Permutacje i kombinacje: 7 pełnych szybkich faktów

by

Właściwości permutacji i kombinacji

  Podczas omawiania permutacji i kombinacji, ponieważ mamy do czynienia z selekcją i aranżacją, z uwzględnieniem kolejności lub bez, w zależności od sytuacji istnieją różne typy i właściwości permutacja i kombinacja, te różnice między permutacjami i kombinacjami wyjaśnimy tutaj na uzasadnionych przykładach.

permutacje bez powtórzeń

  Jest to normalna permutacja, która organizuje n obiektów wziętych r na raz, tj. NPr

n Pr= n! / (nr)!

liczba porządków n różnych obiektów wykonanych jednocześnie n Pn = n!

Ponadto mamy

nP0 = n! / n! = 1

nPr = rz.n-1Pr-1

0! = 1

1 / (- r)! = 0 lub (-r)! = ∞

permutacje z powtórzeniami

 Liczba permutacji (aranżacji) dla różnych elementów, przyjmowanych r na raz, gdzie każdy element może się zdarzyć raz, dwa, trzy razy, …… .. r-razy więcej w dowolnym układzie = Liczba sposobów wypełnienia r obszarów, w których każdy element można wypełnić dowolnym z n elementów.

Image2 R Numer miejsca
Właściwości Permutacje i kombinacje: permutacje z powtórzeniami

Liczba permutacji = liczba sposobów wypełnienia r miejsca = (n)r

Liczba zamówień, które można zorganizować za pomocą n obiektów, z których p są podobne (i jednego rodzaju) q są podobne (i innego rodzaju), r są podobne (i innego rodzaju) a reszta jest odrębna nPr = n! / (p! q! r!)

Przykład:

Na ile sposobów można podzielić 5 jabłek na czterech chłopców, kiedy każdy może wziąć jedno lub więcej jabłek.      

Rozwiązanie: To jest przykład permutacji z powtórzeniami, ponieważ wiemy, że w takich przypadkach mamy

Liczba permutacji = liczba sposobów wypełnienia r miejsc = nr

Wymagana liczba dróg to 45 =10, Ponieważ każde jabłko można rozdzielić na 4 sposoby.

Przykład: Znajdź liczbę słów, które można uporządkować za pomocą liter słowa MATEMATYKA, grupując je.

Rozwiązanie: Tutaj możemy zauważyć, że są 2 M, 2 A i 2 T to jest przykład permutacji z powtórzeniami

= n! / (p! q! r!)

 Wymagana liczba dróg to = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600

Przykład: Na ile sposobów liczba ogonów równa się liczbie orłów, jeśli sześć identycznych monet jest ułożonych w rzędzie.

Rozwiązanie: Tutaj możemy to zaobserwować

Liczba głowic = 3

Liczba ogonów = 3

A ponieważ monety są identyczne, jest to przykład permutacji z powtórzeniem = n! / (P! Q! R!)

Wymagana liczba dróg = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20

Permutacja kołowa:

W permutacji kołowej najważniejszym porządkiem obiektu jest szacunek dla innych.

Tak więc w permutacji kołowej dostosowujemy położenie jednego obiektu i układamy inne obiekty we wszystkich kierunkach.

Permutację kołową można podzielić na dwa sposoby:

(i) Permutacja kołowa, gdzie sugerują ustawienia zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara różne permutacje, np. układy do siedzenia ludzi wokół stołu.

(ii) Permutacja kołowa, w której wyświetlane są ustawienia zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ta sama permutacjanp. układanie pewnych koralików w naszyjnik.

Układ prawoskrętny i lewoskrętny

Jeśli kolejność i ruch w lewo i w prawo są nie inaczej np. układ koralików w naszyjniku, kompozycja kwiatowa w girlandzie itp., a następnie liczba kolistych permutacji n różne elementy to (n-1)! / 2

  1. Liczba permutacji kołowych dla n różnych pozycji, pobieranych r na raz, gdy zamówienia zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są uważane za różne by nPr /r
  2. Liczba permutacji kołowych dla n różnych elementów, pobieranych r na raz, gdy porządki zgodne z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są nie inaczej od nPr / 2r
  3. Liczba permutacji cyklicznych n różnych obiektów wynosi (n-1)!
  4. Liczba sposobów, w jakie n różni chłopcy mogą siedzieć wokół okrągłego stołu (n-1)!
  5. Liczba sposobów, w jakie n różne klejnoty mogą być ustawione w celu utworzenia naszyjnika, to (n-1)! / 2

Przykład:

Na ile sposobów można umieścić pięć kluczy w ringu

Rozwiązanie:

Ponieważ zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara są takie same w przypadku pierścienia.

