11 faktów na temat oczekiwań matematycznych i zmiennej losowej

Oczekiwanie matematyczne i zmienna losowa    

     Oczekiwanie matematyczne odgrywa bardzo ważną rolę w teorii prawdopodobieństwa, podstawową definicję i podstawowe właściwości oczekiwań matematycznych omówiliśmy już w poprzednich artykułach teraz po omówieniu różnych rozkładów i typów rozkładów, w następnym artykule zapoznamy się z kilkoma innymi zaawansowane właściwości oczekiwań matematycznych.

Oczekiwanie sumy zmiennych losowych | Oczekiwanie funkcji zmiennych losowych | Oczekiwanie wspólnego rozkładu prawdopodobieństwa

     Wiemy, że matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej o charakterze dyskretnym wynosi

2 1
2.0 Kopiuj

a dla ciągłego to

3.0 Kopiuj

teraz dla zmiennej losowej X i Y, jeśli dyskretne, to ze złączem prawdopodobieństwo funkcji masowej p(x, y)

oczekiwanie funkcji zmiennej losowej X i Y będzie

4.0

a jeśli jest ciągły, to z łączną funkcją gęstości prawdopodobieństwa f(x, y) oczekiwanie funkcji zmiennej losowej X i Y będzie

5.0

jeśli g jest sumą tych dwóch zmiennych losowych w postaci ciągłej, to

6.0
7.0
8.0
9.0

a jeśli dla zmiennych losowych X i Y mamy

X>Y

wtedy też oczekiwanie

10.0 1

Przykład

Szpital Covid-19 jest równomiernie rozmieszczony na drodze o długości L w punkcie X, pojazd przewożący tlen dla pacjentów znajduje się w lokalizacji Y, która jest również równomiernie rozłożona na drodze, Znajdź oczekiwaną odległość między szpitalem Covid-19 i pojazd z tlenem, jeśli są one niezależne.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć oczekiwaną odległość między X i Y, musimy obliczyć E { | XY | }

Teraz wspólna funkcja gęstości X i Y będzie

11.0 1

ponieważ

12.0 1

podążając za tym mamy

13.0 1

teraz wartość całki będzie

14.0
15.0
16.0

Zatem oczekiwana odległość między tymi dwoma punktami będzie

17.0

Oczekiwanie średniej próbki

  Jako średnia z próby ciągu zmiennych losowych X1, X2, ………, Xn z dystrybuantą F i wartością oczekiwaną każdego jako μ is

18.0

więc oczekiwanie tej średniej próbki będzie

19.0
20.0
71.0
22.0

co pokazuje, że oczekiwana wartość średniej próbki również wynosi μ.

Nierówność Boole'a

                Boole'a nierówność można uzyskać za pomocą właściwości oczekiwań, załóżmy, że zmienna losowa X zdefiniowana jako

23.0 1

gdzie

24.0

tutaji są zdarzeniami losowymi, co oznacza, że ​​zmienna losowa X reprezentuje wystąpienie liczby zdarzeń Ai i inna zmienna losowa Y as

25.0

wyraźnie

X>=Y

E[X] >= E[Y]

tak więc jest

teraz jeśli weźmiemy wartość zmiennej losowej X i Y to oczekiwanie będzie

28.0

i

29.0

zastępując te oczekiwania w powyższej nierówności otrzymamy nierówność Boole'a jako

30.0

Oczekiwanie zmiennej losowej dwumianowej | Średnia dwumianowej zmiennej losowej

  Wiemy, że dwumianowa zmienna losowa jest zmienną losową, która pokazuje liczbę sukcesów w n niezależnych próbach z prawdopodobieństwem sukcesu jako p i niepowodzenia jako q=1-p, więc jeśli

X=X1 + X2+ …….+ Xn

Gdzie

31.0

tutaj te Xi to są Bernoulliego a oczekiwanie będzie

32.0

więc oczekiwanie X będzie

33.0

Oczekiwanie ujemnej dwumianowej zmiennej losowej | Średnia ujemnej dwumianowej zmiennej losowej

  Niech zmienna losowa X, która reprezentuje liczbę prób potrzebnych do zebrania r sukcesów, wtedy taka zmienna losowa jest znana jako ujemna zmienna losowa dwumianowa i może być wyrażona jako

34.0

tutaj każdy Xi oznaczają liczbę prób wymaganych po (i-1) sukcesie, aby uzyskać sumę i sukcesów.

