Permutacje i kombinacje: 11 faktów, które powinieneś wiedzieć

Permutacje i kombinacje

 Permutacje i kombinacje, w tym artykule omówiona zostanie koncepcja określania, oprócz bezpośrednich obliczeń, liczby możliwych wyników danego zdarzenia lub liczby elementów zestawu, permutacji i kombinacji, które są podstawową metodą obliczeń w analizie kombinatorycznej.

Typowe błędy podczas nauki permutacji i kombinacji

Wśród uczniów zawsze panuje zamieszanie między permutacje i kombinacje ponieważ oba są związane z liczbą ułożenia różnych obiektów i liczbą możliwego wyniku danego zdarzenia lub liczbą sposobów na pozyskanie elementu ze zbioru. Temat permutacji i połączenie z przykładami a różnica między nimi wraz z uzasadnieniem zostanie omówiona tutaj.

Prosta i poręczna technika zapamiętywania różnicy między permutacje i kombinacje to: permutacja jest powiązana z kolejnością oznacza, że ​​pozycja jest ważna w permutacji, podczas gdy kombinacja nie jest powiązana z kolejnością oznacza, że ​​pozycja nie jest ważna w kombinacji.

Przed omówieniem permutacji i kombinacji potrzebujemy pewnych warunków wstępnych, które są często używane.

 Co to jest silnia

          Silnia jest iloczynem dodatnich liczb całkowitych od 1 do n (licząc 1 i n) oznaczonych przez n! i odczytywane jako n silnia jest opisana poniżej

n! = 1.2.3.4… (n-2).(n-1).n = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

nPr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1) = n!/(nr)!

Uważaj na to 0! = 1 

0! = 1 XNUMX XNUMX

1! = 1 XNUMX XNUMX

n🇧🇷 🇧🇷 n(nl)!

np. 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

Metody liczenia (zasada mnożenia i dodawania)

      Zasada dodawania: Jeśli żadne dwa zdarzenia nie mogą mieć miejsca w tym samym czasie, jedno ze zdarzeń może mieć miejsce w programie

n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・ .ways

      Zasada mnożenia: Biorąc pod uwagę, że jeśli zdarzenia wystąpiły jedno po drugim, wszystkie zdarzenia mogą mieć miejsce w kolejności wskazanej w:

n1.n2.n3...sposoby

Przykład: Jeśli Instytut prowadzi 7 różnych kursów artystycznych, 3 różne kursy techniczne i 4 różne kursy fizyczne.

Jeśli student chce zapisać się na jeden z każdego rodzaju kursu, wówczas będzie ich liczba

m = 7.3.4 = 84

Jeśli student chce zapisać się tylko na jeden z kursów, to na wiele sposobów

n = 7 + 3 + 4 = 14

Co to jest permutacja

Nazywane są różne pozycje obiektów Permutacje, gdzie kolejność ustalenia ma znaczenie. Dowolne położenie zestawu n różne obiekty w określonej kolejności nazywamy a permutacja obiektu.

        Rozważmy zatem przykład zestawu liter {P, Q, R, S}

  Niektóre permutacje czterech alfabetów rozpatrywanych na pierwszy rzut oka to QSRP, SRQP i PRSQ

Każde uporządkowanie dowolnego r <= n tych konkretnych obiektów w określonej kolejności nazywa się „r-permutacja"Lub"permutacja Nieobiekty zrobione r na czas.

Zasadniczo podoba nam się liczba takich permutacji bez ich ustalania.

Przykład wzoru permutacji

Liczba permutacji n różnych obiektów wziętych r na raz będzie oznaczona wzorem

nPr = n. (n-1).(n-2)…(nr+1) = n!/(N-r)!

W matematyce jest to określane na różne sposoby, niektóre z nich wymieniono poniżej:

P (n, r), nPr, Pn, r lub (n) r

PRZYKŁAD: Oblicz liczbę m permutacji sześciu obiektów, powiedzmy A, B, C, D, E, F, biorąc trzy na pierwszy rzut oka.

Rozwiązanie:   Tutaj n=6, r=3, m=?

nPr = n!/(nr)!

m = 6P3 = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 3!.4.5.6/3!= 4.5.6 = 120

Więc m = 120

PRZYKŁAD: Ile słów można wygenerować, używając 2 liter ze słowa „MATEMATYKA”?

Rozwiązanie: tutaj n = 5, r = 2, m =?

nPr = n!/(nr)!

m = 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 3!.4.5/3! = 4.5 = 20

więc wymagana liczba słów to 20.

Co rozumiesz przez kombinację?

A połączenie dla n różnych elementów pobieranych r na raz to dowolny wybór r-tych elementów, w przypadku których zamówienia nie są brane pod uwagę. Taki wybór nazywa się kombinacja r. W skrócie, a Połączenie to wybór, w którym kolejność wybranych obiektów nie jest ważna.

      Połączenia Połączenie podaje liczbę sposobów zaaranżowania określonego zestawu, gdzie kolejność aranżacji nie ma znaczenia.

 Aby zrozumieć sytuację Kombinacji, rozważ przykład

Dwadzieścia osób pojawia się na sali i wszyscy podają sobie rękę wszystkim pozostałym. Jak możemy uzyskać liczbę uścisków dłoni? „A” uścisk dłoni z B i B z A nie będzie dwoma różnymi uściskami dłoni. Tutaj kolejność uścisków dłoni nie jest ważna. Liczba uścisków dłoni to kombinacja 20 różnych rzeczy wykonywanych po 2 naraz.

