To jest kolejny post związany z Geometrii współrzędnych, specjalnie na Punkty. Kilka tematów omówiliśmy już wcześniej w poście „Kompletny przewodnik po geometrii współrzędnych”. W tym poście omówimy pozostałe tematy.

Podstawowe wzory na punktach w geometrii współrzędnych w 2D:

Wszystkie podstawowe wzory na punkty w Geometrii Analitycznej są opisane tutaj i dla łatwego i szybkiego poznania wzorów na pierwszy rzut oka. „Tabela formuł na punkty” z objaśnieniem graficznym przedstawiono poniżej.

Wzory odległości dwupunktowej | Geometria analityczna:

Odległość to miara pozwalająca określić, jak daleko od siebie znajdują się obiekty, miejsca itp. Ma wartość liczbową z jednostkami. W geometrii współrzędnych lub geometrii analitycznej w 2D istnieje wzór wywodzący się z twierdzenia Pitagorasa, służący do obliczenia odległości między dwoma punktami. możemy to zapisać jako „Odległość” re =√ [(x₂-x₁)²+ (r₂-y₁)²] , Gdzie (x₁,y₁) i (x₂,y₂) są dwoma punktami na płaszczyźnie xy. Po krótkim objaśnieniu graficznym następuje „Tabela formuł w temacie punktowym nr 1” poniżej.

Odległość punktu od początku | Geometrii współrzędnych:

Jeśli zaczynamy naszą podróż z początkiem w płaszczyźnie xy i kończymy w dowolnym punkcie tej płaszczyzny, odległość między początkiem a punktem można również określić za pomocą wzoru „Odległość” OP=√ (x²+ i²), co jest również zredukowaną formą „Wzoru na odległość dwóch punktów” z jednym punktem w (0,0). Następnie następuje krótkie wyjaśnienie graficzne „Tabela formuł w temacie punktowym nr 2” poniżej.

Wzory przekrojów punktów |Geometria współrzędnych :

Jeśli punkt dzieli odcinek łączący dwa podane punkty w pewnym stosunku, możemy użyć wzorów na przekroje, aby znaleźć współrzędne tego punktu, podczas gdy stosunek, w jakim dzieli się odcinek, jest podany i na odwrót. Istnieje możliwość, że odcinek linii może być podzielony wewnętrznie lub zewnętrznie przez punkt. Gdy punkt leży na odcinku między dwoma podanymi punktami, stosuje się formuły przekroju wewnętrznego, tj

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

A gdy punkt leży na zewnętrznej części odcinka łączącego te dwa punkty, stosuje się wzory na przekroje zewnętrzne tj.

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Gdzie (x, y) mają być wymaganymi współrzędnymi punktu. Są to bardzo potrzebne wzory do znalezienia środka ciężkości, środka ciężkości, środka okręgu trójkąta, a także środka masy układów, punktów równowagi itp. w fizyce. Należy obejrzeć krótki widok różnych typów formuł sekcji z wykresami podanymi poniżej w „Tabela formuł na temat punktowy nr 3; przypadek I i przypadek II”.

Formuła punktu środkowego| geometrii współrzędnych:

Jest to proste formuły wywodzące się z wzorów sekcji Punkty wewnętrzne opisane powyżej. Chociaż musimy znaleźć środek odcinka, tj. współrzędną punktu, który jest równoodległy od dwóch podanych punktów na odcinku, tj. stosunek przyjmuje postać 1:1, to ten wzór jest wymagany. Formuła ma postać

Jeśli punkt dzieli odcinek łączący dwa podane punkty w pewnym stosunku, możemy użyć wzorów na przekroje, aby znaleźć współrzędne tego punktu, podczas gdy stosunek, w jakim dzieli się odcinek, jest podany i na odwrót. Istnieje możliwość, że odcinek linii może być podzielony wewnętrznie lub zewnętrznie przez punkt. Gdy punkt leży na odcinku między dwoma podanymi punktami, stosuje się formuły przekroju wewnętrznego, tj

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

Zobacz też Wodorotlenek indu(III): odkrywanie jego właściwości i zastosowań

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{+}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{+}\\textbf{n}}$

A gdy punkt leży na zewnętrznej części odcinka łączącego te dwa punkty, stosuje się wzory na przekroje zewnętrzne tj.

$\\textbf{}\\textbf{x}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{x}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{x}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

$\\textbf{}\\textbf{y}\\textbf{=}\\frac{\\textbf{m}\\textbf{y}_{2}\\textbf{-}\\textbf{n}\ \textbf{y}_{1}}{\\textbf{m}\\textbf{-}\\textbf{n}}$

Formuła punktu środkowego| geometrii współrzędnych:

Jest to proste formuły wywodzące się z wzorów sekcji Punkty wewnętrzne opisane powyżej. Chociaż musimy znaleźć środek odcinka, tj. współrzędną punktu, który jest równoodległy od dwóch podanych punktów na odcinku, tj. stosunek przyjmuje postać 1:1, to ten wzór jest wymagany. Formuła ma postać

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

Przejdź przez „Tabela formuł na temat punktów, temat nr 3 – przypadek III” poniżej, aby uzyskać grafikę na ten temat.

