Skośność: 7 ważnych faktów, które powinieneś wiedzieć

Treść

Skośność

Krzywa będąca wykreślonymi obserwacjami reprezentuje skośność jeśli kształt krzywej nie jest symetryczny danego zbioru. Innymi słowy brak symetrii na wykresie danej informacji reprezentuje skośność danego zbioru. W zależności od ogona po prawej lub lewej stronie skośność określana jest jako skośna dodatnia lub ujemna. Rozkład zależny od tej skośności jest znany jako rozkład skośny dodatnio lub rozkład skośny ujemnie

Średnia, moda i mediana pokazują charakter rozkładu, więc jeśli charakter lub kształt krzywej jest symetryczny, te miary tendencji centralnych są równe, a dla rozkładów skośnych te miary tendencji centralnych różnią się jako średnia>mediana>moda lub średnia

Wariancja i skośność

Zmienność	Skośność
Wielkość zmienności można uzyskać za pomocą wariancji	Kierunek zmienności można uzyskać za pomocą skośności
Zastosowanie miary zmienności jest w biznesie i ekonomii	Zastosowanie miary Skośności w medycynie i naukach przyrodniczych

wariancja i skośność

Miara skośności

Aby znaleźć stopień i kierunek rozkładu częstotliwości, czy dodatni, czy ujemny, miara skośności jest bardzo pomocna, nawet za pomocą wykresu znamy dodatnią lub ujemną naturę skośności, ale wielkość nie będzie dokładna na wykresach, stąd te miary statystyczne dają wielkość braku symetrii.

Aby być konkretnym, miara skośności musi mieć

Jednostka wolna, aby różne rozkłady mogły być porównywalne, jeśli jednostki są takie same lub różne.
Wartość miary dla rozkładu symetrycznego zero i odpowiednio dodatnia lub ujemna dla rozkładów dodatnich lub ujemnych.
Wartość miary powinna się zmieniać, jeśli przechodzimy od skośności ujemnej do skośności dodatniej.

Istnieją dwa rodzaje miar skośności

Bezwzględna miara skośności
Względna miara skośności

absolutnyte Miara skośności

W rozkładzie symetrycznym średnia, moda i mediana są takie same, więc w bezwzględnej mierze skośności różnica tych centralnych tendencji daje zakres symetrii w rozkładzie i charakter jako dodatni lub ujemny rozkład skośny, ale bezwzględna miara dla różnych jednostek nie jest przydatne podczas porównywania dwóch zestawów informacji.

Skośność absolutną można uzyskać za pomocą

Skośność (S_k)=Średnia-Media
Skośność (S_k)=Tryb średni
Skośność (S_k)=(P₃-Q₂)-(Q₂-Q₁)

Względna miara skośności

Względna miara skośności służy do porównania skośności w dwóch lub więcej rozkładach poprzez wyeliminowanie wpływu zmienności. Względna miara skośności jest znana jako współczynnik skośności. Poniżej przedstawiono ważne względne miary skośności.

Współczynnik skośności Karla Pearsona

Ta metoda jest używana najczęściej do obliczania skośności

$S_k=\\frac{Tryb średni}{\\sigma}$

ten współczynnik skośności jest dodatni dla rozkładu dodatniego, ujemny dla rozkładu ujemnego i zero dla rozkładu symetrycznego. Ten współczynnik Karla Pearsona zwykle mieści się w przedziale od +1 do -1. Jeżeli Mode nie jest zdefiniowany, to do obliczenia współczynnika Karla Pearsona używamy wzoru as

Zobacz też Kwas ditionowy: odsłanianie jego właściwości chemicznych i zastosowań

$S_k=\\frac{3(tryb średni)}{\\sigma}$

Jeśli użyjemy tej zależności, to współczynnik Karla Pearsona mieści się w przedziale od +3 do -3.

