Warunkowe prawdopodobieństwo
Warunkowy teoria prawdopodobieństwa wychodzą z koncepcji podejmowania ogromnego ryzyka. jest teraz wiele problemów, które pojawiają się w grach losowych, takich jak rzucanie monetami, rzucanie kostką i granie w karty.
Teoria prawdopodobieństwa warunkowego jest stosowana w wielu różnych dziedzinach i elastyczności Warunkowe prawdopodobieństwo dostarcza narzędzi do prawie tak wielu różnych potrzeb. teoria prawdopodobieństwa i próby związane z badaniem prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń.
Rozważmy X i Y oba zdarzenia z przypadkowego eksperymentu. Następnie prawdopodobieństwo wystąpienia X w sytuacji, gdy Y już się zdarzyło z P (Y) ≠ 0, jest znane jako prawdopodobieństwo warunkowe i jest oznaczone jako P (X / Y).
Dlatego P (X / Y) = prawdopodobieństwo wystąpienia X, jeśli pod warunkiem, że Y już się wydarzyło.
P(X Y)/P(Y) = n(X ⋂ Y)/n (Y )
Podobnie P (Y / X) = prawdopodobieństwo wystąpienia Y, ponieważ X już się wydarzyło.
P(X ⋂ Y)/P(X) = n(X ⋂ Y)/n (Y )
W skrócie w niektórych przypadkach P (X / Y) jest używane do określenia prawdopodobieństwa wystąpienia X, gdy wystąpi Y. Podobnie, P (Y / X) służy do określenia prawdopodobieństwa wystąpienia Y podczas X.
Co to jest twierdzenie o mnożeniu na prawdopodobieństwie?
Jeśli X i Y oba są samonośnymi (niezależnymi) zdarzeniami arbitralnego eksperymentu, to
P(X ⋂ Y) = P(X). P( X/Y ), jeśli P ( X ) ≠ 0
P(X ⋂ Y) = P(Y). P( Y/X ), jeśli P ( Y ) ≠ 0
Co to są twierdzenia o mnożeniu dla zdarzeń niezależnych?
If X i Y oba są samonośnymi (niezależnymi) zdarzeniami połączonymi z dowolnym eksperymentem, wtedy P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)
to znaczy, prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe pomnożeniu ich prawdopodobieństw. Używając twierdzenia o mnożeniu, mamy P (X ∩ Y) = P (Y). P (Y / X)
Ponieważ X i Y są niezależnymi zdarzeniami, dlatego P (Y / X) = P (Y)
Oznacza to, że P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)
Chociaż wydarzenia wzajemnie się wykluczają:
Jeśli X i Y są zdarzeniami wzajemnie wykluczającymi się, to ⇒ n (X ∩ Y) = 0, P (X ∩ Y) = 0
P (XUY) = P (X) + P (Y)
Dla dowolnych trzech wydarzeń X, Y, Z, które wzajemnie się wykluczają,
P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0
P(X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)
Chociaż wydarzenia są niezależne:
Jeśli X i Y są zdarzeniami nieograniczonymi (lub niezależnymi), to
P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)
P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)
Niech więc X i Y będą dwoma zdarzeniami związanymi z dowolnym (lub przypadkowym) eksperymentem
Jeśli Y⊂ X, to
(b) P(Y) ≤ P(X)
Podobnie, jeśli X⊂ Y, to
(b) P(X) ≤ P(Y)
Prawdopodobieństwo wystąpienia X ani Y nie jest takie
Przykład: Jeśli z talii kart zostanie wybrana jedna karta. Jaka jest możliwa szansa, że jest to pik lub król?
rozwiązanie:
P (A) = P (karta pikowa) = 13/52
P (B) = P (karta króla) = 4/52
P (pik lub karta króla) = P (A lub B)
= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)
= P (A) + P (B) -P (A) P (B)
=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}
= 4 / 13
Przykład: Ktoś jest znany z tego, że trafia w cel z szansami 3 na 4, podczas gdy inna osoba trafia w cel z szansami 2 na 3. Dowiedz się, czy istnieje prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony, gdy obie osoby próbują.
rozwiązanie:
prawdopodobieństwo trafienia celu przez pierwszą osobę = P (A) = 3/4
prawdopodobieństwo trafienia celu przez drugą osobę = P (B) = 2/3
Te dwa zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie, ponieważ obie osoby osiągnęły ten sam cel = P (A lub B)
= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)
= P (A) + P (B) -P (A) P (B)
=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}
= 11 / 12
Przykład: If A i B czy dwa zdarzenia są takie, że P (A) = 0.4, P (A + B) = 0.7 i P (AB) = 0.2, a następnie P (B)?
rozwiązanie: Ponieważ mamy P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)
=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2
=> P (B) = 0.5
Przykład: Karta jest wybierana dowolnie z talii kart. Jaka jest możliwość, że karta będzie czerwoną kartą lub damą.
Rozwiązanie: Wymagane prawdopodobieństwo to
P (czerwony + królowa) -P (czerwony ⋂ królowa)
= P (czerwony) + P (królowa) -P (czerwony ⋂ królowa)
=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13
Przykład: Jeśli prawdopodobieństwo niepowodzenia testu X wynosi 0.3, a prawdopodobieństwo Y wynosi 0.2, to znajdź prawdopodobieństwo, że X lub Y nie zdały testu?
Rozwiązanie: Tutaj P (X) = 0.3, P (Y) = 0.2
Teraz P (X ∪ Y) = P (X) + P (Y) -P (X ⋂ Y)
Ponieważ są to wydarzenia niezależne, więc
P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)
Zatem wymagane prawdopodobieństwo wynosi 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44
Przykład: Szanse na porażkę z fizyki wynoszą 20%, a możliwość porażki z matematyki to 10%. Jakie są możliwości nie zaliczenia przynajmniej jednego przedmiotu?
Rozwiązanie: Niech P (A) = 20/100 = 1/5, P (B) = 10/100 = 1/10
Ponieważ wydarzenia są niezależne i musimy znaleźć
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)
=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50
Zatem szansa niepowodzenia z jednego przedmiotu wynosi (14/50) X 100 = 28%
Przykład: Prawdopodobieństwo rozwiązania pytania przez trzech uczniów wynosi odpowiednio 1 / 2,1 / 4 i 1/6. Jaka będzie możliwa szansa odpowiedzi na pytanie?
Rozwiązanie:
(i) To pytanie może również rozwiązać jeden uczeń
(ii) Na to pytanie może odpowiedzieć dwóch uczniów jednocześnie.
(iii) Na to pytanie może odpowiedzieć razem trzech uczniów.
P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A). P (B) + P (B). P (C) + P (C)). P (A)] + [P (A). P (B). P (C)]
=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48
Przykład: Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P(X) | 0.15 | 0.23 | 0.12 | 0.10 | 0.20 | 0.08 | 0.07 | 0.05 |
Dla zdarzeń E = {X jest liczbą pierwszą} i F = {X <4} znajdź prawdopodobieństwo P (E ∪ F).
Rozwiązanie:
E = {X to liczba pierwsza}
P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62
F = {X <4}, P (F) = P (1) + P (2) + P (3) = 0.50
i P (E ⋂ F) = P (2) + P (3) = 0.35
P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)
= 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77
Przykład: Rzucane są trzy monety. Jeśli jedna z nich pojawi się ogonem, to jaka byłaby możliwa szansa, że wszystkie trzy monety pojawią się w ogonie?
Rozwiązanie: Rozważać E jest zdarzeniem, w którym wszystkie trzy monety pojawiają się ogon i F jest zdarzeniem, w którym moneta pojawia się ogon.
F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
i E = {TTT}
Wymagane prawdopodobieństwo = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7
Całkowite prawdopodobieństwo i reguła Baye'a
Prawo całkowitego prawdopodobieństwa:
Dla przestrzeni próbnej S in wzajemnie wykluczające się i wyczerpujące zdarzenia E1 E2 ….MIn związane z losowym eksperymentem. Jeśli X jest konkretnym wydarzeniem, które ma miejsce ze zdarzeniami E1 Ruda2 albo albo En, następnie
Reguła Baye'a:
Rozważać S być przestrzenią próbną i E.1, E2,… ..En be n niezgodne (lub wzajemnie wykluczające się) zdarzenia, takie jak
i P(Ei) > 0 dla i = 1,2,…,n
Możemy myśleć Eijako czynniki prowadzące do wyniku eksperymentu. Prawdopodobieństwa P(Ei), i = 1, 2,… .., n nazywane są wcześniejszymi (lub wcześniejszymi) prawdopodobieństwami. Jeżeli ocena jest wynikiem zdarzenia X, gdzie P(X)> 0. Następnie musimy dostrzec możliwość, że spostrzegane zdarzenie X było przyczyną Eiczyli szukamy warunkowego prawdopodobieństwa P (Ei/ X). Te prawdopodobieństwa są znane jako prawdopodobieństwa a posteriori, określone przez regułę Baye'a jako
Przykład: Istnieją 3 Pudełka, które zawierają 2 niebieskie i 3 zielone kulki; 4 niebieskie i 1 zielona kulka oraz odpowiednio 3 niebieskie i 7 zielonych kulek. Z jednego z pudełek losuje się kulkę i okazuje się, że jest to zielona kulka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że został wyciągnięty z Pudełka zawierającego najwięcej zielonych kulek.
Rozwiązanie: Rozważ następujące wydarzenia:
A -> narysowany marmur jest zielony;
E1 -> Zaznaczono pole 1;
E2 Pole 2 jest wybrane
E3 Pole 3 jest wybrane.
P (E.1) = P (E.2) = P (E.3) = 1/3, p (A / E1) = 3/5
Następnie
P (A / E2) = 1/5, P (A / E3) = 7/10
Wymagane prawdopodobieństwo = P (E.3/ZA)
P (E.3)P(A/E)3)/P(E1)P(A/E)1)+P(E2)P(A/E)2)+P(E3)P(A/E)3) = 7/15
Przykład: W teście wstępnym są pytania wielokrotnego wyboru. Istnieją cztery prawdopodobne poprawne odpowiedzi na każde pytanie, z których jedna jest poprawna. Prawdopodobieństwo, że uczeń dostrzeże właściwą odpowiedź na dane pytanie, wynosi 90%. Jeśli uzyska prawidłową odpowiedź na konkretne pytanie, to jaka jest prawdopodobna szansa, którą przewidział.
Rozwiązanie: Definiujemy następujące zdarzenia:
A1 : On zna odpowiedź.
A2 : Może nie znać odpowiedzi.
E: On zna właściwą odpowiedź.
ROCZNIE1) = 9/10, P (A.2) = 1-9 / 10 = 1/10, P (E / A1) = 1,
GROSZEK2) = 1/4
Przykład: Wiadro A zawiera 4 żółte i 3 czarne kulki oraz wiadro B zawiera 4 czarne i 3 żółte kulki. Losowo bierze się jeden Wiadro, a następnie dobiera się Marmur i zaznacza, że jest żółty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przyjdzie Bucket B.
Rozwiązanie: Opiera się na twierdzeniu Baye'a.
Prawdopodobieństwo wybrania Wiadra A , P (A) = 1/2
Prawdopodobieństwo wybrania Wiadra B , P (B) = 1/2
Prawdopodobieństwo pobrania żółtego marmuru z wiadra A =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7
Prawdopodobieństwo pobrania żółtego marmuru z wiadra B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14
Całkowite prawdopodobieństwo żółtych kulek = (2/7) + (3/14) = 1/2
Prawdopodobieństwo, że Yellow Marbles pochodzi z Bucketa B
P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7
Wnioski:
W tym artykule omawiamy głównie na Warunkowe prawdopodobieństwo i twierdzenie Bayesa z przykładami z nich bezpośrednią i zależną konsekwencję próby, którą omawiamy do tej pory w kolejnych artykułach, wiążemy prawdopodobieństwo ze zmienną losową i omówimy niektóre znane terminy związane z teorią prawdopodobieństwa, jeśli chcesz dalej czytać, przejdź do:
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma oraz W.strona ikipedia.
Więcej informacji można znaleźć w naszym strona matematyki.