Pole trójkąta w geometrii współrzędnych:

Trójkąt ma trzy boki i trzy wierzchołki na płaszczyźnie lub w polu dwuwymiarowym. Pole trójkąta to przestrzeń wewnętrzna otoczona tymi trzema bokami. Podstawowy wzór obliczania powierzchni trójkąta to (2/1 X Base X Height). W geometrii analitycznej, jeśli podano współrzędne wszystkich trzech wierzchołków, obszar trójkąta można łatwo obliczyć za pomocą wzoru: Obszar trójkąta =|½[x₁ (y₂- y₃ )+x₂ (y₃- y₂)+x₃ (y₂-y ₁)]| ,właściwie można to wyprowadzić z podstawowego wzoru na pole trójkąta, używając wzoru na odległość dwóch punktów w geometrii współrzędnych. Oba przypadki są graficznie opisane w „Tabela formuł w temacie punktowym 4” poniżej.

Kolinearność punktów ( Trzy punkty) | Geometria współrzędnych:

Współliniowy oznacza „bycie na tej samej linii”. W geometrii, jeśli trzy punkty leżą na jednej prostej na płaszczyźnie, nigdy nie mogą utworzyć trójkąta o polu różnym od zera, tzn. jeśli wzór na pole trójkąta podstawimy współrzędnymi trzech współliniowych punktów, wynik dla pola wyimaginowany trójkąt utworzony przez te punkty będzie miał tylko zero. Zatem formuła staje się podobna ½[x₁ (y₂- y₃ )+x₂ (y₃- y₂)+x₃ (y₂-y ₁)] =0 Aby uzyskać bardziej przejrzysty pomysł z graficzną reprezentacją, przejdź przez „Tabela formuł w temacie punktowym nr 5” poniżej.

Centroida trójkąta| Formuła:

Trzy mediany* trójkąta zawsze przecinają się w punkcie znajdującym się wewnątrz trójkąta i dzielą medianę w stosunku 2:1 od dowolnego wierzchołka do punktu środkowego przeciwległego boku. Ten punkt nazywa się środkiem ciężkości trójkąta. Wzór na znalezienie współrzędnych centroidu to

$x=\\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}$

$x=\\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}$

W „Tabela formuł w temacie punktowym nr 6” poniżej powyższy temat jest opisany graficznie dla lepszego zrozumienia i szybkiego podglądu.

Środek trójkąta|Wzór:

Jest to środek największego okręgu trójkąta, który mieści się wewnątrz trójkąta. Jest to również punkt przecięcia trzech dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Wzór używany do znalezienia środka trójkąta to

$x=\\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}$

Zobacz też Kwas nadjodowy: odsłanianie jego właściwości chemicznych i zastosowań

$x=\\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}$

W „Tabela formuł w temacie punktowym nr 6” poniżej powyższy temat jest opisany graficznie dla lepszego zrozumienia i szybkiego podglądu.

Dla łatwego wyjaśnienia graficznego poniżej „Tabela formuł w temacie punktowym nr 7” trzeba zobaczyć.

Przesunięcie formuły pochodzenia| Geometrii współrzędnych:

Dowiedzieliśmy się już w poprzednim poście „Kompletny przewodnik po geometrii współrzędnych” że początek leży w punkcie (0,0), który jest punktem przecięcia osi w płaszczyźnie. możemy przesunąć początek we wszystkich ćwiartkach płaszczyzny w stosunku do początku , co da nam nowy zestaw osi przechodzących przez nią.

Dla punktów na powyższej płaszczyźnie, jego współrzędne zmienią się wraz z nowym początkiem i osiami i można je obliczyć ze wzoru, nowe współrzędne punktu P (x₁,y₁) jest x₁= x- a; y₁ = y- b gdzie współrzędne nowego początku to (a,b). Aby mieć jasne zrozumienie tego tematu, lepiej jest zobaczyć graficzną reprezentację poniżej w „Tabela formuł w temacie punktowym nr 8” .

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`:

﹡Obwód trójkąta :

Jest to punkt przecięcia trzech prostopadłych dwusiecznych boku trójkąta. Jest to również środek okręgu opisanego w trójkącie, który dotyka tylko wierzchołków trójkąta.