2. Współczynnik skośności Bowleysa|Kwartylowa miara skośności

We współczynniku skośności Bowleysa do znalezienia skośności wykorzystano odchylenia kwartylowe, dlatego jest on również znany jako miara skośności kwartylowa

$S_k=\\frac{(Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2Q_2+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}$

lub możemy napisać to jako

$S_k=\\frac{(Q_3-M)-(M-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\\\=\\frac{(Q_3-2M+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}$

ta wartość współczynnika wynosi zero, jeśli rozkład jest symetryczny i wartość dla rozkładu dodatniego jest dodatnia, dla rozkładu ujemnego jest ujemna. Wartość S_k leży między -1 a +1.

3. Współczynnik skośności Kelly'ego

W tej mierze skośności do obliczenia skośności wykorzystywane są percentyle i decyle, współczynnik wynosi

$S_k=\\frac{(P_{90}-P_{50})-(P_{50}-P_{10})}{(P_{90}-P_{10})} \\\\=\\frac{(P_{90}-2P_{50}+P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}$

gdzie ta skośność obejmuje 90, 50 i 10 percentyl i używając decyli możemy zapisać to jako

$S_k=\\frac{(D_9-D_5)-(D_5-D_1)}{(D_9-D_1)} \\\\=\\frac{(D_9-2D_5+D_1)}{(D_9-D_1)}$

w których użyto 9,5 i 1 decyla.

4. Współczynnik skośności β i γ| Miara skośności oparta na momentach.

Wykorzystując momenty centralne miarę skośności można określić współczynnik skośności β jako

$\\beta_1=\\frac{{\\mu_3}^2}{{\\mu_2}^3}$

ten współczynnik skośności daje wartość zero dla rozkładu symetrycznego, ale ten współczynnik nie mówi konkretnie o kierunku dodatnim lub ujemnym, więc tę wadę można usunąć, wyciągając pierwiastek kwadratowy z beta jako

$\\gamma_1=\\pm \\sqrt{\\beta_1}=\\frac{\\mu_3}{{\\mu_2}^{3/2}}=\\frac{\\mu_3}{\\sigma^3}$

ta wartość daje dodatnią i ujemną wartość odpowiednio dla rozkładu dodatniego i ujemnego.

Przykłady skośności

Korzystając z poniższych informacji, znajdź współczynnik skośności

Wynagrodzenie	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
Liczba osób	12	18	35	42	50	45	20	8

Rozwiązanie: Aby znaleźć współczynnik skośności, użyjemy współczynnika Karla Pearsona

	częstotliwość	średnia(x)	fx	fx²
0-10	12	5	60	300
10-20	18	15	270	4050
20-30	35	25	875	21875
30-40	42	35	1470	51450
40-50	50	45	2250	101250
50-60	45	55	2475	136125
60-70	20	65	1300	84500
70-80	8	75	600	45000
	230		9300	444550

współczynnik skośności Karla Pearsona wynosi

$\\begin{array}{l} \\text { Współczynnik skośności Karla-persona }=J=\\frac{\\text { Średnia }-\\text { Tryb }}{S . D .}\\\\ \\begin{array}{l} \\text { Średnia, } \\quad \\bar{x}=\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{ i} x_{i}, \\quad \\text { Tryb }=l+\\frac{c\\left(f_{1}-f_{0}\\right)}{\\left(f_{1} -f_{0}\\right)+\\left(f_{1}-f_{2}\\right)} \\\\ \\text { Odchylenie standardowe }=\\sqrt{\\frac{1} {N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}} \\end{array} \\end{array}$

$\\begin{array}{c} \\text { Średnia }=\\frac{9300}{230}=40.43 \\\\ \\text { S.D. }=\\sqrt{\\frac{1}{N} \\sum_{i} f_{i} x_{i}^{2}-\\bar{x}^{2}}=\\sqrt{ \\frac{1}{230}(444550)-\\left[\\frac{9300}{230}\\right]^{2}}=17.27 . \\end{tablica}$

klasa modalna to maksymalna częstość klasy 40-50, a odpowiednie częstotliwości to

$f_{0}=42, f_{1}=50,f_{2}=45$

a zatem

$\\text { Hence, Mode }=40+\\frac{10(50-42)}{(50-42)+(50-45)}=46.15$

więc współczynnik skośności będzie

$=\\frac{40.43-46.15}{17.27}=-0.3312$

co pokazuje ujemną skośność.