Wzór kombinacji z prostym przykładem

       Liczba takich kombinacji będzie oznaczona przez

KodCogsEqn

Czasami jest to również oznaczane przez C(n,r), nCr Cn, r lub Crn

Przykład: Klasa składa się z 10 uczniów, 6 mężczyzn i 4 kobiet. Znajdź numer n sposobów wyboru spośród tych studentów 4-osobowej komisji.

Jest to związane z kombinacjami, a nie permutacjami, ponieważ porządek nie jest ważnym czynnikiem w komitecie. Takich komisji jest „10 wybierz 4”. To jest:

gif

tutaj n = 10, r = 4

KodCogsEqn 15

więc na 210 sposobów możemy wybrać taki 4-osobowy komitet.

Przykład: Pojemnik zawiera 6 niebieskich kulek i 8 czerwonych kulek. Określ, na ile sposobów można wyciągnąć z pojemnika dwie kulki w dowolnym kolorze.

Tutaj prawdopodobnie „14 wybierz 2” sposoby wyboru 2 z 14 piłek. Zatem:

KodCogsEqn 16

Tutaj n = 14, r = 2

gif.latex?%5E%7B14%7DC %7B2%7D%20%3D%20%5Cbinom%7B14%7D%7B2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B14%21%7D%7B2%21%2814 2%29%21%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B14.13.12.%21%7D%7B2.1

więc na 91 sposobów można narysować dwie kulki dowolnego koloru.

Różnica między permutacją a kombinacją

Różnica między permutacją a kombinacją została pokrótce przedstawiona tutaj

PermutacjaPołączenie
Porządek jest ważnyPorządek nie jest ważny
Zamówienie się liczyZamówienie się nie liczy
Używane do ustaleń, takich jak wybór prezydenta, wiceprezesa i skarbnikaSłuży do selekcji, takiej jak wybór drużyn i komisji bez stanowisk
Do wyboru pierwszego, drugiego i trzeciego konkretnego stanowiskaDo wyboru dowolnych trzech losowych
Do układania kart lub piłek z pozycją i koloremDo wyboru dowolnego koloru i położenia
Różnica między permutacjami i kombinacjami

Gdzie stosować permutacje i kombinacje

  Jest to ważny krok, o którym należy pamiętać, że zawsze, gdy sytuacja dotyczy aranżacji, zamówienia i wyjątkowości, musimy skorzystać Permutacja i zawsze, gdy sytuacja dotyczy selekcji, wybierania, kompletowania i łączenia bez troski o porządek, z którego musimy skorzystać Połączenie. Gdyby zachowasz te podstawy w swoim umyśle, nie będzie żadnego zamieszania „czego używać, a czego nie”, gdy pojawi się pytanie.

Wykorzystanie permutacji i kombinacji w prawdziwym życiu z przykładami

W prawdziwym życiu permutacja i kombinacja jest używana prawie wszędzie, ponieważ wiemy, że w prawdziwym życiu byłaby sytuacja, w której porządek jest ważny, a gdzieś porządek nie jest ważny, w takich sytuacjach musimy użyć odpowiedniej metody.

Na przykład

Znajdź numer N drużyn 11-osobowych z danym kapitanem, które można wybrać spośród 26 graczy.

Często zadawane pytania - FAQ

Co to jest silnia?

Iloczyn dodatnich liczb całkowitych od 1 do n (w tym 1 i n)

n! = 1.2.3… (n-2). (n-1). n

Co to jest permutacja?

Nazywa się różną kolejność obiektów permutacje

Co to jest kombinacja?

     Połączenia Połączenie podaje liczbę sposobów, w jakie można określić konkretny zbiór, w przypadku gdy kolejność ustalenia nie ma znaczenia.

Zastosowanie permutacji i kombinacji w życiu praktycznym

Permutacja jest używana do porządkowania lub wybierania list, w których kolejność jest ważna, a Kombinacja jest używana do selekcji lub wyboru, gdy kolejność nie jest ważna.

Wzór permutacyjny

nPr = n!/(nr)!

Formuła kombinowana

KodCogsEqn 16 1

Czy istnieje związek między permutacjami i kombinacjami?

Tak,

nCr = nPr/r!

Czy możemy używać permutacji i kombinacji w prawdziwym życiu?

Tak,

W układzie słów, alfabetów, liczb, pozycji, kolorów itp., Gdzie kolejność jest ważna, zostanie użyta permutacja

Przy wyborze komitetu, zespołów, menu i tematów itp., Gdzie kolejność nie jest ważna, zostanie użyta kombinacja.

   Krótkie informacje na temat permutacje i kombinacje z podstawową formułą należy przeczytać dwa lub trzy razy, aż zrozumiesz koncepcję, w kolejnych artykułach omówimy szczegółowo różne wyniki i formuły z odpowiednimi przykładami permutacje i kombinacje. Jeśli chcesz kontynuować naukę, przejdź przez:

Aby uzyskać więcej tematów z matematyki, postępuj zgodnie z tym link.

Referencje:

1. ZARYS SCHAUMA TEORII I PROBLEMÓW MATEMATYKI DYSKRETNEJ

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/