﹡Media:

Mediana to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem lub punktem, przecinający przeciwną stronę wierzchołka. Każdy trójkąt ma trzy mediany, które zawsze przecinają się w środku ciężkości tego samego trójkąta.

Rozwiązane problemy dotyczące punktów w geometrii współrzędnych w 2D.

Aby lepiej poznać punkty w 2D, rozwiązano tutaj krok po kroku jeden podstawowy przykład, a do samodzielnego ćwiczenia pojawia się więcej problemów z odpowiedziami na każdym wzorze. W następnych artykułach muszą pojawić się trudne problemy do rozwiązania, zaraz po uzyskaniu podstawowego i jasnego pojęcia na temat punktów w geometrii współrzędnych 2D.

Podstawowe przykłady dotyczące formuł „Odległość między dwoma punktami”

Problemy 1: Oblicz odległość między dwoma podanymi punktami (1,2) i (6,-3).

Rozwiązanie: Znamy już wzór na odległość między dwoma punktami (x₁,y₁) i (x₂,y₂) is re =√ [(x₂-x₁)²+ (r₂-y₁)²] …(1)

(Patrz powyższa tabela formuł) Tutaj możemy założyć, że (x₁,y₁) ≌ (1,2) i (x₂,y₂) ≌ (6,-3) czyli x₁=1, tak₁=2 i x₂=6, tak₂ =-3 , Jeśli umieścimy wszystkie te wartości w równaniu (1), otrzymamy wymaganą odległość.

Dlatego odległość między dwoma punktami (1,2) i (6,-3) wynosi

=√ [(6-1)²+(-3-2)²] jednostek

= [(5)²+(-5)²] jednostki

=√ [25+25] jednostki

=√ [50] jednostki

=√ [2×5²] jednostek

= 5√2 jednostek (odp.)

Uwaga: Za odległością zawsze podążają jakieś jednostki.

Więcej odpowiedzi na problemy (podstawowe) podano poniżej w celu dalszego przećwiczenia procedury opisanej powyżej problem 1:-

Zadanie 2: Znajdź odległość między dwoma punktami (2,8) i (5,10).

Odp. √jednostki 13

Zadanie 3: Znajdź odległość między dwoma punktami (-3,-7) i (1,-10).

Ans. jednostki 5

Zadanie 4: Znajdź odległość między dwoma punktami (2,0) i (-3,4).

Odp. √jednostki 41

Zadanie 5: Znajdź odległość między dwoma punktami (2,-4) i (0,0).

Ans. 2√jednostki 5

Zobacz też 13 faktów na temat HI + MgO: co, jak równoważyć i często zadawane pytania

Zadanie 6: Znajdź odległość między dwoma punktami (10,100) i (-10,100).

Ans. jednostki 20

Zadanie 7: Znajdź odległość między dwoma punktami (√5,1) i (2√5,1).

Odp. √5 jednostek

Zadanie 8: Znajdź odległość między dwoma punktami (2√7,2) i (3√7,-1).

Odp. 4 jednostek

Zadanie 9: Znajdź odległość między dwoma punktami (2+√10) i (0-√2).

Odp. 2√10 jednostek

Zadanie 10: Znajdź odległość między dwoma punktami (2+3i, 0) i (2-3i, 10). { i=√-1 }

Ans. jednostki 8

Zadanie 11: Znajdź odległość między dwoma punktami (2+i, -5) i (2-i, -7). { i=√-1 }

Odp. 0 jednostek

Zadanie 12: Znajdź odległość między dwoma punktami (7+4i,2i) i (7-4i, 2i). { i=√-1 }

Odp. 8i jednostek

Zadanie 13: Znajdź odległość między dwoma punktami (√3+i, 3) i (2√3+i, 5). { i=√-1 }

Odp. √7 jednostek

Zadanie 14: Znajdź odległość między dwoma punktami (5+√2, 3+i) i (2+√2, 7+2i). { i=√-1 }

Odp. 2√(6+2i) jednostek

Podstawowe przykłady dotyczące formuł „Odległość punktu od początku”

Zadania 15: Znajdź odległość punktu (3,4) od początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Mamy wzór na odległość punktu od początku, OP=√ (x²+ i²) (Patrz powyższa tabela formuł) Czyli tutaj możemy założyć (x,y) ≌ (3,4) tj. x=3 i y=4

Dlatego umieszczając te wartości x i y w powyższym równaniu, otrzymujemy wymaganą odległość

=√ (3²+ 4²) jednostki

=√ (9+ 16) jednostek

=√ (25) jednostek

= 5 jednostek

Uwaga: Za odległością zawsze podążają niektóre jednostki.

Uwaga: Odległość punktu od początku to w rzeczywistości odległość między punktem a punktem początkowym, czyli (0,0)

Więcej odpowiedzi na problemy podano poniżej w celu dalszej praktyki przy użyciu procedury opisanej powyżej

Problem 15:-

Zadanie 16: Znajdź odległość punktu (1,8) od początku.

