11 faktów na temat oczekiwań matematycznych i zmiennej losowej

Wprowadzenie do oczekiwań matematycznych i zmiennej losowej

Definicja i znaczenie oczekiwań matematycznych

In pole teorii prawdopodobieństwa odgrywa rolę matematycznych oczekiwań kluczowa rola w rozumieniu i przewidywaniu wyników. Zapewnia sposób ilościowego określenia średniej wartości lub tendencji centralnej zmiennej losowej. Zmienna losowa, Na inna ręka, to zmienna, która może przyjmować różne wartości w zależności od wyniku zdarzenia losowego.

Koncepcja oczekiwań matematycznych jest niezbędna, ponieważ pozwala nam podejmować świadome decyzje i oceniać prawdopodobieństwo różne wyniki. Obliczając wartość oczekiwaną, możemy oszacować średnią długoterminową zmiennej losowej, która pomaga nam zrozumieć zachowanie systemu lub procesu.

Oczekiwanie matematyczne jest często określane jako wartość oczekiwana, oznaczana przez E(X), gdzie X oznacza zmienną losową. Jest to podstawowe pojęcie w teorii prawdopodobieństwa i ma zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak finanse, statystyka, ekonomia i inżynieria.

Podstawowe własności oczekiwań matematycznych

Oczekiwanie matematyczne posiada kilka ważnych właściwości co czyni go wszechstronnym narzędziem do analizy zmiennych losowych. Przyjrzyjmy się niektórym te właściwości:

  1. Liniowość: jedna z kluczowe właściwości oczekiwaniem matematycznym jest liniowość. Oznacza to, że jeśli mamy dwie zmienne losowe, X i Y, oraz dwie stałe, aib, to oczekiwana wartość sumy te zmienne, aX + bY, jest równe sumie ich indywidualnych wartości oczekiwanych, aE(X) + bE(Y). Liniowość pozwala uprościć obliczenia i na ich podstawie dokonywać przewidywań oczekiwane wartości of indywidualne zmienne losowe.
  2. Niezależność: w przypadku wielu zmiennych losowych niezależność jest ważna właściwość rozważyć. Jeśli dwie zmienne losowe, X i Y, są niezależne, wówczas wartość oczekiwana ich produkt, E(XY), jest równe iloczynowi ich indywidualnych wartości oczekiwanych, E(X)E(Y). Właściwość ta jest szczególnie przydatna podczas analizy zachowania wiele zmiennych które nie wpływają na siebie.
  3. Stałe mnożenie: Kolejna nieruchomość oczekiwań matematycznych ciągłe mnożenie. Jeśli mamy zmienną losową X i stała c, wówczas wartość oczekiwana iloczynu X i c, cX, jest równa stałej pomnożonej przez wartość oczekiwaną X, cE(X). Ta właściwość pozwala nam skalować oczekiwaną wartość na podstawie stały czynnik.
  4. Addytywność: Addytywność jest własność dotyczy to wartości oczekiwanej sumy zmiennych losowych. Jeśli mamy dwie zmienne losowe, X i Y, to wartość oczekiwana ich sumy, E(X + Y), jest równa sumie ich indywidualnych wartości oczekiwanych, E(X) + E(Y). Ta właściwość pozwala nam obliczyć wartość oczekiwaną kombinacja zmiennych losowych poprzez zsumowanie ich indywidualnych wartości oczekiwanych.

Poprzez zrozumienie i wykorzystanie te właściwości, możemy skutecznie analizować i przewidywać zachowanie zmiennych losowych. Oczekiwanie matematyczne zapewnia potężny framework do podejmowania świadomych decyzji i oceny prawdopodobieństwa różnych wyników. W następujące sekcje, zagłębimy się określone typy zmiennych losowych i ich rozkłady prawdopodobieństwa.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej

2 1

Oczekiwanie matematyczne, znane również jako wartość oczekiwana, jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa. Umożliwia ilościowe określenie średniego wyniku zmiennej losowej. W tej części przyjrzymy się matematycznym oczekiwaniom obie dyskretne i ciągłe zmienne losowe.

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej

Dyskretna zmienna losowa to taki, który może tylko przyjąć liczba przeliczalna wartości. Przykłady dyskretnych zmiennych losowych obejmują wynik moneta podrzucać, liczba głów uzyskanych w Serie of rzuty monetąlub liczbę przejeżdżających samochodów punkt poboru opłat in dany okres czasu.

