Funkcja generowania momentu
Funkcja generująca momenty jest bardzo ważną funkcją, która generuje momenty zmiennej losowej, które obejmują średnią, odchylenie standardowe i wariancję itp., więc za pomocą samej funkcji generującej momenty możemy znaleźć momenty podstawowe i wyższe. W tym artykule omówimy zobaczy funkcje generujące momenty dla różnych dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych. ponieważ funkcję generującą moment (MGF) definiuje się za pomocą oczekiwań matematycznych oznaczanych przez M(t) jako
i używając definicji oczekiwanie dla dyskretnej i ciągłej zmiennej losowej ta funkcja będzie
który poprzez podstawienie wartości t jako zero generuje odpowiednie momenty. Te momenty musimy zebrać różniczkując tę funkcję generującą moment na przykład dla pierwszej chwili lub oznaczamy, że możemy uzyskać różniczkując raz jako
Daje to wskazówkę, że różnicowanie jest wymienne pod oczekiwaniem i możemy to zapisać jako
i
jeśli t=0 powyższe momenty będą
i
Ogólnie można tak powiedzieć
stąd
Funkcja generowania momentów rozkładu dwumianowego||Funkcja generowania momentów rozkładu dwumianowego||MGF rozkładu dwumianowego||Średnia i wariancja rozkładu dwumianowego za pomocą funkcji generowania momentu
Funkcja generująca moment dla zmiennej losowej X, która jest rozkładem dwumianowym, będzie podążać za funkcją prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z parametrami n i p jako
co jest wynikiem twierdzenia dwumianowego, teraz różnicując i wprowadzając wartość t=0
co jest średnim lub pierwszym momentem rozkładu dwumianowego, podobnie będzie w przypadku drugiego momentu
więc wariancja rozkładu dwumianowego będzie
co jest standardową średnią i wariancją rozkładu dwumianowego, podobnie wyższe momenty również możemy znaleźć za pomocą tej funkcji generującej momenty.
Funkcja generowania momentu Poisson dystrybucja||Poisson funkcja generująca momenty rozkładu||MGF z Poisson rozkład||Średnia i wariancja rozkładu Poissona przy użyciu funkcji generującej moment
Jeżeli mamy zmienną losową X o rozkładzie Poissona z parametrem Lambda to funkcja generująca moment dla tego rozkładu będzie
teraz zróżnicowanie to da
to daje
co daje średnią i wariancję dla rozkładu Poissona, co jest prawdą
Funkcja generowania momentów rozkładu wykładniczego||Wykładniczy funkcja generująca momenty rozkładu||MGF z Wykładniczy rozkład||Średnia i wariancja Wykładniczy rozkład za pomocą funkcji generowania momentów
Funkcja generująca moment dla wykładniczej zmiennej losowej X zgodnie z definicją to
tutaj wartość t jest mniejsza niż parametr lambda, teraz zróżnicowanie to da
który zapewnia chwile
wyraźnie
Które są średnią i wariancją rozkładu wykładniczego.
Funkcja tworząca moment rozkładu normalnego||Zasadal funkcja generująca momenty rozkładu||MGF z ZasadaRozkład l||Średnia i wariancja Normalna rozkład za pomocą funkcji generowania momentów
Funkcja tworząca moment dla rozkładów ciągłych jest również taka sama jak dyskretna, więc funkcja tworząca moment dla rozkładu normalnego ze standardową funkcją gęstości prawdopodobieństwa będzie
tę integrację możemy rozwiązać poprzez dostosowanie jako
ponieważ wartość całkowania wynosi 1. Zatem funkcja generująca moment dla standardowej zmiennej normalnej będzie
z tego możemy znaleźć dla dowolnej ogólnej normalnej zmiennej losowej funkcję generującą moment za pomocą zależności
a zatem
więc zróżnicowanie nam daje
a zatem
więc wariancja będzie
Funkcja generowania momentu sumy zmiennych losowych
Połączenia Funkcja generowania momentu sumy zmiennych losowych daje ważną właściwość, że jest ona równa iloczynowi funkcji tworzącej moment odpowiednich zmiennych losowych niezależnych czyli dla niezależnych zmiennych losowych X i Y to funkcja tworząca moment dla sumy zmiennej losowej X+Y wynosi
tutaj funkcje generujące momenty każdego X i Y są niezależne przez właściwość oczekiwań matematycznych. W szeregu znajdziemy sumę funkcji generujących momenty o różnych rozkładach.
Suma dwumianowych zmiennych losowych
Jeżeli zmienne losowe X i Y są rozłożone rozkładem dwumianowym z parametrami odpowiednio (n,p) i (m,p) to funkcja tworząca moment ich sumy X+Y będzie
gdzie parametry sumy to (n+m,p).