2. Znajdź współczynnik skośności ocen z rozkładem częstotliwości 150 uczniów z danego egzaminu

znaki	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
częst	10	40	20	0	10	40	16	14

Rozwiązanie: Aby obliczyć współczynnik skośności, potrzebujemy średniej, mody, mediany i odchylenia standardowego dla danej informacji, więc do ich obliczenia tworzymy poniższą tabelę

interwał zajęć	f	średnia wartość x	por	d'=(x-35)/10	pierdolony	pierdolony²
0-10	10	5	10	-3	-30	90
10-20	40	15	50	-2	-80	160
20-30	20	25	70	-1	-20	20
30-40	0	35	70	0	0	0
40-50	10	45	80	1	10	10
50-60	40	55	120	2	80	160
60-70	16	65	136	3	48	144
70-80	14	75	150	4	56	244
					łącznie=64	łącznie=828

teraz środki będą

$\\begin{array}{l} Mediana =\\mathrm{L}+\\frac{\\left(\\frac{\\mathrm{N}}{2}-\\mathrm{C}\\right )}{\\mathrm{f}} \\times \\mathrm{h}=40+\\frac{75-70}{10} \\times 10=45 \\\\Średnia (\\overline{\ \mathrm{x}})=\\mathrm{A}+\\frac{\\sum_{\\mathrm{i}=1}^{\\mathrm{k}} \\mathrm{fd}^{\ \prime}}{\\mathrm{N}} \\times \\mathrm{h}=35+\\frac{64}{150} \\times 10=39.27 \\end{array}$

$\\begin{aligned} Odchylenie standardowe }(\\sigma) &=\\mathrm{h} \\times \\sqrt{\\frac{\\sum \\mathrm{fd}^{\\prime 2}} {\\mathrm{~N}}-\\left(\\frac{\\sum \\mathrm{fd}}{\\mathrm{N}}\\right)^{2}} \\\\ & =10 \\times \\sqrt{\\frac{828}{150}-\\left(\\frac{64}{150}\\right)^{2}} \\\\&=10 \\ razy \\sqrt{5.33}=23.1 \\end{aligned}$

stąd współczynnik skośności rozkładu wynosi

Zobacz też Kwas cytrynowy: niedoceniany bohater w Twojej kuchni i poza nią

$S_k=\\frac{3(Mean-Median)}{\\sigma} \\\\=\\frac{3(39.27-45}{23.1}=-0.744$

3. Znajdź średnią, wariancję i współczynnik skośności rozkładu, którego pierwsze cztery momenty około 5 to 2,20,40 i 50.

Rozwiązanie: ponieważ pierwsze cztery chwile są podane tak

$\\begin{array}{c} \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} \\lewy(x_{i}-5\\prawy)=2 ; \\mu_{2}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}- 5\\prawo)^{2}=20 ; \\\\ \\mu_{3}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_ {i}-5\\right)^{3}=40 \\quad \\text { i } \\quad \\mu_{4}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{ N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i}\\left(x_{i}-5\\right)^{4}=50 . \\\\ \\mu_{1}^{\\prime}(5)=\\frac{1}{N} \\sum_{i=1}^{k} f_{i} x_{i}- 5=2 \\\\ \\Strzałka w prawo \\bar{x}=2+5=7 \\end{tablica}$