Odp. √jednostki 65

Zadanie 17: Znajdź odległość punktu (0,7) od początku.

Odp. 7 jednostek

Zadanie 18: Znajdź odległość punktu (-3,-4) od początku układu współrzędnych.

Odp. 5 jednostek

Zadanie 19: Znajdź odległość punktu (10,0) od początku.

Odp. 10 jednostek

Zadanie 20: Znajdź odległość punktu (0,0) od początku.

Odp. 0 jednostek

___________________________________________________________

Podstawowe przykłady innych wzorów punktów opisane powyżej i kilka trudnych pytań na ten temat we współrzędnych Geometria, następują kolejne posty.

NASRINA PARVIN

Cześć… Jestem Nasrina Parvin. Ukończyłem studia matematyczne, mając 10 lat doświadczenia w pracy w Ministerstwie Komunikacji i Technologii Informacyjnych Indii. W wolnym czasie uwielbiam uczyć i rozwiązywać problemy matematyczne. Od dzieciństwa matematyka jest jedynym przedmiotem, który fascynuje mnie najbardziej.

Podstawowe wzory na punktach w geometrii współrzędnych w 2D:

Wzory odległości dwupunktowej | Geometria analityczna:

Odległość punktu od początku | Geometrii współrzędnych:

Wzory przekrojów punktów |Geometria współrzędnych :

Formuła punktu środkowego| geometrii współrzędnych:

Formuła punktu środkowego| geometrii współrzędnych:

Pole trójkąta w geometrii współrzędnych:

Kolinearność punktów ( Trzy punkty) | Geometria współrzędnych:

Centroida trójkąta| Formuła:

Środek trójkąta|Wzór:

Przesunięcie formuły pochodzenia| Geometrii współrzędnych:

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

﹡Obwód trójkąta :

﹡Media:

Rozwiązane problemy dotyczące punktów w geometrii współrzędnych w 2D.

Podstawowe przykłady dotyczące formuł „Odległość między dwoma punktami”

Problemy 1: Oblicz odległość między dwoma podanymi punktami (1,2) i (6,-3).

Więcej odpowiedzi na problemy (podstawowe) podano poniżej w celu dalszego przećwiczenia procedury opisanej powyżej problem 1:-

Zadanie 2: Znajdź odległość między dwoma punktami (2,8) i (5,10).

Zadanie 3: Znajdź odległość między dwoma punktami (-3,-7) i (1,-10).

Zadanie 4: Znajdź odległość między dwoma punktami (2,0) i (-3,4).

Zadanie 5: Znajdź odległość między dwoma punktami (2,-4) i (0,0).

Zadanie 6: Znajdź odległość między dwoma punktami (10,100) i (-10,100).

Zadanie 7: Znajdź odległość między dwoma punktami (√5,1) i (2√5,1).

Zadanie 8: Znajdź odległość między dwoma punktami (2√7,2) i (3√7,-1).

Zadanie 9: Znajdź odległość między dwoma punktami (2+√10) i (0-√2).

Zadanie 10: Znajdź odległość między dwoma punktami (2+3i, 0) i (2-3i, 10). { i=√-1 }

Zadanie 11: Znajdź odległość między dwoma punktami (2+i, -5) i (2-i, -7). { i=√-1 }

Zadanie 12: Znajdź odległość między dwoma punktami (7+4i,2i) i (7-4i, 2i). { i=√-1 }

Zadanie 13: Znajdź odległość między dwoma punktami (√3+i, 3) i (2√3+i, 5). { i=√-1 }

Zadanie 14: Znajdź odległość między dwoma punktami (5+√2, 3+i) i (2+√2, 7+2i). { i=√-1 }

Podstawowe przykłady dotyczące formuł „Odległość punktu od początku”

Zadania 15: Znajdź odległość punktu (3,4) od początku układu współrzędnych.

Więcej odpowiedzi na problemy podano poniżej w celu dalszej praktyki przy użyciu procedury opisanej powyżej

Problem 15:-

Zadanie 16: Znajdź odległość punktu (1,8) od początku.

Zadanie 17: Znajdź odległość punktu (0,7) od początku.

Zadanie 18: Znajdź odległość punktu (-3,-4) od początku układu współrzędnych.

Zadanie 19: Znajdź odległość punktu (10,0) od początku.

Zadanie 20: Znajdź odległość punktu (0,0) od początku.

Podstawowe przykłady innych wzorów punktów opisane powyżej i kilka trudnych pytań na ten temat we współrzędnych Geometria, następują kolejne posty.

Witam Cię, Drogi Czytelniku,

`Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D`: