Normalna zmienna losowa: 3 ważne fakty -

Normalna zmienna losowa i rozkład normalny

Zmienna losowa z niepoliczalnym zestawem wartości jest znana jako ciągła zmienna losowa, a funkcja gęstości prawdopodobieństwa za pomocą całkowania, ponieważ obszar pod krzywą daje ciągły rozkład, Teraz skupimy się na jednej z najczęściej używanych i częstych ciągłych zmiennych losowych mianowicie normalna zmienna losowa, która ma inną nazwę jako zmienna losowa Gaussa lub rozkład Gaussa.

Normalna zmienna losowa

Normalna zmienna losowa to ciągła zmienna losowa z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

mając na myśli μ i wariancja σ² jako parametry statystyczne i geometrycznie funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma krzywą w kształcie dzwonu, która jest symetryczna względem średniej μ.

Wiemy, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma całkowite prawdopodobieństwo jako jeden

umieszczając y = (x-μ) / σ

tę podwójną integrację można rozwiązać, przekształcając ją w postać biegunową

która jest wymaganą wartością, więc jest weryfikowana dla całki I.

Jeśli X ma rozkład normalny z parametrem μ i σ² wtedy Y = aX + b ma również rozkład normalny z parametrami aμ + b i a²μ²

Oczekiwanie i wariancja zmiennej normalnej losowej

Oczekiwana wartość normalnej zmiennej losowej i wariancja, którą uzyskamy za pomocą

gdzie X ma rozkład normalny ze średnią parametrów μ i odchylenie standardowe σ.

ponieważ średnia z Z wynosi zero, więc mamy wariancję jako

używając całkowania przez części

dla zmiennej Z interpretacja graficzna jest następująca

i obszar pod krzywą dla tej zmiennej Z, która jest znana jako standardowa zmienna normalna, to jest obliczany dla odniesienia (podanego w tabeli), ponieważ krzywa jest symetryczna, więc dla wartości ujemnej powierzchnia będzie taka sama jak dla wartości dodatnich

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

ponieważ użyliśmy podstawienia

Pamiętaj, że Z jest standardową zmienną normalną, gdzie as ciągła zmienna losowa X ma rozkład normalny normalna zmienna losowa ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ.

Aby znaleźć funkcję rozkładu dla zmiennej losowej, użyjemy konwersji do standardowej zmiennej normalnej jako

dla dowolnej wartości.

Przykład: Na standardowej krzywej normalnej znajdź obszar między punktami 0 i 1.2.

Jeśli postępujemy zgodnie z tabelą, wartość 1.2 pod kolumną 0 to 0.88493, a wartość 0 to 0.5000,

Przykład: znajdź obszar dla standardowej krzywej normalnej w zakresie od -0.46 do 2.21.

Z zacienionego obszaru możemy rozdzielić ten obszar od -0.46 do 0 i od 0 do 2.21, ponieważ normalna krzywa jest symetryczna względem osi y, więc obszar od -0.46 do 0 jest taki sam jak od 0 do 0.46, a więc z tabeli

więc możemy to zapisać jako

Powierzchnia całkowita = (powierzchnia między z = -0.46 a z = 0) + (powierzchnia między z = 0 a z = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Przykład: Jeśli X jest normalną zmienną losową o średniej 3 i wariancji 9, znajdź następujące prawdopodobieństwa

P{X>0}

P|X-3|>6

Rozwiązanie: ponieważ mamy

więc rozwidlając na przedziały od -1/3 do 0 i od 0 do 2/3 otrzymamy rozwiązanie z wartości tabelarycznych

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

Przykład: Obserwator w przypadku ojcostwa stwierdza, że długość (w dniach) wzrostu człowieka

ma rozkład normalny z parametrami średnio 270 i wariancją 100. W tym przypadku podejrzany, który jest ojcem dziecka, przedstawił dowód, że przebywał poza krajem w okresie, który rozpoczął się 290 dni przed narodzinami dziecka i zakończył 240 dni wcześniej poród. Znajdź prawdopodobieństwo, że matka mogła mieć bardzo długą lub bardzo krótką ciążę wskazaną przez świadka?

Niech X oznacza zmienną losową o rozkładzie normalnym dla ciąży i przyjmijmy, że podejrzany jest ojcem dziecka. W takim przypadku prawdopodobieństwo narodzin dziecka nastąpiło w określonym czasie

Związek między normalną zmienną losową a dwumianową zmienną losową

W przypadku rozkładu dwumianowego średnia wynosi np, a wariancja npq, więc jeśli zamienimy taką dwumianową zmienną losową z taką średnią i odchyleniem standardowym, które mają n bardzo duże, a p lub q są bardzo małe, zbliżając się do zera, to standardowa normalna zmienna Z z pomoc tych średnich i wariancji jest

tutaj pod względem Procesy Bernouli X bierze pod uwagę liczbę sukcesów w n próbach. Gdy n rośnie i zbliża się do nieskończoności, ta normalna zmienna postępuje w ten sam sposób, aby stać się standardową zmienną normalną.

Relację dwumianu i standardowej zmiennej normalnej możemy znaleźć za pomocą następującego twierdzenia.

Twierdzenie graniczne DeMoivre'a Laplace'a

If S_n oznacza liczbę sukcesów, które występują, gdy n niezależne próby, z których każda zakończyła się sukcesem z prawdopodobieństwem p , są wykonywane dla dowolnego a <b,

Przykład: Przy pomocy normalnego przybliżenia dwumianowej zmiennej losowej znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia 20-krotnego ogona, gdy uczciwa moneta rzuci się 40 razy.

Rozwiązanie: Załóżmy, że zmienna losowa X przedstawia występowanie ogona, ponieważ dwumianowa zmienna losowa jest dyskretną zmienną losową, a normalna zmienna losowa jest ciągłą zmienną losową, więc aby przekształcić dyskretną w ciągłą, zapisujemy ją jako

a jeśli rozwiążemy podany przykład za pomocą rozkładu dwumianowego, otrzymamy go jako

Przykład: Aby zdecydować o skuteczności określonego pożywienia w zmniejszaniu poziomu cholesterolu w krwiobiegu, 100 osób poddaje się pożywieniu. Poziom cholesterolu obserwowano przez określony czas po podaniu pożywienia. Jeśli z tej próbki 65% ma niski poziom cholesterolu, pożywienie zostanie zatwierdzone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dietetyk zaakceptuje nowy pokarm, jeśli w rzeczywistości nie ma on wpływu na poziom cholesterolu?

rozwiązanie: Niech zmienna losowa wyraża poziom cholesterolu, jeśli jest obniżony o pożywienie, więc prawdopodobieństwo takiej zmiennej losowej będzie wynosić ½ dla każdej osoby, jeśli X oznacza niską liczbę osób, to prawdopodobieństwo, że wynik zostanie zatwierdzony, nawet jeśli nie ma wpływu pożywienia na obniżyć poziom cholesterolu

Wnioski:

W tym artykule pojęcie ciągłej zmiennej losowej, a mianowicie normalnej zmienna losowa i omówiono jego rozkład z funkcją gęstości prawdopodobieństwa oraz podano średnią statystyczną parametru, wariancję dla normalnej zmiennej losowej. Konwersja zmiennej losowej o rozkładzie normalnym do nowej standardowej zmiennej normalnej i pola pod krzywą dla takiej standardowej zmiennej normalnej jest podana w formie tabelarycznej w jednym z związek z dyskretną zmienną losową jest również wymieniony na przykładzie , jeśli chcesz dalej czytać, przejdź przez:

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Więcej tematów z matematyki można znaleźć w sekcji tutaj.

Normalna zmienna losowa i rozkład normalny