Ponieważ każdy z tych Xi reprezentują geometryczną zmienną losową i wiemy, że oczekiwanie dla geometrycznej zmiennej losowej wynosi

35.0

so

36.0

który jest oczekiwanie ujemnej dwumianowej zmiennej losowej.

Oczekiwanie hipergeometrycznej zmiennej losowej | Średnia hipergeometrycznej zmiennej losowej

Oczekiwanie lub średnią hipergeometrycznej zmiennej losowej uzyskamy za pomocą prostego przykładu z życia, jeśli z półki zawierającej N książek jest losowo wybranych n książek, z których m jest matematycznych, to aby znaleźć oczekiwaną liczbę książki matematyczne niech X oznacza liczbę wybranych książek matematycznych, wtedy możemy napisać X jako

37.0

gdzie

38.0

so

39.0
40.0

= n/N

co daje

41.0

co jest średnią takiej hipergeometrycznej zmiennej losowej.

Oczekiwana liczba meczów

   Jest to bardzo popularny problem związany z oczekiwaniem, załóżmy, że w pokoju jest N osób, które rzucają kapelusze na środek pokoju i wszystkie kapelusze są pomieszane, po czym każda osoba losowo wybiera jedną czapkę, a następnie oczekiwaną liczbę osób którzy wybierają własny kapelusz, który możemy uzyskać, przyjmując, że X jest liczbą dopasowań, więc

42.0

Gdzie

43.0

ponieważ każda osoba ma równe szanse, aby wybrać dowolną czapkę z N czapek, to

44.0

so

45.0

co oznacza, że ​​średnio jedna osoba wybiera swój własny kapelusz.

Prawdopodobieństwo zjednoczenia wydarzeń

     Wyznaczmy prawdopodobieństwo zjednoczenia zdarzeń za pomocą oczekiwania, tak dla zdarzeń Ai

46.0

z tym bierzemy

47.0

więc oczekiwanie tego będzie

48.0

i rozszerzenie za pomocą właściwości oczekiwania, jak

49.0

odkąd mamy

Oczekiwanie matematyczne
Oczekiwanie matematyczne: prawdopodobieństwo zjednoczenia zdarzeń

i

51.0

so

52.0

implikuje to prawdopodobieństwo zjednoczenia jako

52.0 1

Granice od oczekiwań metodą probabilistyczną

    Załóżmy, że S będzie zbiorem skończonym, a f jest funkcją na elementach S i

53.0

tutaj możemy uzyskać dolne ograniczenie dla tego m przez oczekiwanie f(s), gdzie „s” jest dowolnym elementem losowym S, którego oczekiwanie możemy tak obliczyć

54.0
55.0 1

tutaj otrzymujemy oczekiwanie jako dolną granicę dla maksymalnej wartości

Tożsamość maksymalna-minimalna

 Maksimum Minimum tożsamości to maksimum zbioru liczb do minimów podzbiorów tych liczb czyli dla dowolnych liczb xi

56.0 1

Aby to pokazać, ograniczmy xi w przedziale [0,1] załóżmy jednolitą zmienną losową U na przedziale (0,1) i zdarzenia Ai ponieważ zmienna jednostajna U jest mniejsza niż xi to jest

57.0

ponieważ co najmniej jedno z powyższych zdarzeń występuje, ponieważ U jest mniejsze niż jeden, wartość xi

58.0

i

59.0

Wyraźnie wiemy

60.0

i wszystkie zdarzenia wystąpią, jeśli U jest mniejsze niż wszystkie zmienne i

62.0 1

prawdopodobieństwo daje

62.0

mamy wynik prawdopodobieństwa sumy jako

63.0

zgodnie z tym wzorem wykluczenia włączenia dla prawdopodobieństwa

64.0

rozważać

65.0

to daje

66.0

ponieważ

67.0

co znaczy

68.0
  • stąd możemy napisać to jako
69.0

biorąc oczekiwanie możemy znaleźć oczekiwane wartości maksimum i minimum cząstkowego jako

70.0

Wnioski:

Oczekiwanie w zakresie różnych rozkładów i korelacji oczekiwań z niektórymi teoria prawdopodobieństwa Koncepcje były tematem tego artykułu, który pokazuje wykorzystanie oczekiwań jako narzędzia do uzyskania oczekiwanych wartości różnego rodzaju zmiennych losowych, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj poniższe książki.

Więcej artykułów na temat matematyki można znaleźć w naszym Strona matematyki.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH