Właściwości permutacji i kombinacji
Podczas omawiania permutacji i kombinacji, ponieważ mamy do czynienia z selekcją i aranżacją, z uwzględnieniem kolejności lub bez, w zależności od sytuacji istnieją różne typy i właściwości permutacja i kombinacja, te różnice między permutacjami i kombinacjami wyjaśnimy tutaj na uzasadnionych przykładach.
permutacje bez powtórzeń
Jest to normalna permutacja, która organizuje n obiektów wziętych r na raz, tj. NPr
n Pr= n! / (nr)!
liczba porządków n różnych obiektów wykonanych jednocześnie n Pn = n!
Ponadto mamy
nP0 = n! / n! = 1
nPr = n.n-1Pr-1
0! = 1
1 / (- r)! = 0 lub (-r)! = ∞
permutacje z powtórzeniami
Liczba permutacji (aranżacji) dla różnych elementów, przyjmowanych r na raz, gdzie każdy element może się zdarzyć raz, dwa, trzy razy, …… .. r-razy więcej w dowolnym układzie = Liczba sposobów wypełnienia r obszarów, w których każdy element można wypełnić dowolnym z n elementów.
Liczba permutacji = liczba sposobów wypełnienia r miejsca = (n)r
Liczba zamówień, które można zorganizować za pomocą n obiektów, z których p są podobne (i jednego rodzaju) q są podobne (i innego rodzaju), r są podobne (i innego rodzaju) a reszta jest odrębna nPr = n! / (p! q! r!)
Przykład:
Na ile sposobów można podzielić 5 jabłek na czterech chłopców, kiedy każdy może wziąć jedno lub więcej jabłek.
Rozwiązanie: To jest przykład permutacji z powtórzeniami, ponieważ wiemy, że w takich przypadkach mamy
Liczba permutacji = liczba sposobów wypełnienia r miejsc = nr
Wymagana liczba dróg to 45 = 10, Ponieważ każde jabłko można rozprowadzać na 4 sposoby.
Przykład: Znajdź liczbę słów, które można uporządkować za pomocą liter słowa MATEMATYKA, grupując je.
Rozwiązanie: Tutaj możemy zauważyć, że są 2 M, 2 A i 2 T to jest przykład permutacji z powtórzeniami
= n! / (p! q! r!)
Wymagana liczba dróg to = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600
Przykład: Na ile sposobów liczba ogonów równa się liczbie orłów, jeśli sześć identycznych monet jest ułożonych w rzędzie.
Rozwiązanie: Tutaj możemy to zaobserwować
Liczba głowic = 3
Liczba ogonów = 3
A ponieważ monety są identyczne, jest to przykład permutacji z powtórzeniem = n! / (P! Q! R!)
Wymagana liczba dróg = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20
Permutacja kołowa:
W permutacji kołowej najważniejszym porządkiem obiektu jest szacunek dla innych.
Tak więc w permutacji kołowej dostosowujemy położenie jednego obiektu i układamy inne obiekty we wszystkich kierunkach.
Permutację kołową można podzielić na dwa sposoby:
(i) Permutacja kołowa, gdzie sugerują ustawienia zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara różne permutacje, np. układy do siedzenia ludzi wokół stołu.
(ii) Permutacja kołowa, w której wyświetlane są ustawienia zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ta sama permutacjanp. układanie pewnych koralików w naszyjnik.
Układ prawoskrętny i lewoskrętny
Jeśli kolejność i ruch w lewo i w prawo są nie inaczej np. układ koralików w naszyjniku, kompozycja kwiatowa w girlandzie itp., a następnie liczba kolistych permutacji n różne elementy to (n-1)! / 2
- Liczba permutacji kołowych dla n różnych pozycji, pobieranych r na raz, gdy zamówienia zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są uważane za różne by nPr /r
- Liczba permutacji kołowych dla n różnych elementów, pobieranych r na raz, gdy porządki zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są nie inaczej od nPr / 2r
- Liczba permutacji cyklicznych n różnych obiektów wynosi (n-1)!
- Liczba sposobów, w jakie n różni chłopcy mogą siedzieć wokół okrągłego stołu (n-1)!
- Liczba sposobów, w jakie n różne klejnoty mogą być ustawione w celu utworzenia naszyjnika, to (n-1)! / 2
Przykład:
Na ile sposobów można umieścić pięć kluczy w ringu
Rozwiązanie:
Ponieważ zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są takie same w przypadku pierścienia.
Jeśli sekwencja i ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i zgodnie z ruchem wskazówek zegara są nie inaczej to liczba permutacji cyklicznych n odrębne elementy to
= (n-1)! / 2
Wymagana liczba dróg = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12
Przykład:
Jaka byłaby liczba ustaleń, gdyby jedenastu członków komisji zasiadało przy okrągłym stole, tak aby przewodniczący i sekretarz zawsze siedzieli razem.
Rozwiązanie:
Według fundamentalnej własności permutacji kołowej
Liczba kolistych permutacji n różnych rzeczy to (n-1)!
Ponieważ dwie pozycje są stałe, więc mamy
Wymagana liczba dróg (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760
Przykład: Jaka byłaby liczba sposobów, na jakie 6 mężczyzn i 5 kobiet mogłoby jeść przy okrągłym stole, gdyby nie dwie kobiety mogły usiąść razem
Rozwiązanie: Według fundamentalnej własności permutacji kołowej.
Liczba kolistych permutacji n różnych rzeczy to (n-1)!
Liczba sposobów ustawienia 6 mężczyzn przy okrągłym stole = (6 - 1)! = 5!
Teraz kobiety można ułożyć w 6! drogi i łączna liczba dróg = 6! × 5!
Kombinacje bez powtórzeń
Jest to zwykła kombinacja, która jest „liczbą kombinacji (wyborów lub grup), z których można utworzyć n różne obiekty zrobione r na raz nCr = n! / (nr)! r!
Również nCr =nCrr
n Pr / r! = n! / (nr)! =nCr
Przykład: Znajdź liczbę opcji do obsadzenia 12 wakatów, jeśli jest 25 kandydatów, a pięciu z nich pochodzi z zaplanowanej kategorii, pod warunkiem, że 3 wakaty są zarezerwowane dla kandydatów na SC, podczas gdy pozostałe są otwarte dla wszystkich.
Rozwiązanie: Ponieważ 3 wakaty są obsadzone z 5 kandydatów w 5 C3 sposobów (tj. 5 WYBIERZ 3) i teraz pozostali kandydaci to 22, a pozostałe miejsca to 9, więc tak będzie 22C9 (22 WYBIERZ 9) Wyboru można dokonać w 5 C3 X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}
5 C3 X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200
Więc wyboru można dokonać na 4974200 sposobów.
Przykład: W wyborach jest 10 kandydatów i trzy wakaty. na ile sposobów wyborca może oddać swój głos?
Rozwiązanie: Ponieważ są tylko 3 wolne miejsca dla 10 kandydatów, jest to problem 10 WYBIERZ 1, 10 WYBIERZ 2 i 10 WYBIERZ 3 Przykłady,
Wyborca może głosować 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.
Tak więc wyborcy mogą głosować na 175 sposobów.
Przykład:W pokoju dla 9 osób znajduje się 4 krzeseł, w tym jedno miejsce dla gościa z jednym konkretnym krzesłem. Na ile sposobów mogą siedzieć?
Rozwiązanie: Ponieważ można wybrać 3 krzesła 8C3 i wtedy 3 osoby mogą być ustawione w 3! sposoby.
Na 3 krzesłach 8 osoby 8C3 (tj. 8 WYBIERZ 3) aranżację
=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!
= 56X6 = 336
Na 336 sposobów mogą siedzieć.
Przykład: Na pięciu mężczyzn i 4 kobiety zostanie utworzona grupa 6-osobowa. Na ile sposobów można to zrobić, aby grupa miała więcej mężczyzn.
Rozwiązanie: Tutaj problem obejmuje różne kombinacje jak 5 WYBIERZ 5, 5 WYBIERZ 4, 5 WYBIERZ 3 dla mężczyzn i dla kobiet zawiera 4 WYBIERZ 1, 4 WYBIERZ 2 i 4 WYBIERZ 3 zgodnie z poniższym
1 kobieta i 5 mężczyzn =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4
2 kobiety i 4 mężczyzn =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30
3 kobiety i 3 mężczyzn =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40
Stąd całkowita liczba dróg = 4 + 30 + 40 = 74.
Przykład: Liczba sposobów, w jakie 12 chłopców może podróżować w trzech samochodach, tak aby w każdym samochodzie było 4 chłopców, przy założeniu, że trzech chłopców nie będzie jechało tym samym samochodem.
Rozwiązanie: Najpierw pomiń trzech konkretnych chłopców, pozostałych 9 chłopców może mieć po 3 w każdym samochodzie. Można to zrobić w 9 WYBIERZ 3 tj 9C3 sposoby,
Trzej poszczególni chłopcy mogą być umieszczeni na trzy sposoby, po jednym w każdym samochodzie. Dlatego całkowita liczba dróg wynosi = 3X9C3.
={9!/3!(9-3)!}X3= 252
więc na 252 sposoby można je umieścić.
Przykład: Na ile sposobów 2 zielone i 2 czarne kule wyszły z woreczka zawierającego 7 zielonych i 8 czarnych kul?
Rozwiązanie: Tutaj worek zawiera 7 zielonych, z których mamy do wyboru 2, więc jest 7 WYBIERZ 2 zadanie i 8 czarnych kulek z których mamy do wyboru 2, więc jest 8 WYBIERZ 2 zadanie.
Stąd wymagana liczba = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588
więc na 588 sposobów możemy wybrać z tej torby 2 zielone i 2 czarne.
Przykład: Dostępnych jest dwanaście różnych znaków angielskich słów. Z tych liter powstają 2 nazwy alfabetyczne. Ile słów można utworzyć, gdy co najmniej jedna litera się powtarza.
Rozwiązanie: tutaj musimy wybrać 2-literowe słowa z 12 liter, więc jest to zadanie 12 WYBIERZ 2.
Liczba słów składających się z 2 liter, w których litery powtarzają się w dowolnym czasie = 122
Ale nie. słów o dwóch różnych literach z 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66
Wymagana liczba słów = 122-66 = 144-66 = 78.
Przykład: Na płaszczyźnie znajduje się 12 punktów, w których sześć jest współliniowych, a następnie ile linii można narysować, łącząc te punkty.
Rozwiązanie: Aby 12 punktów w płaszczyźnie tworzyło prostą, potrzebujemy 2 punktów na sześć punktów współliniowych, więc jest to zadanie 12 WYBIERZ 2 i 6 WYBIERZ 2.
Liczba wierszy wynosi = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52
Tak więc na 52 różne sposoby można narysować linie.
Przykład: Znajdź liczbę sposobów, w jakie można ustawić 6-osobową szafę od 8 panów i 4 pań, tak aby szafka składała się z co najmniej 3 pań.
Rozwiązanie: Aby utworzyć komitet, możemy wybrać spośród 3 mężczyzn i kobiet oraz 2 mężczyzn i 4 kobiet, więc problem obejmuje 8 WYBIERZ 3, 4 WYBIERZ 3, 8 WYBIERZ 2 i 4 WYBIERZ 4.
Można tworzyć dwa rodzaje szafek
(i) Posiadanie 3 mężczyzn i 3 kobiet
(ii) Posiadanie 2 mężczyzn i 4 kobiet
Możliwe nie. ofways = (8C3 X 4C3,8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252
Więc na 252 sposoby możemy stworzyć taką szafę.
Oto kilka przykładów, w których możemy porównać sytuację nPr vs nCr w przypadku permutacji sposób organizacji rzeczy jest ważny. Jednak w połączeniu kolejność nic nie znaczy.
Wnioski
Krótki opis permutacji i kombinacji powtarzanych i nie powtarzanych z podstawową formułą i ważne wyniki są podane w postaci prawdziwych przykładów, w tej serii artykułów szczegółowo omówimy różne wyniki i formuły z odpowiednimi przykładami, jeśli chcesz kontynuować czytanie:
ZARYS SCHAUMA TEORII I PROBLEMÓW MATEMATYKI DYSKRETNEJ
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
Aby uzyskać więcej artykułów na temat matematyki, postępuj zgodnie z tym Połączyć