Aby obliczyć matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej, mnożymy każdą możliwą wartość zmiennej losowej przez odpowiadające jej prawdopodobieństwo i sumujemy wyniki. Matematycznie można to przedstawić jako:

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej

Gdzie:
- X jest zmienną losową
- x_i is możliwa wartość of X
- P(X%20%3D%20x_i) jest prawdopodobieństwo X przyjmowanie wartość x_i

Zilustrujmy to przykładem. Rozważmy uczciwą sześciościenną kość. Możliwe wyniki to 1, 2, 3, 4, 5 i 6, każda z prawdopodobieństwem 1/6. Aby znaleźć matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej, obliczamy:

Matematyczne oczekiwanie na przykład dyskretnej zmiennej losowej

Zatem matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej reprezentującej wynik uczciwej sześciościennej kostki wynosi 7/2, co odpowiada 3.5.

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

W przeciwieństwie do dyskretnych zmiennych losowych, ciągłe zmienne losowe mogą przyjąć niepoliczalna liczba wartości w danym przedziale. Przykładami ciągłych zmiennych losowych są wzrost osobników i czas potrzebny na to klient do podania lub temperaturę wewnątrz pokój.

Aby obliczyć oczekiwanie matematyczne ciągłej zmiennej losowej, całkujemy iloczyn zmiennej losowej i jego prawdopodobieństwo funkcja gęstości (PDF) w całym zakresie. Matematycznie można to przedstawić jako:

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

Gdzie:
- X jest zmienną losową
- f (x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa (PDF). X

Rozważmy przykład, aby lepiej zrozumieć tę koncepcję. Załóżmy, że mamy ciągłą zmienną losową reprezentującą wzrost osób w populacja, a poniżej znajduje się plik PDF tej zmiennej losowej a normalna dystrybucja. Matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej można obliczyć, całkując iloczyn wzrostu i wartości PDF cały zakres wysokości.

Kompletujemy wszystkie dokumenty (wymagana jest kopia paszportu i XNUMX zdjęcia) potrzebne do kalkulacja matematycznego oczekiwania na ciągłą zmienną losową wymaga integracji, to wykracza poza to zakres of ten artykuł zagłębić się w szczegóły. Należy jednak zauważyć, że koncepcja pozostaje ta sama – ilościowo określamy średni wynik zmiennej losowej.

Podsumowując, oczekiwanie matematyczne umożliwia obliczenie średniego wyniku zmiennej losowej. Możemy użyć tego, czy zmienna losowa jest dyskretna czy ciągła odpowiednia metoda określić jego matematyczne oczekiwania. Rozumiejąc oczekiwania matematyczne, uzyskujemy wgląd w tendencji centralnej zmiennej losowej i może podejmować świadome decyzje w oparciu o jej oczekiwaną wartość.

Zmienna losowa i oczekiwanie matematyczne

Funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) dla dyskretnej zmiennej losowej

46.0

W teorii prawdopodobieństwa a zmienna losowa to zmienna, która może przyjmować różne wartości w zależności od wyniku zdarzenia losowego. Reprezentuje ilość liczbowa związany z losowy eksperyment. Koncepcja zmiennej losowej ma fundamentalne znaczenie dla zrozumienia rozkładów prawdopodobieństwa i obliczeń oczekiwania matematyczne.

A Dyskretna zmienna losowa jest zmienną losową, którą można tylko przyjąć liczba przeliczalna of odrębne wartości. Na przykład liczba głów uzyskanych podczas odwracania moneta wielokrotność jest dyskretną zmienną losową. Funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) jest funkcja matematyczna który opisuje prawdopodobieństwo każdego możliwego wyniku dyskretnej zmiennej losowej.

PMF przypisuje prawdopodobieństwa każdej możliwej wartości zmiennej losowej. Często jest reprezentowany za pomocą stół or formuła. Suma prawdopodobieństw dla wszystkie możliwe wyniki musi równać się 1. PMF pozwala nam obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i inne właściwości statystyczne zmiennej losowej.

Oto przykład PMF dla dyskretnej zmiennej losowej reprezentującej wynik rzutu uczciwą sześciościenną kostką:

Wynik Prawdopodobieństwo
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

In ta sprawa, przydziela PMF an równe prawdopodobieństwo 1/6 do każdego możliwego wyniku. Oczekiwana wartość tej zmiennej losowej można obliczyć poprzez pomnożenie każdy wynik przez odpowiadające mu prawdopodobieństwo i zsumowanie ich. W ten przykład, wartość oczekiwana to (1/6) * 1 + (1/6) * 2 + (1/6) * 3 + (1/6) * 4 + (1/6) * 5 + (1/6) * 6 = 3.5.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) dla ciągłej zmiennej losowej

W odróżnieniu od dyskretnych zmiennych losowych, ciągłe zmienne losowe może przyjąć nieskończona liczba of możliwa wartość w danym zakresie. Przykładami ciągłych zmiennych losowych są wzrost osobników i czas potrzebny na to klient wypełnić transakcjalub temperatura o godz konkretna lokalizacja.