Jeśli sekwencja i ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i zgodnie z ruchem wskazówek zegara są nie inaczej to liczba permutacji cyklicznych n odrębne elementy to

= (n-1)! / 2

Wymagana liczba dróg = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12     

Przykład:

Jaka byłaby liczba ustaleń, gdyby jedenastu członków komisji zasiadało przy okrągłym stole, tak aby przewodniczący i sekretarz zawsze siedzieli razem.

Rozwiązanie:

Według fundamentalnej własności permutacji kołowej

Liczba kolistych permutacji n różnych rzeczy to (n-1)!

Ponieważ dwie pozycje są stałe, więc mamy

Wymagana liczba dróg (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760

Przykład: Jaka byłaby liczba sposobów, na jakie 6 mężczyzn i 5 kobiet mogłoby jeść przy okrągłym stole, gdyby nie dwie kobiety mogły usiąść razem

Rozwiązanie: Według fundamentalnej własności permutacji kołowej.

Liczba kolistych permutacji n różnych rzeczy to (n-1)!

Liczba sposobów ustawienia 6 mężczyzn przy okrągłym stole = (6 – 1)! =5!

Właściwości permutacji i kombinacji
Właściwości permutacji i kombinacji: przykład

Teraz kobiety można ułożyć w 6! drogi i łączna liczba dróg = 6! × 5!

Kombinacje bez powtórzeń

Jest to zwykła kombinacja, która jest „liczbą kombinacji (wyborów lub grup), z których można utworzyć n różne obiekty zrobione r na raz nCr = n! / (nr)! r!

Również    nCr =nCrr

              n Pr /R! =n!/(nr)! =nCr

Przykład: Znajdź liczbę możliwości obsadzenia 12 wakatów, jeśli jest 25 kandydatów, a pięciu z nich należy do kategorii zaplanowanej, pod warunkiem, że 3 wakaty są zarezerwowane dla kandydatów SC, a pozostałe są otwarte dla wszystkich.

Rozwiązanie: Ponieważ 3 wolne stanowiska zostały obsadzone od 5 kandydatów w 5 C3  sposobów (tj. 5 WYBIERZ 3) i teraz pozostali kandydaci to 22, a pozostałe miejsca to 9, więc tak będzie 22C9 (22 WYBIERZ 9) Wyboru można dokonać w 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

Więc wyboru można dokonać na 4974200 sposobów. 

Przykład: W wyborach jest 10 kandydatów i trzy wakaty. na ile sposobów wyborca ​​może oddać swój głos?

Rozwiązanie: Ponieważ są tylko 3 wolne miejsca dla 10 kandydatów, jest to problem 10 WYBIERZ 1, 10 WYBIERZ 2 i 10 WYBIERZ 3 Przykłady,

Wyborca ​​może głosować 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 Tak więc wyborcy mogą głosować na 175 sposobów.

Przykład:W pokoju dla 9 osób znajduje się 4 krzeseł, w tym jedno miejsce dla gościa z jednym konkretnym krzesłem. Na ile sposobów mogą siedzieć?

Rozwiązanie: Ponieważ można wybrać 3 krzesła 8C3 i wtedy 3 osoby mogą być ustawione w 3! sposoby.

Na 3 krzesłach 8 osoby 8C3 (tj. 8 WYBIERZ 3) aranżację

=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!

= 56X6 = 336

Na 336 sposobów mogą siedzieć.

Przykład: Na pięciu mężczyzn i 4 kobiety zostanie utworzona grupa 6-osobowa. Na ile sposobów można to zrobić, aby grupa miała więcej mężczyzn.

Rozwiązanie: Tutaj problem obejmuje różne kombinacje jak 5 WYBIERZ 5, 5 WYBIERZ 4, 5 WYBIERZ 3 dla mężczyzn i dla kobiet zawiera 4 WYBIERZ 1, 4 WYBIERZ 2 i 4 WYBIERZ 3 zgodnie z poniższym

1 kobieta i 5 mężczyzn =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 kobiety i 4 mężczyzn =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 kobiety i 3 mężczyzn =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Stąd całkowita liczba dróg = 4 + 30 + 40 = 74.

Przykład: Liczba sposobów, w jakie 12 chłopców może podróżować w trzech samochodach, tak aby w każdym samochodzie było 4 chłopców, przy założeniu, że trzech chłopców nie będzie jechało tym samym samochodem.

Rozwiązanie: Najpierw pomiń trzech konkretnych chłopców, pozostałych 9 chłopców może mieć po 3 w każdym samochodzie. Można to zrobić w 9 WYBIERZ 3 tj 9C3 sposoby,

Trzej poszczególni chłopcy mogą być umieszczeni na trzy sposoby, po jednym w każdym samochodzie. Dlatego całkowita liczba dróg wynosi = 3X9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

więc na 252 sposoby można je umieścić.

Przykład: Na ile sposobów 2 zielone i 2 czarne kule wyszły z woreczka zawierającego 7 zielonych i 8 czarnych kul?

Rozwiązanie: Tutaj worek zawiera 7 zielonych, z których mamy do wyboru 2, więc jest 7 WYBIERZ 2 zadanie i 8 czarnych kulek z których mamy do wyboru 2, więc jest 8 WYBIERZ 2 zadanie.

Stąd wymagana liczba = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

więc na 588 sposobów możemy wybrać z tej torby 2 zielone i 2 czarne.

Przykład: Dostępnych jest dwanaście różnych znaków angielskich słów. Z tych liter powstają 2 nazwy alfabetyczne. Ile słów można utworzyć, powtarzając co najmniej jedną literę.

Rozwiązanie: tutaj musimy wybrać 2-literowe słowa z 12 liter, więc jest to zadanie 12 WYBIERZ 2.

Liczba słów składających się z 2 liter, w których litery powtarzają się w dowolnym czasie = 122

        Ale nie. słów na temat posiadania dwóch różnych liter z 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Wymagana liczba słów = 122-66 = 144-66 = 78.

Przykład: Na płaszczyźnie znajduje się 12 punktów, w których sześć jest współliniowych, a następnie ile linii można narysować, łącząc te punkty.

Rozwiązanie: Aby 12 punktów w płaszczyźnie tworzyło prostą, potrzebujemy 2 punktów na sześć punktów współliniowych, więc jest to zadanie 12 WYBIERZ 2 i 6 WYBIERZ 2.

Liczba wierszy wynosi = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

Tak więc na 52 różne sposoby można narysować linie.

Przykład: Znajdź liczbę sposobów, w jakie można ustawić 6-osobową szafę od 8 panów i 4 pań, tak aby szafka składała się z co najmniej 3 pań.

Rozwiązanie: Aby utworzyć komitet, możemy wybrać spośród 3 mężczyzn i kobiet oraz 2 mężczyzn i 4 kobiet, więc problem obejmuje 8 WYBIERZ 3, 4 WYBIERZ 3, 8 WYBIERZ 2 i 4 WYBIERZ 4.

Można tworzyć dwa rodzaje szafek

        (i) Posiadanie 3 mężczyzn i 3 kobiet

        (ii) Posiadanie 2 mężczyzn i 4 kobiet

        Możliwe nie. ofways = (8C3 X 4C3,8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

Więc na 252 sposoby możemy stworzyć taką szafę.

       Oto kilka przykładów, w których możemy porównać sytuację nPr vs nCr w przypadku permutacji sposób organizacji rzeczy jest ważny. Jednak w połączeniu kolejność nic nie znaczy.

Wnioski

Krótki opis permutacji i kombinacji powtarzanych i nie powtarzanych z podstawową formułą i ważne wyniki są podane w postaci prawdziwych przykładów, w tej serii artykułów szczegółowo omówimy różne wyniki i formuły z odpowiednimi przykładami, jeśli chcesz kontynuować czytanie:

ZARYS SCHAUMA TEORII I PROBLEMÓW MATEMATYKI DYSKRETNEJ

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Aby uzyskać więcej artykułów na temat matematyki, postępuj zgodnie z tym Połączyć