Permutacje i kombinacje
Permutacje i kombinacje, w tym artykule omówiona zostanie koncepcja określania, oprócz bezpośrednich obliczeń, liczby możliwych wyników danego zdarzenia lub liczby elementów zestawu, permutacji i kombinacji, które są podstawową metodą obliczeń w analizie kombinatorycznej.
Typowe błędy podczas nauki permutacji i kombinacji
Wśród uczniów zawsze panuje zamieszanie między permutacje i kombinacje ponieważ oba są związane z liczbą ułożenia różnych obiektów i liczbą możliwego wyniku danego zdarzenia lub liczbą sposobów na pozyskanie elementu ze zbioru. Temat permutacji i połączenie z przykładami a różnica między nimi wraz z uzasadnieniem zostanie omówiona tutaj.
Prosta i poręczna technika zapamiętywania różnicy między permutacje i kombinacje to: permutacja jest powiązana z kolejnością oznacza, że pozycja jest ważna w permutacji, podczas gdy kombinacja nie jest powiązana z kolejnością oznacza, że pozycja nie jest ważna w kombinacji.
Przed omówieniem permutacji i kombinacji potrzebujemy pewnych warunków wstępnych, które są często używane.
Co to jest silnia
Silnia jest iloczynem dodatnich liczb całkowitych od 1 do n (licząc 1 i n) oznaczonych przez n! i odczytywane jako n silnia jest opisana poniżej
n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1
nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(nr)!
Uważaj na to 0! = 1
0! = 1
1! = 1
n🇧🇷 🇧🇷 n(nl)!
np. 3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4! = 5.24 = 120
Metody liczenia (zasada mnożenia i dodawania)
Zasada dodawania: Jeśli żadne dwa zdarzenia nie mogą mieć miejsca w tym samym czasie, jedno ze zdarzeń może mieć miejsce w programie
n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・ .ways
Zasada mnożenia: Biorąc pod uwagę, że jeśli zdarzenia wystąpiły jedno po drugim, wszystkie zdarzenia mogą mieć miejsce w kolejności wskazanej w:
n1.n2.n3...sposoby
Przykład: Jeśli Instytut prowadzi 7 różnych kursów artystycznych, 3 różne kursy techniczne i 4 różne kursy fizyczne.
Jeśli student chce zapisać się na jeden z każdego rodzaju kursu, wówczas będzie ich liczba
m = 7.3.4 = 84
Jeśli student chce zapisać się tylko na jeden z kursów, to na wiele sposobów
n = 7 + 3 + 4 = 14
Co to jest permutacja
Nazywane są różne pozycje obiektów Permutacje, gdzie kolejność ustalenia ma znaczenie. Dowolne położenie zestawu n różne obiekty w określonej kolejności nazywamy a permutacja obiektu.
Rozważmy zatem przykład zestawu liter {P, Q, R, S}
Niektóre permutacje czterech alfabetów rozpatrywanych na pierwszy rzut oka to QSRP, SRQP i PRSQ
Każde uporządkowanie dowolnego r <= n tych konkretnych obiektów w określonej kolejności nazywa się „r-permutacja"Lub"permutacja Nieobiekty zrobione r na czas.
Zasadniczo podoba nam się liczba takich permutacji bez ich ustalania.
Przykład wzoru permutacji
Liczba permutacji n różnych obiektów wykonanych r na raz będzie oznaczona przez
nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(n-r)!
W matematyce jest to określane na różne sposoby, niektóre z nich wymieniono poniżej:
P (n, r), nPr, Pn, r lub (n) r
PRZYKŁAD: Oblicz liczbę m permutacji sześciu obiektów, powiedzmy A, B, C, D, E, F, biorąc trzy na pierwszy rzut oka.
Rozwiązanie: tutaj n = 6, r = 3, m =?
nPr = n!/(nr)!
m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120
Więc m = 120
PRZYKŁAD: Ile słów można wygenerować, używając 2 liter ze słowa „MATEMATYKA”?
Rozwiązanie: tutaj n = 5, r = 2, m =?
nPr = n!/(nr)!
m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20
więc wymagana liczba słów to 20.
Co rozumiesz przez kombinację?
A połączenie dla n różnych elementów branych r na raz to dowolny wybór r-tych elementów, w przypadku których zlecenia nie są brane pod uwagę. Taki wybór nazywa się kombinacja r. W skrócie, a Połączenie to wybór, w którym kolejność wybranych obiektów nie jest ważna.
Podróż Ruta de la Plata w liczbach Połączenie podaje liczbę sposobów zaaranżowania określonego zestawu, gdzie kolejność aranżacji nie ma znaczenia.
Aby zrozumieć sytuację Kombinacji, rozważ przykład
Dwadzieścia osób pojawia się na sali i wszyscy podają sobie rękę wszystkim pozostałym. Jak możemy uzyskać liczbę uścisków dłoni? „A” uścisk dłoni z B i B z A nie będzie dwoma różnymi uściskami dłoni. Tutaj kolejność uścisków dłoni nie jest ważna. Liczba uścisków dłoni to kombinacja 20 różnych rzeczy wykonywanych po 2 naraz.
Wzór kombinacji z prostym przykładem
Liczba takich kombinacji będzie oznaczona przez
Czasami jest również oznaczony przez C (n, r), nCr Cn, r lub Crn
Przykład: Klasa składa się z 10 uczniów, 6 mężczyzn i 4 kobiet. Znajdź numer n sposobów wyboru 4-osobowego komitetu spośród tych studentów.
Jest to związane z kombinacjami, a nie permutacjami, ponieważ porządek nie jest ważnym czynnikiem w komitecie. Takich komisji jest „10 wybierz 4”. To jest:
tutaj n = 10, r = 4
więc na 210 sposobów możemy wybrać taki 4-osobowy komitet.
Przykład: Pojemnik zawiera 6 niebieskich kulek i 8 czerwonych kulek. Określ, na ile sposobów można wyciągnąć z pojemnika dwie kulki w dowolnym kolorze.
Tutaj prawdopodobnie „14 wybierz 2” sposoby wyboru 2 z 14 piłek. A zatem:
Tutaj n = 14, r = 2
więc na 91 sposobów można narysować dwie kulki dowolnego koloru.
Różnica między permutacją a kombinacją
Różnica między permutacją a kombinacją została pokrótce przedstawiona tutaj
| Permutacja | Połączenie |
| Porządek jest ważny | Porządek nie jest ważny |
| Zamówienie się liczy | Zamówienie się nie liczy |
| Używane do ustaleń, takich jak wybór prezydenta, wiceprezesa i skarbnika | Służy do selekcji, takiej jak wybór drużyn i komisji bez stanowisk |
| Do wyboru pierwszego, drugiego i trzeciego konkretnego stanowiska | Do wyboru dowolnych trzech losowych |
| Do układania kart lub piłek z pozycją i kolorem | Do wyboru dowolnego koloru i położenia |
Gdzie stosować permutacje i kombinacje
Jest to ważny krok, o którym należy pamiętać, że zawsze, gdy sytuacja dotyczy aranżacji, zamówienia i wyjątkowości, musimy skorzystać Permutacja i zawsze, gdy sytuacja dotyczy selekcji, wybierania, kompletowania i łączenia bez troski o porządek, z którego musimy skorzystać Połączenie. Gdyby zachowasz te podstawy w swoim umyśle, nie będzie żadnego zamieszania „czego używać, a czego nie”, gdy pojawi się pytanie.
Wykorzystanie permutacji i kombinacji w prawdziwym życiu z przykładami
W prawdziwym życiu permutacja i kombinacja jest używana prawie wszędzie, ponieważ wiemy, że w prawdziwym życiu byłaby sytuacja, w której porządek jest ważny, a gdzieś porządek nie jest ważny, w takich sytuacjach musimy użyć odpowiedniej metody.
Na przykład
Znajdź numer N drużyn 11-osobowych z danym kapitanem, które można wybrać spośród 26 graczy.
Często zadawane pytania - FAQ
Co to jest silnia?
Iloczyn dodatnich liczb całkowitych od 1 do n (w tym 1 i n)
n! = 1.2.3… (n-2). (n-1). n
Co to jest permutacja?
Nazywa się różną kolejność obiektów permutacje
Co to jest kombinacja?
Podróż Ruta de la Plata w liczbach Połączenie podaje liczbę sposobów, w jakie można określić konkretny zbiór, w przypadku gdy kolejność ustalenia nie ma znaczenia.
Zastosowanie permutacji i kombinacji w życiu praktycznym
Permutacja jest używana do porządkowania lub wybierania list, w których kolejność jest ważna, a Kombinacja jest używana do selekcji lub wyboru, gdy kolejność nie jest ważna.
Wzór permutacyjny
nPr = n!/(nr)!
Formuła kombinowana
Czy istnieje związek między permutacjami i kombinacjami?
Tak,
nCr = nPr/r!
Czy możemy używać permutacji i kombinacji w prawdziwym życiu?
Tak,
W układzie słów, alfabetów, liczb, pozycji, kolorów itp., Gdzie kolejność jest ważna, zostanie użyta permutacja
Przy wyborze komitetu, zespołów, menu i tematów itp., Gdzie kolejność nie jest ważna, zostanie użyta kombinacja.
Wnioski
Krótkie informacje na temat permutacje i kombinacje z podstawową formułą należy przeczytać dwa lub trzy razy, aż zrozumiesz koncepcję, w kolejnych artykułach omówimy szczegółowo różne wyniki i formuły z odpowiednimi przykładami permutacje i kombinacje. Jeśli chcesz kontynuować naukę, przejdź przez:
Aby uzyskać więcej tematów z matematyki, postępuj zgodnie z tym link.
1. ZARYS SCHAUMA TEORII I PROBLEMÓW MATEMATYKI DYSKRETNEJ
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
5. https://www.cs.bgu.ac.il/
