Po omówieniu definicji i podstawowych pojęć zestawimy wszystkie wyniki i relacje permutacja i kombinacjaw zależności od tych wszystkich lepiej poznamy koncepcję permutacji i kombinacji, rozwiązując różne przykłady.

Punkty do zapamiętania (permutacja)

1. Liczba sposobów zamawiania = ⁿP_r= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
2. Liczba ułożonych jednocześnie n różnych obiektów razem wynosi = ⁿP_n = n!
3. ⁿP₀ = n! / n! = 1
4. P = n. ^n-1P_r-1
5. 0! = 1
6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r∈ N)
7. Liczba sposobów wypełnienia r miejsc, w których każde miejsce może być wypełnione przez jeden z n obiektów, Liczba permutacji = Liczba sposobów upychania r miejsc = (n)^r   

Przykład: Ile liczb z przedziału od 999 do 10000 można wygenerować za pomocą liczb 0, 2, 3,6,7,8, w których nie wolno powielać cyfr?

Rozwiązanie: Wszystkie liczby od 999 do 10000 są czterocyfrowe.

                   Czterocyfrowe liczby zbudowane z cyfr 0, 2, 3,6,7,8 to

  Ale tutaj w grę wchodzą także liczby, które zaczynają się od 0. Możemy więc wziąć liczby utworzone z trzech cyfr.

Biorąc początkową cyfrę 0, liczba sposobów ustawienia oczekujących 3 miejsc z pięciu cyfr 2, 3,6,7,8 to ⁵P₃ =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Więc wymagane liczby = 360-60 = 300.

Przykład: Ile książek można ułożyć w rzędzie, aby dwie wspomniane książki nie były razem?

Rozwiązanie: Całkowita liczba zamówień n różnych książek = n !.                                                                                                                

           Jeśli dwie wspomniane książki zawsze są razem, to liczba sposobów = (n-1)! X2

Przykład: Ile jest sposobów podzielonych przez 10 piłek między dwóch chłopców, jeden dostaje dwa, a drugi osiem.

Rozwiązanie: A dostaje 2, B  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A dostaje 8, B gets 2; 10!/(8!2!)=45

to oznacza 45 + 45 = 90 sposobów podzielenia piłki.

Przykład: Wyszukaj liczbę uporządkowania alfabetów słowa „CALCUTTA”.

Rozwiązanie: Wymagana liczba dróg = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

Przykład: Dwadzieścia osób zostało zaproszonych na przyjęcie. Na ile różnych sposobów oni i gospodarz mogą siedzieć przy okrągłym stole, jeśli dwie osoby muszą siedzieć po obu stronach opiekuna.

Rozwiązanie: Razem będzie 20 + 1 = 21 osób.

Dwie wymienione osoby i gospodarz są uważane za jedną jednostkę, tak aby pozostało 21 - 3 + 1 = 19 osób do uzgodnienia w 18! sposoby.

 Ale dwie konkretne osoby po obu stronach gospodarza mogą same zostać ułożone w 2! sposoby.

  Dlatego są 2! * 18! sposoby.

Przykład : Na ile sposobów można wykonać girlandę z dokładnie 10 kwiatów.

Rozwiązanie:  n girlandę z kwiatów można wykonać w (n-1)! sposoby.

Girlandę z 10 kwiatów można przygotować na 9!/2 różne sposoby.

Przykład: Znajdź konkretną czterocyfrową liczbę, która powinna być utworzona przez 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, tak aby każda liczba miała numer 1.

Rozwiązanie: Po zabezpieczeniu 1 na pierwszej pozycji z 4 miejsc można wypełnić 3 miejsca⁷P₃ =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Ale niektóre liczby, których czwarta cyfra to zero, więc takie sposoby =⁶P₂= 6! / (6-2)! = 20.

                   Całkowita liczba sposobów = ⁷P₃ - ⁶P₂ = 210-20 = 180

Pamiętaj o tych punktach w przypadku kombinacji

W dalszej części rozwiążemy kilka przykładów  

Przykład: If ¹⁵C_r=¹⁵C_{r + 5} , więc jaka jest wartość r?