więc możemy to napisać

$\\begin{array}{l} \\mu_{r}=\\mu_{r}^{\\prime}(A)-{ }^{r} C_{1} \\mu_{r-1} ^{\\prime}(A) \\mu_{1}^{\\prime}(A)+{ }^{r} C_{2} \\mu_{r-2}^{\\prime}( A)\\left[\\dot{\\mu}_{1}^{\\prime}(A)\\right]^{2}-\\ldots .+(-1)^{r}\ \left[\\mu_{1}^{\\prime}(A)\\right]^{r} \\\\ \\text { Stąd } \\mu_{2}=\\mu_{2}^ {\\prime}(5)-\\left[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\right]^{2}=20-4=16 \\\\ \\mu_{ 3}=\\mu_{3}^{\\prime}(5)-3 \\mu_{2}^{\\prime}(5) \\mu_{1}^{\\prime}(5) +2\\left[\\mu_{1}^{\\prime}(5)\\right]^{3} \\\\ 40-3 \\times 20 \\times 2+2 \\times 2 ^{3}=-64 \\end{tablica}$

więc współczynnik skośności wynosi

$\\beta_{1}=\\frac{\\mu_{3}^{2}}{\\mu_{2}^{3}}=\\frac{(-64)^{2}}{(16)^{3}}=-1$

Pdefinicja rozkładu skośnego ozytywnie | Znaczenie rozkładu skośnego w prawo

Dowolny rozkład, w którym miara tendencji centralnych tj. średnia, moda i mediana mają wartości dodatnie oraz informacje w rozkładzie nie posiadają symetrii.

Innymi słowy, rozkład dodatnio skośny to rozkład, w którym miara tendencji centralnych jest następująca: średnia>mediana>tryb po prawej stronie krzywej rozkładu.

Jeśli naszkicujemy informacje o rozkładzie, krzywa będzie prawostronna, z powodu której rozkład dodatnio skośny jest również znany jako rozkład w prawo skośny.

rozkład skośny dodatnio lub rozkład skośny w prawo — rozkład dodatni/prawo skośny

Z powyższej krzywej widać, że mod jest najmniejszą miarą w rozkładzie dodatnim lub prawoskośnym, a średnia jest największą miarą tendencji centralnych.

przykład rozkładu skośnego dodatnio|przykład rozkładu skośnego w prawo

Dla dodatnio skośnego lub prawoskośnego rozkładu, jeśli współczynnik skośności wynosi 0.64, znajdź modę i medianę rozkładu, jeśli średnia i odchylenie standardowe wynoszą odpowiednio 59.2 i 13.

Rozwiązanie: Podane wartości to średnia=59.2, s_k= 0.64 i σ=13 więc używając relacji

$S_k=\\frac{tryb średni}{\\sigma} \\\\0.64=\\frac{59.2-\\text { Tryb }}{13} \\\\Tryb =59.20-8.32=50.88 \\ \\Mode =3 Mediana -2 Średnia \\\\50.88=3 Mediana -2(59.2) \\\\Mediana =\\frac{50.88+118.4}{3}=\\frac{169.28}{3}= 56.42$

2. Znajdź odchylenie standardowe rozkładu dodatnio skośnego, którego współczynnik skośności wynosi 1.28 ze średnią 164 i modą 100?

Rozwiązanie: W ten sam sposób korzystając z podanych informacji i wzoru na współczynnik rozkładu dodatnio skośnego

$S_k=\\frac{mean-mode}{\\sigma} \\\\1.28=\\frac{164-100}{\\sigma} \\\\\\sigma=\\frac{64}{1.28}=50$

więc odchylenie standardowe wyniesie 50.

3. W odchyleniach kwartalnych, jeśli dodanie pierwszego i trzeciego kwartału wynosi 200 przy medianie 76, znajdź wartość trzeciego kwartyla rozkładu częstotliwości, który jest dodatnio skośny o współczynniku skośności 1.2?

Srozwiązanie: Aby znaleźć trzeci kwartyl musimy skorzystać z relacji współczynnika skośności i kwartalnych, ponieważ podana informacja jest

$S_k=1.2 \\\\Q_1+Q_3=200 \\\\Q_2=76[ \\\\S_{k}=\\frac{\\left(Q_{3}+Q_{1}-2 Q_{2}\\right)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\1.2=\\frac{(200-2 \\times 76)}{\\left(Q_{3}-Q_{1}\\right)} \\\\Q_{3}-Q_{1}=\\frac{48}{1.2}=40 \\\\Q_{3}-Q_{1}=40$

z podanej relacji mamy

$Q_1+Q_3=200 \\\\Q_1=200-Q_3$

z tych dwóch równań możemy napisać

$Q_{3}-Q_{1}=40 \\\\ Q_{3}-(200-Q_3)=40 \\\\2Q_3=240 \\\\Q_3=120$

więc wartość trzeciego kwartyla wynosi 120.

4. Znajdź współczynnik skośności dla następujących informacji

x	93-97	98-102	103-107	108-112	113-117	118-122	123-127	128-132
f	2	5	12	17	14	6	3	1

Rozwiązanie: tutaj użyjemy miary skośności Bowleya za pomocą kwartyli

klasa	częstotliwość	skumulowana częstotliwość
92.5-97.5	2	2
97.5-102.5	5	7
102.5-107.5	12	19
107.5-112.5	17	36
112.5-117.5	14	50
117.5-122.5	6	56
122.5-127.5	3	59
127.5-132.5	1	60
	N = 60

Jako N^th/ 4 = 15^th obserwacja klasy jest 102.5-107.5 , N^th/ 2 = 30^th obserwacja klasy jest 107.5-112.5 i 3N^th/ 4 = 45^th obserwacja klasy jest 112.5-117.5 so

$Q_{1}=l_{1}+\\frac{\\left(\\frac{N}{4}-m_{1}\\right) c_{1}}{f_{1}}=102.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{4}-7\\right) 5}{12}=105.83$

$Q_{3}=l_{3}+\\frac{\\left(\\frac{3 N}{4}-m_{3}\\right) c_{3}}{f_{3}}=112.5+\\frac{\\left(\\frac{3 \\times 60}{4}-36\\right) 5}{14}=115.714$

a mediana to

$Q_{2}=l_{2}+\\frac{\\left(\\frac{N}{2}-m_{2}\\right) c_{2}}{f_{2}}=107.5+\\frac{\\left(\\frac{60}{2}-19\\right) 5}{17}=110.735$

a zatem

$Q=\\frac{Q_{3}+Q_{1}-2 M}{Q_{3}-Q_{1}}=\\frac{115.714+105.83-2 \\times 110.735}{115.714-105.83}=0.0075$

co jest dystrybucją dodatnio skośną.

gdzie jest średnia w rozkładzie dodatnio skośnym

Wiemy, że rozkład dodatnio skośny jest rozkładem prawoskośnym, więc krzywa jest prawostronnie skośna znaczenie tej większości informacji będzie bliżej ogona, więc średnia w dodatnio skośnym rozkładzie jest bliżej ogona i ponieważ w dodatnim lub prawostronnym skośny rozkład średnia>mediana>tryb, więc średnia będzie po medianie.

Zobacz też Kwas dwutionowy: odsłanianie jego właściwości chemicznych i zastosowań

Rozkład skośny w prawo średnia moda|zależność między średnią medianą i modą w rozkładzie skośnym dodatnim

W rozkładzie dodatnio skośnym lub prawoskośnym miara tendencji centralnych średnia, mediana i moda są rzędu średnia>mediana>tryb, ponieważ mod jest najmniejszym to mediana, a największą tendencją centralną jest średnia, która dla prawej ogona krzywej jest bliższa ogonowi krzywej dla informacji.

tak więc związek między medianą średnią i modą w rozkładzie dodatnio skośnym jest w porządku rosnącym i za pomocą różnicy tych dwóch tendencji centralnych można obliczyć współczynnik skośności, więc średnia, mediana i moda również nadają charakter skośności.

dodatnio skośny wykres rozkładu|dodatnio skośna krzywa rozkładu

Wykres albo w postaci gładkiej krzywej, albo w postaci histogramu dla informacji dyskretnych, natura jest prawostronna, ponieważ średnia informacji gromadzonych wokół ogona krzywej, gdy skośność rozkładu omawia kształt rozkładu. Ponieważ duża ilość danych znajduje się po lewej stronie krzywej, a ogon krzywej po prawej stronie jest dłuższy.

niektóre z wykresów informacji o pozytywnym rozkładzie przedstawiają się następująco

z powyższych wykresów jasno wynika, że krzywa nie ma symetrii pod każdym względem.

dodatni skośny rozkład punktacji

W dowolnym rozkładzie, jeśli wyniki są w dodatnio skośnym, to jest wynik następujący po dodatnio skośnym rozkładzie jako średnia>mediana>tryb i krzywa wyniku rozkładu ma krzywą prawostronną, w której duża wartość ma wpływ na wynik.

Ten rodzaj rozkładu jest znany jako rozkład punktów z dodatnim skosem. Wszystkie właściwości i reguły tego rozkładu są takie same jak w przypadku rozkładu skośnego dodatnio lub skośnego w prawo.

dodatni rozkład częstotliwości skośnej

W dodatnio skośnym rozkładzie częstotliwości częstotliwość informacji jest mniejsza w porównaniu z rozkładem, więc dodatnio skośny rozkład częstotliwości to nic innego jak dodatnio skośny rozkład częstotliwości, w którym krzywa jest krzywą prawostronną.

rozkład skośny dodatni vs ujemny | rozkład skośny dodatnio vs ujemnie skośny

dodatni rozkład skośny	ujemna dystrybucja skośna
W rozkładzie dodatnio skośnym informacja jest rozprowadzana, gdy średnia jest największa, a moda najmniejsza	W rozkładzie ujemnie skośnym informacja jest rozłożona, gdy średnia jest najmniejsza, a mod – największa
krzywa jest prawostronna	krzywa jest pozostawiona w ogonie
średnia>mediana>tryb	mieć na myśli

Najczęściej zadawane pytania

Skąd wiesz, czy rozkład jest przekrzywiony dodatnio czy ujemnie?

Skośność jest dodatnia, jeśli średnia>mediana>moda i ujemna, jeśli średnia

Z krzywej rozkładu możemy również ocenić, czy krzywa jest prawostronna, to jest dodatnia, a jeśli krzywa lewostronna, jest ujemna

Jak określić pozytywną skośność?

Obliczając miarę współczynnika skośności, jeśli dodatni to skośność jest dodatnia lub wykreślając krzywą rozkładu, jeśli prawostronny to dodatni lub sprawdzając tryb średnia>mediana>

Co oznacza dodatnie pochylenie

Dodatnia skośność oznacza, że wynik rozkładu jest bliższy dużym wartościom, krzywa jest prawostronna, a średnia jest największą miarą

Jak interpretować histogram skośny w prawo?

jeśli histogram jest skośny w prawo, to rozkład jest rozkładem skośnym dodatnim, gdzie średnia>mediana>tryb

W rozkładach skośnych w prawo, jaki jest związek średniej mediany i modu

Relacja jest średnia>mediana>tryb

Wnioski:

Skośność jest ważnym pojęciem statystyki, które daje asymetrię lub brak symetrii w rozkładzie prawdopodobieństwa w zależności od wartości dodatniej lub ujemnej klasyfikuje się ją jako rozkład skośny dodatnio lub rozkład skośny ujemnie, w powyższym artykule krótkie pojęcie z omówionymi przykładami , jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejdź dalej

https://en.wikipedia.org/wiki/skewness

Aby uzyskać więcej postów o matematyce, śledź nasze Strona matematyki

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.