W przypadku ciągłych zmiennych losowych używamy a funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) zamiast PMF. PDF to funkcja opisująca względne prawdopodobieństwo różnych wyników występujących w danym przedziale. W przeciwieństwie do PMF, PDF nie przypisuje prawdopodobieństw konkretne rezultaty ale raczej zapewnia gęstość prawdopodobieństw.

Plik PDF jest zdefiniowany w taki sposób, że strefa pod krzywą reprezentuje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa znajdzie się w jej obrębie określony zakres. Całkowita powierzchnia pod krzywą jest równa 1. Plik PDF pozwala nam obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i inne właściwości statystyczne ciągła zmienna losowa.

Oto przykład PDF dla ciągłej zmiennej losowej reprezentującej wzrost osobników:

In ten przykład, reprezentuje plik PDF względne prawdopodobieństwo of różne wysokości występujący. Wartości wysokości są włączone x-oś i oś Y reprezentuje gęstość prawdopodobieństw. Obszar pod krzywą pomiędzy dwie wartości wysokości reprezentuje prawdopodobieństwo indywidualne mający wzrost w ciągu ten zakres.

Aby obliczyć wartość oczekiwaną ciągłej zmiennej losowej, całkujemy iloczyn zmiennej losowej i pliku PDF w całym jej zakresie. Wariancja i inne właściwości statystyczne można również obliczyć za pomocą podobne operacje matematyczne.

Zrozumienie PMF i PDF dla dyskretne i ciągłe zmienne losowe jest istotne w teorii prawdopodobieństwa. Te funkcje zapewniać ramy matematyczne do analizy i przewidywania zachowania zdarzeń losowych. Obliczając wartość oczekiwaną i inne właściwości statystyczne, możemy podejmować świadome decyzje i wyciągać wnioski sensowne wnioski od losowe dane.

Matematyczne oczekiwanie wspólnego rozkładu prawdopodobieństwa

Oczekiwanie matematyczne, znane również jako wartość oczekiwana, jest podstawowym pojęciem w teorii prawdopodobieństwa. Umożliwia ilościowe określenie średniego wyniku zmiennej losowej. W tej sekcji zbadamy i omówimy matematyczne oczekiwania dotyczące łącznych rozkładów prawdopodobieństwa dwa ważne scenariusze: oczekiwanie funkcji zmiennych losowych i oczekiwanie sumy zmiennych losowych.

Oczekiwanie funkcji zmiennych losowych

34.0
31.0

Zajmując się łącznymi rozkładami prawdopodobieństwa, często spotykamy się z sytuacjami, w których musimy obliczyć wartość oczekiwaną funkcji zmiennych losowych. Obejmuje to zastosowanie funkcji do każdego możliwego wyniku zmiennych losowych, a następnie obliczenie średniej te przekształcone wartości.

Aby zilustrować tę koncepcję, rozważmy przykład. Załóżmy, że mamy dwie zmienne losowe, X i Y, z wspólny rozkład prawdopodobieństwa podany przez funkcja masy prawdopodobieństwa or funkcja gęstości prawdopodobieństwa. Chcemy znaleźć oczekiwanie funkcji g(X, Y).

Aby obliczyć oczekiwanie g(X, Y), postępujemy zgodnie z poniższymi wskazówkami te kroki:

  1. Oceniać Funkcja g(X, Y) dla każdego możliwego wyniku X i Y.
  2. Mnożyć każdą przekształconą wartość by odpowiednie prawdopodobieństwo of ten wynik.
  3. Podsumować wszystkie produkty uzyskane w kroku 2, aby uzyskać oczekiwanie.

Matematycznie oczekiwanie g(X, Y) można wyrazić jako:

E[g(X, Y)] = ΣΣ g(x, y) * P(X = x, Y = y)

Tutaj ΣΣ reprezentuje podwójne sumowanie ogólnie możliwa wartość X i Y, x i y są konkretne wartości X i Y oraz P(X = x, Y = y) jest prawdopodobieństwem wspólny wynik (x, y).

Oczekiwanie sumy zmiennych losowych

37.0
18.0

Inny scenariusz często pojawiającym się w teorii prawdopodobieństwa obliczeniem wartości oczekiwanej sumy zmiennych losowych. Ta sytuacja jest szczególnie istotne, gdy mamy do czynienia z niezależne zmienne losowe.

Załóżmy, że mamy n zmiennych losowych, X₁, X₂, …, Xₙ i chcemy znaleźć wartość oczekiwaną ich sumy, S = X₁ + X₂ + … + Xₙ.

Aby obliczyć wartość oczekiwaną S, możemy użyć liniawłasność aryjna oczekiwań. Właściwość ta stwierdza, że ​​oczekiwanie suma zmiennych losowych jest równa sumie ich indywidualnych oczekiwań.

