Po omówieniu definicji i podstawowych pojęć zestawimy wszystkie wyniki i relacje permutacja i kombinacjaw zależności od tych wszystkich lepiej poznamy koncepcję permutacji i kombinacji, rozwiązując różne przykłady.
Punkty do zapamiętania (permutacja)
- Liczba sposobów zamawiania = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
- Liczba ułożonych jednocześnie n różnych obiektów razem wynosi = nPn = n!
- nP0 = n! / n! = 1
- P = n. n-1Pr-1
- 0! = 1
- 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r∈ N)
- Liczba sposobów wypełnienia r miejsc, w których każde miejsce może być wypełnione przez jeden z n obiektów, Liczba permutacji = Liczba sposobów upychania r miejsc = (n)r
Przykład: Ile liczb z przedziału od 999 do 10000 można wygenerować za pomocą liczb 0, 2, 3,6,7,8, w których nie wolno powielać cyfr?
Rozwiązanie: Wszystkie liczby od 999 do 10000 są czterocyfrowe.
Czterocyfrowe liczby zbudowane z cyfr 0, 2, 3,6,7,8 to
Ale tutaj są również zaangażowane te liczby, które zaczynają się od 0. Możemy więc wziąć liczby utworzone za pomocą trzech cyfr.
Biorąc początkową cyfrę 0, liczba sposobów ustawienia oczekujących 3 miejsc z pięciu cyfr 2, 3,6,7,8 to 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60
Więc wymagane liczby = 360-60 = 300.
Przykład: Ile książek można ułożyć w rzędzie, aby dwie wspomniane książki nie były razem?
Rozwiązanie: Całkowita liczba zamówień n różnych książek = n !.
Jeśli dwie wspomniane książki zawsze są razem, to liczba sposobów = (n-1)! X2
Przykład: Ile jest sposobów podzielonych przez 10 piłek między dwóch chłopców, jeden dostaje dwa, a drugi osiem.
Rozwiązanie: A dostaje 2, B
gets 8; 10!/2!8!=45
A dostaje 8, B
dostaje 2; 10! / (8! 2!) = 45
to oznacza 45 + 45 = 90 sposobów podzielenia piłki.
Przykład: Wyszukaj liczbę uporządkowania alfabetów słowa „CALCUTTA”.
Rozwiązanie: Wymagana liczba dróg = 8! / (2! 2! 2!) = 5040
Przykład: Dwadzieścia osób zostało zaproszonych na przyjęcie. Na ile różnych sposobów oni i gospodarz mogą siedzieć przy okrągłym stole, jeśli dwie osoby muszą siedzieć po obu stronach opiekuna.
Rozwiązanie: Łącznie będzie 20 + 1 = 21 osób.
Dwie wymienione osoby i gospodarz są uważane za jedną jednostkę, tak aby pozostało 21 - 3 + 1 = 19 osób do uzgodnienia w 18! sposoby.
Ale dwie konkretne osoby po obu stronach hosta mogą same być ustawione w 2! sposoby.
Dlatego są 2! * 18! sposoby.
Przykład : Na ile sposobów można wykonać girlandę z dokładnie 10 kwiatów.
Rozwiązanie: n girlandę z kwiatów można wykonać w (n-1)! sposoby.
Z 10 kwiatów można przygotować girlandę na 9! / 2 różne sposoby.
Przykład: Znajdź konkretną czterocyfrową liczbę, która powinna być utworzona przez 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, tak aby każda liczba miała numer 1.
Rozwiązanie: Po zabezpieczeniu 1 na pierwszej pozycji z 4 miejsc można wypełnić 3 miejsca7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.
Ale niektóre liczby, których czwarta cyfra to zero, więc takie sposoby =6P2= 6! / (6-2)! = 20.
Całkowita liczba sposobów = 7P3 - 6P2 = 210-20 = 180
Pamiętaj o tych punktach w przypadku kombinacji
- Liczba kombinacji n obiekty, w tym p są identyczne, wzięte r na raz
npCr+npCr-1+npCr-2+ …… .. +npC0 , jeśli r <= p i npCr+npCr-1+npCr-2+… .. +npCrp , jeśli r> p
- n wybierz 0 lub n wybierz n to 1, nC0 = nCn = 1, nC1 = n.
- nCr + nCr-1 = n + 1Cr
- Cx = nCy <=> x = y lub x + y = n
- n. n-1Cr-1 = (n-r + 1) nCr-1
- nC0+nC2+nC4+…. =nC1+nC3+nC5… .. = 2n-1
- 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
- nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCn + 1
- Liczba kombinacji n różne rzeczy naraz. nCn= n! / {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1
W dalszej części rozwiążemy kilka przykładów
Przykład: If 15Cr=15Cr + 5 , więc jaka jest wartość r?
Rozwiązanie: Tutaj użyjemy powyższego
nCr=nCnr po lewej stronie równania
15Cr=15Cr + 5 => 15C15-R =15Cr + 5
=> 15-r = r + 5 => 2r = 10 => r = 10/2 = 5
więc wartość r wynosi 5 implikuje problem 15 WYBIERZ 5.
Przykład: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 znajdź wartość r, więc wartość nCr będzie 15.
Rozwiązanie: Tutaj podany termin to stosunek 2n wybierz 3 an wybierz 2 jako
z definicji kombinacji
(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3
=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3
=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6
Teraz 6Cr= 15 => 6Cr=6C2 or 6C4 => r = 2, 4
więc problem okazał się być 6 wybierz 2 lub 6 wybierz 4
Przykład: If nCr-1= 36 nCr= 84 i nCr + 1= 126, jaka byłaby zatem wartość r?
rozwiązanie: Tutaj nCr-1 / nCr = 36/84 i nCr /nCr + 1 = 84/126.
(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84
r / (n-r + 1) = 3/7 => 7r = 3n-3r + 3
=> 3n-10r = -3 i podobnie z drugiej porcji otrzymujemy
4n-10r = 6
Po rozwiązaniu otrzymujemy n = 9, r = 3
więc problem okazał się być 9 wybierz 3, 9 wybierz 2 i 9 wybierz 4.
Przykład: Wszyscy w pokoju podają wszystkim ręce. Całkowita liczba uścisków dłoni to 66. Znajdź liczbę osób w pokoju.
nC2 = 66 => n! / {2! (N-2)!} = 66 => n (n-1) = 132 => n = 12
Rozwiązanie: więc wartość n wynosi 12 oznacza, że całkowita liczba osób w pokoju wynosi 12, a problem 12, wybierz 2.
Przykład: W turnieju piłkarskim rozegrano 153 mecze. Wszystkie drużyny rozegrały jeden mecz. znajdź liczbę grup biorących udział w turnieju.
Rozwiązanie:
tutaj nC2 = 153 => n! / {2! (N-2)} = 153 => n (n-1) / 2 = 153 => n = 18
więc łączna liczba drużyn biorących udział w turnieju wynosiła 18, a połączenie jest 18 wybierz 2 .
Przykład Podczas ceremonii Deepawali każdy członek klubu wysyła innym kartki z życzeniami. Jeśli w klubie jest 20 członków, jaka byłaby całkowita liczba sposobów wymiany kartek okolicznościowych przez członków.
Rozwiązanie: Ponieważ dwóch członków może wymieniać się kartami na dwa sposoby, więc jest 20, aby wybrać 2 dwa razy
2 x 20C2 = 2 x (20!) / {2! (20-2)!} = 2 * 190 = 380, byłoby 380 sposobów wymiany kartek z życzeniami.
Przykład: Sześć symboli plus „+” i cztery minusy „-” należy ułożyć w takiej prostej linii, aby żadne dwa symbole „-” się nie spotkały, znajdź całkowitą liczbę sposobów.
Rozwiązanie: Zamówienie można wykonać jako -+-+-+-+-+-+- znaki (-) można umieścić w 7 wolnych (ostrych) miejscach.
Stąd wymagana liczba sposobów = 7C4 = 35.
Przykład: If nC21 =nC6 , a następnie znajdź nC15 =?
Rozwiązanie: Biorąc pod uwagę, nC21 =nC6
21 + 6 = n => n = 27
Stąd 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860
czyli 27 wybiera 15.
Wnioski
Niektóre przykłady są brane w zależności od relacji i wyników, jako liczba przykładów, które możemy przyjąć dla każdego wyniku, ale ważną rzeczą, którą chcę tutaj pokazać, było to, jak możemy wykorzystać dowolny wynik w zależności od sytuacji, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, możesz przejrzyj zawartość lub jeśli uzyskasz jakąkolwiek osobistą pomoc, możesz bezpłatnie skontaktować się z nami w przypadku niektórych powiązanych treści, które możesz znaleźć pod adresem:
Aby uzyskać więcej tematów na temat matematyki, sprawdź to link.
ZARYS SCHAUMA TEORII I PROBLEMÓW MATEMATYKI DYSKRETNEJ