Suma zmiennych losowych Poissona
Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych X i Y z odpowiednimi średnimi rozłożonymi rozkładem Poissona możemy znaleźć jako
Gdzie
jest średnią zmiennej losowej Poissona X+Y.
Suma normalnych zmiennych losowych
Rozważ niezależność normalne zmienne losowe X i Y z parametrami
to dla sumy zmiennych losowych X+Y z parametrami
więc funkcja generowania momentu będzie
która jest funkcją generującą momenty z addytywną średnią i wariancją.
Suma losowej liczby zmiennych losowych
Aby znaleźć funkcję generującą moment sumy losowej liczby zmiennych losowych, załóżmy, że jest to zmienna losowa
gdzie zmienne losowe X1,X2, … są ciągami zmiennych losowych dowolnego typu, które są niezależne i równomiernie rozłożone, wtedy funkcja generująca moment będzie
Co daje funkcję generującą moment Y na różniczkowanie jako
stąd
w podobny sposób da dwukrotne zróżnicowanie
które dają
zatem wariancja będzie
Przykład zmiennej losowej Chi-kwadrat
Oblicz funkcję generującą moment zmiennej losowej Chi-kwadrat o n stopniach swobody.
Rozwiązanie: rozważ zmienną losową Chi-kwadrat o n-stopniu swobody dla
sekwencja standardowych zmiennych normalnych to funkcja generująca moment będzie
więc to daje
gęstość normalna ze średnią 0 i wariancją σ2 integruje się z 1
która jest wymaganą funkcją generującą moment o n stopniach swobody.
Przykład jednolitej zmiennej losowej
Znajdź funkcję generującą momenty zmiennej losowej X, która ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p przy założeniu warunkowy zmienna losowa Y=p w przedziale (0,1)
Rozwiązanie: znaleźć funkcję generującą momenty zmiennej losowej X przy danej Y
stosując rozkład dwumianowy, sin Y jest jednolitą zmienną losową w przedziale (0,1)
Funkcja generowania wspólnych momentów moment
Funkcja tworząca wspólne momenty dla liczby n zmiennych losowych X1,X2,…,Xn
gdzie t1,t2,……Tn są liczbami rzeczywistymi, z funkcji wspólnego generowania momentu możemy znaleźć funkcję generowania pojedynczego momentu jako moment
Twierdzenie: Zmienne losowe X1,X2,…,Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja tworząca stawy
Dowód: Załóżmy, że dane zmienne losowe X1,X2,…,Xn są wtedy niezależni
Załóżmy teraz, że wspólna funkcja generująca moment spełnia równanie
- udowodnić zmienne losowe X1,X2,…,Xn są niezależne mamy taki wynik, że łączna funkcja generująca momenty jednoznacznie daje łączny rozkład (jest to kolejny ważny wynik, który wymaga dowodu), więc musimy mieć łączny rozkład, który pokazuje, że zmienne losowe są niezależne, stąd udowodniony warunek konieczny i wystarczający.
Przykład funkcji generowania wspólnych momentów
1.Obliczyć funkcję generującą moment przegubowy zmiennej losowej X+Y i X-Y
Rozwiązanie : Ponieważ suma zmiennych losowych X+Y i odejmowanie zmiennych losowych XY są niezależne, tak jak dla niezależnych zmiennych losowych X i Y, więc ich łączna funkcja generująca moment będzie równa
ponieważ ta funkcja generująca momenty określa rozkład łączny, więc z tego możemy mieć X+Y i XY są niezależnymi zmiennymi losowymi.
2. Uwzględnij w eksperymencie liczbę zliczonych i niezliczonych zdarzeń rozłożonych przez rozkład Poissona z prawdopodobieństwem p i średnią λ, wykaż, że liczba zliczonych i niezliczonych zdarzeń jest niezależna z odpowiednimi średnimi λp i λ(1-p).
Rozwiązanie: Rozważymy X jako liczbę zdarzeń, a Xc liczba zliczonych zdarzeń, więc liczba nie zliczonych zdarzeń wynosi XXc, wspólna funkcja generująca moment wygeneruje moment
i przez moment generujący funkcję rozkładu dwumianowego
a odebranie im oczekiwań da
Wnioski:
Stosując standardową definicję funkcji generującej momenty, omówiono momenty dla różnych rozkładów, takich jak dwumian, poissona, normalny itp., a sumę tych zmiennych losowych, dyskretną lub ciągłą, uzyskano dla nich funkcji generującej moment oraz funkcji generującej moment łączny za pomocą odpowiednie przykłady, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj poniższe książki.
Więcej artykułów na temat matematyki można znaleźć w naszym Strona matematyki.
Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma
Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH
Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.