Rozwiązanie: Tutaj użyjemy powyższego

 ⁿC_r=ⁿC_nr po lewej stronie równania

¹⁵C_r=¹⁵C_{r + 5} => ¹⁵C_15-R =¹⁵C_{r + 5}

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

więc wartość r wynosi 5 implikuje problem 15 WYBIERZ 5.

Przykład: If ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 44: 3 znajdź wartość r, więc wartość ⁿC_r  będzie 15.

 Rozwiązanie: Tutaj podany termin to stosunek 2n wybierz 3 an wybierz 2 jako

z definicji kombinacji

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   Teraz ⁶C_r=15 => ⁶C_r=⁶C₂   or ⁶C₄ => r = 2, 4

więc problem okazał się być 6 wybierz 2 lub 6 wybierz 4

Przykład:  If  ⁿC_r-1= 36 ⁿC_r= 84 i ⁿC_{r + 1}= 126, jaka byłaby zatem wartość r?

 rozwiązanie: Tutaj ⁿC_r-1 / ⁿC_r = 36/84 i ⁿC_r /ⁿC_{r + 1} = 84/126 .

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3 i analogicznie z drugiej racji otrzymamy

4n-10r = 6

Po rozwiązaniu otrzymujemy n = 9, r = 3

więc problem okazał się być 9 wybierz 3, 9 wybierz 2 i 9 wybierz 4.

Przykład: Wszyscy na sali każdemu podają rękę. Całkowita liczba uścisków dłoni wynosi 66. Znajdź liczbę osób w pokoju.

ⁿC₂ =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

Rozwiązanie: więc wartość n wynosi 12 oznacza, że ​​całkowita liczba osób w pokoju wynosi 12, a problem 12, wybierz 2.

Przykład: W turnieju piłki nożnej rozegrano 153 mecze. Wszystkie drużyny rozegrały po jednym meczu. znajdź liczbę grup biorących udział w turnieju.

Rozwiązanie:

tutaj ⁿC₂ =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

więc łączna liczba drużyn biorących udział w turnieju wynosiła 18, a połączenie jest 18 wybierz 2 .

Przykład Podczas ceremonii Deepawali każdy członek klubu wysyła innym kartki z życzeniami. Jeśli w klubie jest 20 członków, jaka byłaby całkowita liczba sposobów wymiany kartek okolicznościowych przez członków.

Rozwiązanie: Ponieważ dwóch członków może wymieniać się kartami na dwa sposoby, więc jest 20, aby wybrać 2 dwa razy

2 x ²⁰C₂ =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380, byłoby 380 sposobów wymiany kartek z pozdrowieniami.

Przykład: Sześć symboli plus „+” i cztery minus „-” należy ułożyć w takiej linii prostej, aby żadne dwa symbole „-” nie spotkały się, aby znaleźć całkowitą liczbę dróg.

 Rozwiązanie: Porządkowanie można dokonać w formie -+-+-+-+-+-+- znaki (-) można umieścić w 7 wolnych (wskazanych) miejscach.

Stąd wymagana liczba sposobów = ⁷C₄ = 35.

Przykład: If ⁿC₂₁ =ⁿC₆ , a następnie znajdź ⁿC₁₅ =?

Rozwiązanie: Biorąc pod uwagę, ⁿC₂₁ =ⁿC₆

21+6=n => n=27

Stąd ²⁷C₁₅ =27!/{15!(27-15)!} =17383860

czyli 27 wybiera 15.

Wnioski

Niektóre przykłady są brane w zależności od relacji i wyników, jako liczba przykładów, które możemy przyjąć dla każdego wyniku, ale ważną rzeczą, którą chcę tutaj pokazać, było to, jak możemy wykorzystać dowolny wynik w zależności od sytuacji, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, możesz przejrzyj zawartość lub jeśli uzyskasz jakąkolwiek osobistą pomoc, możesz bezpłatnie skontaktować się z nami w przypadku niektórych powiązanych treści, które możesz znaleźć pod adresem:

Aby uzyskać więcej tematów na temat matematyki, sprawdź to link.

ZARYS SCHAUMA TEORII I PROBLEMÓW MATEMATYKI DYSKRETNEJ

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.