się wykluczającymi, to ⇒ n(X ∩ Y)= 0 , P(X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

Dla dowolnych trzech wydarzeń X, Y, Z, które wzajemnie się wykluczają, 

P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0

P(X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

Chociaż wydarzenia są niezależne: 

Jeśli X i Y są zdarzeniami nieograniczonymi (lub niezależnymi), to

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)

Niech więc X i Y będą dwoma zdarzeniami związanymi z dowolnym (lub przypadkowym) eksperymentem

KodCogsEqn 1 2
KodCogsEqn 2 1

Jeśli Y⊂ X, to

KodCogsEqn 4

(b) P(Y) ≤ P(X)

Podobnie, jeśli X⊂ Y, to

KodCogsEqn 6

(b) P(X) ≤ P(Y)

Prawdopodobieństwo wystąpienia X ani Y nie jest takie 

KodCogsEqn 8

Przykład: Jeśli z talii kart zostanie wybrana jedna karta. Jaka jest możliwa szansa, że ​​jest to pik lub król?

rozwiązanie:

P (A) = P (karta pikowa) = 13/52

P (B) = P (karta króla) = 4/52

P (pik lub karta króla) = P (A lub B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

Przykład: Ktoś jest znany z tego, że trafia w cel z szansami 3 na 4, podczas gdy inna osoba trafia w cel z szansami 2 na 3. Dowiedz się, czy istnieje prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony, gdy obie osoby próbują.

rozwiązanie:

 prawdopodobieństwo trafienia celu przez pierwszą osobę = P (A) = 3/4

prawdopodobieństwo trafienia celu przez drugą osobę = P (B) = 2/3

Te dwa zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie, ponieważ obie osoby osiągnęły ten sam cel = P (A lub B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

Przykład: If  A  i B czy są dwa zdarzenia takie, że P(A)=0.4, P(A+B)=0.7 i P(AB)=0.2, a następnie P(B)?

rozwiązanie: Ponieważ mamy P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)

=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2

=> P (B) = 0.5

Przykład: Karta jest wybierana dowolnie z talii kart. Jaka jest możliwość, że karta będzie czerwoną kartą lub damą.

Rozwiązanie: Wymagane prawdopodobieństwo to

P (czerwony + królowa) -P (czerwony ⋂ królowa)

= P (czerwony) + P (królowa) -P (czerwony ⋂ królowa)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

Przykład: Jeśli prawdopodobieństwo niepowodzenia testu X wynosi 0.3, a prawdopodobieństwo Y wynosi 0.2, to znajdź prawdopodobieństwo, że X lub Y nie zdały testu?

Rozwiązanie: Tutaj P(X)=0.3, P(Y)=0.2

Teraz P(X ∪ Y) = P(X) +P(Y) -P(X ⋂ Y)

Ponieważ są to wydarzenia niezależne, więc

P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)

Zatem wymagane prawdopodobieństwo wynosi 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44

Przykład: Szanse na porażkę z fizyki wynoszą 20%, a możliwość porażki z matematyki to 10%. Jakie są możliwości nie zaliczenia przynajmniej jednego przedmiotu?

Rozwiązanie: Niech P(A) =20/100=1/5, P(B) =10/100=1/10

Ponieważ wydarzenia są niezależne i musimy znaleźć 

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

Zatem szansa niepowodzenia z jednego przedmiotu wynosi (14/50) X 100 = 28%

Przykład: Prawdopodobieństwo rozwiązania zadania przez trzech uczniów wynosi odpowiednio 1/2,1, 4/1 i 6/XNUMX. Jaka będzie możliwa szansa na odpowiedź na pytanie?

Rozwiązanie:

(i) To pytanie może również rozwiązać jeden uczeń

(ii) Na to pytanie może odpowiedzieć dwóch uczniów jednocześnie.

(iii) Na to pytanie może odpowiedzieć razem trzech uczniów.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A). P (B) + P (B). P (C) + P (C)). P (A)] + [P (A). P (B). P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

Przykład: Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

X12345678
P(X)0.150.230.120.100.200.080.070.05
Prawdopodobieństwo warunkowe: przykład

Dla zdarzeń E ={X jest liczbą pierwszą} i F={X<4} znajdź prawdopodobieństwo P(E ∪ F) .

Rozwiązanie:

E = {X to liczba pierwsza}

P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62

F ={X < 4}, P(F) =P(1)+P(2)+P(3)=0.50

i P(E ⋂ F) = P(2) + P(3) =0.35

P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

Przykład: Rzucamy trzema monetami. Jeśli na jednej z nich pojawi się ogon, jakie jest prawdopodobieństwo, że na wszystkich trzech monetach pojawi się ogon?

Rozwiązanie: Rozważać E to wydarzenie, w którym na wszystkich trzech monetach pojawia się ogon i F jest zdarzeniem, w którym moneta pojawia się ogon. 

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

i E = {TTT}

Wymagane prawdopodobieństwo = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7

Całkowite prawdopodobieństwo i reguła Baye'a

Prawo całkowitego prawdopodobieństwa:

Dla przestrzeni próbnej S in wzajemnie wykluczające się i wyczerpujące zdarzenia E1 E2 ….MIn związane z losowym eksperymentem. Jeśli X jest konkretnym wydarzeniem, które ma miejsce ze zdarzeniami E1 Ruda2 albo albo En, następnie 

Reguła Baye'a: 

Rozważać S być przestrzenią próbną i E.1, E2,… ..En be n niezgodne (lub wzajemnie wykluczające się) zdarzenia, takie jak

gif

i P(Ei) > 0 dla i = 1,2,…,n

Możemy myśleć Eijako czynniki prowadzące do wyniku eksperymentu. Prawdopodobieństwa P(Ei), i = 1, 2,… .., n nazywane są wcześniejszymi (lub wcześniejszymi) prawdopodobieństwami. Jeżeli ocena jest wynikiem zdarzenia X, gdzie P(X)> 0. Następnie musimy dostrzec możliwość, że spostrzegane zdarzenie X było przyczyną Eiczyli szukamy warunkowego prawdopodobieństwa P (Ei/X) . Prawdopodobieństwa te nazywane są prawdopodobieństwami późniejszymi, określonymi przez regułę Baye’a jako

KodCogsEqn 11

Przykład: Istnieją 3 Pudełka, które zawierają 2 niebieskie i 3 zielone kulki; 4 niebieskie i 1 zielona kulka oraz odpowiednio 3 niebieskie i 7 zielonych kulek. Z jednego z pudełek losuje się kulkę i okazuje się, że jest to zielona kulka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że został wyciągnięty z Pudełka zawierającego najwięcej zielonych kulek.

Rozwiązanie: Rozważ następujące wydarzenia:

A -> narysowany marmur jest zielony;

E1 -> Zaznaczono pole 1;

E2 Pole 2 jest wybrane

E3 Wybrano pole 3.

P (E.1) = P (E.2) = P (E.3) = 1/3, p (A / E1) = 3/5

Następnie

P (A / E2)=1/5, P(A/E3) = 7/10

Wymagane prawdopodobieństwo = P (E.3/ZA)

P (E.3)P(A/E)3)/P(E1)P(A/E)1)+P(E2)P(A/E)2)+P(E3)P(A/E)3) = 7/15

Przykład: Na teście wstępnym znajdują się pytania wielokrotnego wyboru. Na każde pytanie istnieją cztery prawdopodobne poprawne odpowiedzi, z których jedna jest prawidłowa. Prawdopodobieństwo, że uczeń dostrzeże właściwą odpowiedź na dane pytanie, wynosi 90%. Jeśli otrzyma właściwą odpowiedź na dane pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że to przewidział.

Rozwiązanie: Definiujemy następujące zdarzenia:

A1 : On zna odpowiedź.

A2 : Może nie znać odpowiedzi.

E: Jest świadomy właściwej odpowiedzi.

ROCZNIE1) =9/10, P(A2) =1-9/10=1/10, P(E/A1) = 1,

GROSZEK2) = 1/4

uLx44GwAKqC5FgaL3pOZbwf6PytzEThkEgj1wp1QOhW7NHbiboSvyGjKjfVSpcNTxeR nEuIiYOwQhKhUHvnIXZ7i58YjsAvAKyB7DJAQLePSkZLYRoLLbIIZd3JaC Ewhor dc A więc oczekiwane prawdopodobieństwo

Warunkowe prawdopodobieństwo
Warunkowe prawdopodobieństwo

Przykład: Wiadro A zawiera 4 żółte i 3 czarne kulki oraz wiadro B zawiera 4 czarne i 3 żółte kulki. Losowo bierze się jeden Wiadro, a następnie dobiera się Marmur i zaznacza, że ​​jest żółty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przyjdzie Bucket B.

Rozwiązanie: Opiera się na twierdzeniu Baye'a. 

Prawdopodobieństwo wybrania Wiadra A , P(A)=1/2

Prawdopodobieństwo wybrania Wiadra B , P (B) = 1/2

Prawdopodobieństwo pobrania żółtego marmuru z wiadra A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

Prawdopodobieństwo pobrania żółtego marmuru z wiadra B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

Całkowite prawdopodobieństwo żółtych kulek = (2/7) + (3/14) = 1/2

Prawdopodobieństwo, że Yellow Marbles pochodzi z Bucketa B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

Wnioski:

 W tym artykule omawiamy głównie na Warunkowe prawdopodobieństwo i twierdzenie Bayesa z przykładami z nich bezpośrednią i zależną konsekwencję próby, którą omawiamy do tej pory w kolejnych artykułach, wiążemy prawdopodobieństwo ze zmienną losową i omówimy niektóre znane terminy związane z teorią prawdopodobieństwa, jeśli chcesz dalej czytać, przejdź do:

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma oraz W.strona ikipedia.

Więcej informacji można znaleźć w naszym strona matematyki.