Funkcje generowania momentów: 13 ważnych faktów

Funkcja generowania momentu    

Funkcja generująca momenty jest bardzo ważną funkcją, która generuje momenty zmiennej losowej, które obejmują średnią, odchylenie standardowe i wariancję itp., więc za pomocą samej funkcji generującej momenty możemy znaleźć momenty podstawowe i wyższe. W tym artykule omówimy zobaczy funkcje generujące momenty dla różnych dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych. ponieważ funkcję generującą moment (MGF) definiuje się za pomocą oczekiwań matematycznych oznaczanych przez M(t) jako

gif

i używając definicji oczekiwanie dla dyskretnej i ciągłej zmiennej losowej ta funkcja będzie

gif.latex?M%28t%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%20%5Csum %7Bx%7D%20e%5E%7Bt%20x%7D%20p%28x%29%20%26%20%5Ctext%20%7B%20if%20%7D%20X%20%5Ctext%20%7B%20is%20discrete%20with%20mass%20function%20%7D%20p%28x%29%20%5C%5C%20%5Cint %7B

który poprzez podstawienie wartości t jako zero generuje odpowiednie momenty. Te momenty musimy zebrać różniczkując tę ​​funkcję generującą moment na przykład dla pierwszej chwili lub oznaczamy, że możemy uzyskać różniczkując raz jako

gif

Daje to wskazówkę, że różnicowanie jest wymienne pod oczekiwaniem i możemy to zapisać jako

gif

i

gif

jeśli t=0 powyższe momenty będą

gif

i

gif

Ogólnie można tak powiedzieć

gif

stąd

gif

Funkcja generowania momentów rozkładu dwumianowego||Funkcja generowania momentów rozkładu dwumianowego||MGF rozkładu dwumianowego||Średnia i wariancja rozkładu dwumianowego za pomocą funkcji generowania momentu

Funkcja generująca moment dla zmiennej losowej X, która jest rozkładem dwumianowym, będzie podążać za funkcją prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z parametrami n i p jako

gif

co jest wynikiem twierdzenia dwumianowego, teraz różnicując i wprowadzając wartość t=0

gif

co jest średnim lub pierwszym momentem rozkładu dwumianowego, podobnie będzie w przypadku drugiego momentu

gif

więc wariancja rozkładu dwumianowego będzie

gif

co jest standardową średnią i wariancją rozkładu dwumianowego, podobnie wyższe momenty również możemy znaleźć za pomocą tej funkcji generującej momenty.

Funkcja generowania momentu Poisson dystrybucja||Poisson funkcja generująca momenty rozkładu||MGF z Poisson rozkład||Średnia i wariancja rozkładu Poissona przy użyciu funkcji generującej moment

 Jeżeli mamy zmienną losową X o rozkładzie Poissona z parametrem Lambda to funkcja generująca moment dla tego rozkładu będzie

gif

teraz zróżnicowanie to da

gif

to daje

gif

co daje średnią i wariancję dla rozkładu Poissona, co jest prawdą

Funkcja generowania momentów rozkładu wykładniczego||Wykładniczy funkcja generująca momenty rozkładu||MGF z Wykładniczy rozkład||Średnia i wariancja Wykładniczy rozkład za pomocą funkcji generowania momentów

                Funkcja generująca moment dla wykładniczej zmiennej losowej X zgodnie z definicją to

gif

tutaj wartość t jest mniejsza niż parametr lambda, teraz zróżnicowanie to da

gif

który zapewnia chwile

gif

wyraźnie

gif

Które są średnią i wariancją rozkładu wykładniczego.

Funkcja tworząca moment rozkładu normalnego||Zasadal funkcja generująca momenty rozkładu||MGF z ZasadaRozkład l||Średnia i wariancja Normalna rozkład za pomocą funkcji generowania momentów

  Funkcja tworząca moment dla rozkładów ciągłych jest również taka sama jak dyskretna, więc funkcja tworząca moment dla rozkładu normalnego ze standardową funkcją gęstości prawdopodobieństwa będzie

tę integrację możemy rozwiązać poprzez dostosowanie jako

%202%7D%20%5Cend%7Barray%7D

ponieważ wartość całkowania wynosi 1. Zatem funkcja generująca moment dla standardowej zmiennej normalnej będzie

%202%7D

z tego możemy znaleźć dla dowolnej ogólnej normalnej zmiennej losowej funkcję generującą moment za pomocą zależności

gif

a zatem

%202%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%3De%5E%7B%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%20t%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D+%5Cmu%20t%5Cright%5C%7D%7D%20%5Cend%7Baligned%7D

więc zróżnicowanie nam daje

gif

a zatem

gif

więc wariancja będzie

gif

Funkcja generowania momentu sumy zmiennych losowych

Połączenia Funkcja generowania momentu sumy zmiennych losowych daje ważną właściwość, że jest ona równa iloczynowi funkcji tworzącej moment odpowiednich zmiennych losowych niezależnych czyli dla niezależnych zmiennych losowych X i Y to funkcja tworząca moment dla sumy zmiennej losowej X+Y wynosi

Funkcja generowania momentu
MGF sumy

tutaj funkcje generujące momenty każdego X i Y są niezależne przez właściwość oczekiwań matematycznych. W szeregu znajdziemy sumę funkcji generujących momenty o różnych rozkładach.

Suma dwumianowych zmiennych losowych

Jeżeli zmienne losowe X i Y są rozłożone rozkładem dwumianowym z parametrami odpowiednio (n,p) i (m,p) to funkcja tworząca moment ich sumy X+Y będzie

gif

gdzie parametry sumy to (n+m,p).

Suma zmiennych losowych Poissona

Rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych X i Y z odpowiednimi średnimi rozłożonymi rozkładem Poissona możemy znaleźć jako

gif

Gdzie

gif

jest średnią zmiennej losowej Poissona X+Y.

Suma normalnych zmiennych losowych

     Rozważ niezależność normalne zmienne losowe X i Y z parametrami

gif

to dla sumy zmiennych losowych X+Y z parametrami

gif

więc funkcja generowania momentu będzie

gif

która jest funkcją generującą momenty z addytywną średnią i wariancją.

Suma losowej liczby zmiennych losowych

Aby znaleźć funkcję generującą moment sumy losowej liczby zmiennych losowych, załóżmy, że jest to zmienna losowa

gif

gdzie zmienne losowe X1,X2, … są ciągami zmiennych losowych dowolnego typu, które są niezależne i równomiernie rozłożone, wtedy funkcja generująca moment będzie

gif
gif

Co daje funkcję generującą moment Y na różniczkowanie jako

gif

stąd

gif

w podobny sposób da dwukrotne zróżnicowanie

gif

które dają

gif

zatem wariancja będzie

gif

Przykład zmiennej losowej Chi-kwadrat

Oblicz funkcję generującą moment zmiennej losowej Chi-kwadrat o n stopniach swobody.

Rozwiązanie: rozważ zmienną losową Chi-kwadrat o n-stopniu swobody dla

gif

sekwencja standardowych zmiennych normalnych to funkcja generująca moment będzie

gif

więc to daje

%202%7D%20%5Cend%7Baligned%7D

gęstość normalna ze średnią 0 i wariancją σ2 integruje się z 1

%202%7D

która jest wymaganą funkcją generującą moment o n stopniach swobody.

Przykład jednolitej zmiennej losowej

Znajdź funkcję generującą momenty zmiennej losowej X, która ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p przy założeniu warunkowy zmienna losowa Y=p w przedziale (0,1)

Rozwiązanie: znaleźć funkcję generującą momenty zmiennej losowej X przy danej Y

gif

stosując rozkład dwumianowy, sin Y jest jednolitą zmienną losową w przedziale (0,1)

gif.latex?%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20E%5Cleft%5Be%5E%7Bt%20X%7D%5Cright%5D%3D%5Cint %7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cleft%28p%20e%5E%7Bt%7D+1 p%5Cright%29%5E%7Bn%7D%20d%20p%20%5C%5C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7Bt%7D 1%7D%20%5Cint %7B1%7D%5E%7Be%5E%7Bt%7D%7D%20y%5E%7Bn%7D%20d%20y%5C%5C%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn+1%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bt%28n+1%29%7D 1%7D%7Be%5E%7Bt%7D

Funkcja generowania wspólnych momentów moment

Funkcja tworząca wspólne momenty dla liczby n zmiennych losowych X1,X2,…,Xn

gif

gdzie t1,t2,……Tn są liczbami rzeczywistymi, z funkcji wspólnego generowania momentu możemy znaleźć funkcję generowania pojedynczego momentu jako moment

gif

Twierdzenie: Zmienne losowe X1,X2,…,Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja tworząca stawy

gif

Dowód: Załóżmy, że dane zmienne losowe X1,X2,…,Xn są wtedy niezależni

gif

Załóżmy teraz, że wspólna funkcja generująca moment spełnia równanie

gif
  • udowodnić zmienne losowe X1,X2,…,Xn są niezależne mamy taki wynik, że łączna funkcja generująca momenty jednoznacznie daje łączny rozkład (jest to kolejny ważny wynik, który wymaga dowodu), więc musimy mieć łączny rozkład, który pokazuje, że zmienne losowe są niezależne, stąd udowodniony warunek konieczny i wystarczający.

Przykład funkcji generowania wspólnych momentów

1.Obliczyć funkcję generującą moment przegubowy zmiennej losowej X+Y i X-Y

Rozwiązanie : Ponieważ suma zmiennych losowych X+Y i odejmowanie zmiennych losowych XY są niezależne, tak jak dla niezależnych zmiennych losowych X i Y, więc ich łączna funkcja generująca moment będzie równa

%202%7D%20%5C%5C%20%26amp%3B%3De%5E%7B2%20%5Cmu%20t+%5Csigma%5E%7B2%7D%20t%5E%7B2%7D%7D%20e%5E%7B%5Csigma%5E%7B2%7D%20s%5E%7B2%7D%7D%20%5Cend%7Baligned%7D

ponieważ ta funkcja generująca momenty określa rozkład łączny, więc z tego możemy mieć X+Y i XY są niezależnymi zmiennymi losowymi.

2. Uwzględnij w eksperymencie liczbę zliczonych i niezliczonych zdarzeń rozłożonych przez rozkład Poissona z prawdopodobieństwem p i średnią λ, wykaż, że liczba zliczonych i niezliczonych zdarzeń jest niezależna z odpowiednimi średnimi λp i λ(1-p).

Rozwiązanie: Rozważymy X jako liczbę zdarzeń, a Xc liczba zliczonych zdarzeń, więc liczba nie zliczonych zdarzeń wynosi XXc, wspólna funkcja generująca moment wygeneruje moment

gif

i przez moment generujący funkcję rozkładu dwumianowego

gif

a odebranie im oczekiwań da

gif

Wnioski:

Stosując standardową definicję funkcji generującej momenty, omówiono momenty dla różnych rozkładów, takich jak dwumian, poissona, normalny itp., a sumę tych zmiennych losowych, dyskretną lub ciągłą, uzyskano dla nich funkcji generującej moment oraz funkcji generującej moment łączny za pomocą odpowiednie przykłady, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj poniższe książki.

Więcej artykułów na temat matematyki można znaleźć w naszym Strona matematyki.

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH