Oczekiwanie matematyczne i zmienna losowa
Oczekiwanie matematyczne odgrywa bardzo ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa, podstawową definicję i podstawowe właściwości oczekiwań matematycznych omówiliśmy już w poprzednich artykułach teraz po omówieniu różnych rozkładów i typów rozkładów, w następnym artykule zapoznamy się z kilkoma innymi zaawansowane właściwości oczekiwań matematycznych.
Oczekiwanie sumy zmiennych losowych | Oczekiwanie funkcji zmiennych losowych | Oczekiwanie wspólnego rozkładu prawdopodobieństwa
Wiemy, że matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej o charakterze dyskretnym wynosi
a dla ciągłego to
teraz dla zmiennej losowej X i Y, jeśli dyskretne, to ze złączem prawdopodobieństwo funkcji masowej p(x, y)
oczekiwanie funkcji zmiennej losowej X i Y będzie
a jeśli jest ciągły, to z łączną funkcją gęstości prawdopodobieństwa f(x, y) oczekiwanie funkcji zmiennej losowej X i Y będzie
jeśli g jest sumą tych dwóch zmiennych losowych w postaci ciągłej, to
a jeśli dla zmiennych losowych X i Y mamy
X>Y
wtedy też oczekiwanie
Przykład
Szpital Covid-19 jest równomiernie rozmieszczony na drodze o długości L w punkcie X, pojazd przewożący tlen dla pacjentów znajduje się w lokalizacji Y, która jest również równomiernie rozłożona na drodze, Znajdź oczekiwaną odległość między szpitalem Covid-19 i pojazd z tlenem, jeśli są one niezależne.
Rozwiązanie:
Aby znaleźć oczekiwaną odległość między X i Y, musimy obliczyć E { | XY | }
Teraz wspólna funkcja gęstości X i Y będzie
ponieważ
podążając za tym mamy
teraz wartość całki będzie
Zatem oczekiwana odległość między tymi dwoma punktami będzie
Oczekiwanie średniej próbki
Jako średnia z próby ciągu zmiennych losowych X1, X2, ………, Xn z dystrybuantą F i wartością oczekiwaną każdego jako μ is
więc oczekiwanie tej średniej próbki będzie
co pokazuje, że oczekiwana wartość średniej próbki również wynosi μ.
Nierówność Boole'a
Boole'a nierówność można uzyskać za pomocą właściwości oczekiwań, załóżmy, że zmienna losowa X zdefiniowana jako
gdzie
tutaji są zdarzeniami losowymi, co oznacza, że zmienna losowa X reprezentuje wystąpienie liczby zdarzeń Ai i inna zmienna losowa Y as
wyraźnie
X>=Y
E[X] >= E[Y]
tak więc jest
teraz jeśli weźmiemy wartość zmiennej losowej X i Y to oczekiwanie będzie
i
zastępując te oczekiwania w powyższej nierówności otrzymamy nierówność Boole'a jako
Oczekiwanie zmiennej losowej dwumianowej | Średnia dwumianowej zmiennej losowej
Wiemy, że dwumianowa zmienna losowa jest zmienną losową, która pokazuje liczbę sukcesów w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu jako p i niepowodzenia jako q=1-p, więc jeśli
X=X1 + X2+ …….+ Xn
Gdzie
tutaj te Xi to są Bernoulliego a oczekiwanie będzie
więc oczekiwanie X będzie
Oczekiwanie ujemnej dwumianowej zmiennej losowej | Średnia ujemnej dwumianowej zmiennej losowej
Niech zmienna losowa X, która reprezentuje liczbę prób potrzebnych do zebrania r sukcesów, wtedy taka zmienna losowa jest znana jako ujemna zmienna losowa dwumianowa i może być wyrażona jako
tutaj każdy Xi oznaczają liczbę prób wymaganych po (i-1) sukcesie, aby uzyskać sumę i sukcesów.
Ponieważ każdy z tych Xi reprezentują geometryczną zmienną losową i wiemy, że oczekiwanie dla geometrycznej zmiennej losowej wynosi
so
który jest oczekiwanie ujemnej dwumianowej zmiennej losowej.
Oczekiwanie hipergeometrycznej zmiennej losowej | Średnia hipergeometrycznej zmiennej losowej
Oczekiwanie lub średnią hipergeometrycznej zmiennej losowej uzyskamy za pomocą prostego przykładu z życia, jeśli z półki zawierającej N książek jest losowo wybranych n książek, z których m jest matematycznych, to aby znaleźć oczekiwaną liczbę książki matematyczne niech X oznacza liczbę wybranych książek matematycznych, wtedy możemy napisać X jako
gdzie
so
= n/N
co daje
co jest średnią takiej hipergeometrycznej zmiennej losowej.
Oczekiwana liczba meczów
Jest to bardzo popularny problem związany z oczekiwaniem, załóżmy, że w pokoju jest N osób, które rzucają kapelusze na środek pokoju i wszystkie kapelusze są pomieszane, po czym każda osoba losowo wybiera jedną czapkę, a następnie oczekiwaną liczbę osób którzy wybierają własny kapelusz, który możemy uzyskać, przyjmując, że X jest liczbą dopasowań, więc
Gdzie
ponieważ każda osoba ma równe szanse, aby wybrać dowolną czapkę z N czapek, to
so
co oznacza, że średnio jedna osoba wybiera swój własny kapelusz.
Prawdopodobieństwo zjednoczenia wydarzeń
Wyznaczmy prawdopodobieństwo zjednoczenia zdarzeń za pomocą oczekiwania, tak dla zdarzeń Ai
z tym bierzemy
więc oczekiwanie tego będzie
i rozszerzenie za pomocą właściwości oczekiwania, jak
odkąd mamy
i
so
implikuje to prawdopodobieństwo zjednoczenia jako
Granice od oczekiwań metodą probabilistyczną
Załóżmy, że S będzie zbiorem skończonym, a f jest funkcją na elementach S i
tutaj możemy uzyskać dolne ograniczenie dla tego m przez oczekiwanie f(s), gdzie „s” jest dowolnym elementem losowym S, którego oczekiwanie możemy tak obliczyć
tutaj otrzymujemy oczekiwanie jako dolną granicę dla maksymalnej wartości
Tożsamość maksymalna-minimalna
Maksimum Minimum tożsamości to maksimum zbioru liczb do minimów podzbiorów tych liczb czyli dla dowolnych liczb xi
Aby to pokazać, ograniczmy xi w przedziale [0,1] załóżmy jednolitą zmienną losową U na przedziale (0,1) i zdarzenia Ai ponieważ zmienna jednostajna U jest mniejsza niż xi to jest
ponieważ co najmniej jedno z powyższych zdarzeń występuje, ponieważ U jest mniejsze niż jeden, wartość xi
i
Wyraźnie wiemy
i wszystkie zdarzenia wystąpią, jeśli U jest mniejsze niż wszystkie zmienne i
prawdopodobieństwo daje
mamy wynik prawdopodobieństwa sumy jako
zgodnie z tym wzorem wykluczenia włączenia dla prawdopodobieństwa
rozważać
to daje
ponieważ
co znaczy
- stąd możemy napisać to jako
biorąc oczekiwanie możemy znaleźć oczekiwane wartości maksimum i minimum cząstkowego jako
Wnioski:
Oczekiwanie w zakresie różnych rozkładów i korelacji oczekiwań z niektórymi teoria prawdopodobieństwa Koncepcje były tematem tego artykułu, który pokazuje wykorzystanie oczekiwań jako narzędzia do uzyskania oczekiwanych wartości różnego rodzaju zmiennych losowych, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj poniższe książki.
Więcej artykułów na temat matematyki można znaleźć w naszym Strona matematyki.
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma
Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH
Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.