Matematycznie oczekiwanie S można wyrazić jako:

E[S] = E[X₁ + X₂ + … + Xₙ] = E[X₁] + E[X₂] + … + E[Xₙ]

Ta właściwość obowiązuje niezależnie od tego, czy zmienne losowe są dyskretne, czy ciągłe.

Obliczając oczekiwaną sumę zmiennych losowych, możemy uzyskać wgląd w przeciętne zachowanie of połączone zmienne. Jest to szczególnie przydatne w różnych dziedzinach, takich jak finanse, gdzie często reprezentuje suma zmiennych losowych całkowita wartość lub wynik systemu.

Podsumowując, matematyczne oczekiwanie łącznych rozkładów prawdopodobieństwa pozwala nam określić ilościowo średni wynik zmiennych losowych. Biorąc pod uwagę oczekiwanie funkcji zmiennych losowych i oczekiwanie sumy zmiennych losowych, możemy przeanalizować i zrozumieć zachowanie złożone systemy z wiele losowych komponentów.

Przykłady i zastosowania

11.0 1

Przykład: Oczekiwana odległość między dwoma punktami

W teorii prawdopodobieństwa koncepcja oczekiwań matematycznych jest szeroko stosowana do obliczania średniej wartości zmiennej losowej. Rozważmy przykład, aby zrozumieć, jak działa ta koncepcja. Załóżmy, że tak dwa punkty on liniai chcemy znaleźć oczekiwaną odległość między nimi dwa punkty.

Aby rozwiązać ten problem, możemy zdefiniować zmienną losową X, która reprezentuje odległość między dwa punkty, możliwa wartość of Zakres X od 0 (kiedy to dwa punkty pokrywać się) z Długość of linia (kiedy dwa punkty są na skrajne końce).

Aby obliczyć oczekiwaną odległość, musimy znaleźć średnią wartość X. Można to zrobić, mnożąc każdą możliwą wartość X przez odpowiadające jej prawdopodobieństwo i sumując wyniki, w ta sprawa, od punkty może znajdować się w dowolnym miejscu linia z równe prawdopodobieństwo, rozkład prawdopodobieństwa X jest jednolite.

Odległość (X) Prawdopodobieństwo (P(X))
0 0
1 1/długość
2 1/długość
... ...
długość 1/długość

Stosując wzór na wartość oczekiwaną, możemy obliczyć oczekiwaną odległość między dwa punkty jako:

E(X) = 0 * 0 + 1 * (1/długość) + 2 * (1/długość) + … + długość * (1/długość) = (długość + 1) / 2

Przykład: Oczekiwana liczba sukcesów w próbach dwumianowych

Kolejna popularna aplikacja oczekiwań matematycznych kontekst of próby dwumianowe. Próba dwumianowa is eksperyment z dwa możliwe wyniki, często określane jako sukces i porażka. Rozważmy przykład ilustrujący tę koncepcję.

Załóżmy, że mamy stronnicza moneta , które ma szansa 70% lądowania na głowach i szansa 30% lądowania na ogonach. Chcemy znaleźć oczekiwaną liczbę głów podczas odwracania ta moneta 10 razy.

Aby rozwiązać ten problem, możemy zdefiniować zmienną losową X, która reprezentuje liczbę uzyskanych orłów 10 rzutów. X może przyjmować wartości od 0 do 10 włącznie. Następuje rozkład prawdopodobieństwa X a rozkład dwumianowy z parametrami n (liczba prób) i p (prawdopodobieństwo sukcesu).

Liczba głowic (X) Prawdopodobieństwo (P(X))
0 (0.3)^10
1 10 * (0.3)^9 * (0.7)
2 45 * (0.3)^8 * (0.7)^2
... ...
10 (0.7)^10

Aby znaleźć oczekiwaną liczbę orłów, możemy zastosować wzór na wartość oczekiwaną:

E(X) = 0 * (0.3)^10 + 1 * 10 * (0.3)^9 * (0.7) + 2 * 45 * (0.3)^8 * (0.7)^2 + … + 10 * (0.7) ^10

Przykład: Oczekiwana liczba prób, aby zebrać określoną liczbę sukcesów

In pewne scenariusze, możemy być zainteresowani znalezieniem oczekiwanej liczby prób wymaganych do osiągnięcia pewna liczba sukcesów. Ta koncepcja jest powszechnie stosowany w różnych dziedzinach, np kontrola jakości i inżynieria niezawodności. Przeanalizujmy przykład, aby lepiej zrozumieć tę koncepcję.

Załóżmy, że mamy proces produkcyjny który produkuje wadliwe przedmioty z prawdopodobieństwem 0.2. Chcemy znaleźć oczekiwaną liczbę prób potrzebnych do uzyskania 5 wadliwe przedmioty.

Aby rozwiązać ten problem, możemy zdefiniować zmienną losową X, która reprezentuje liczbę prób wymaganych do zebrania 5 wadliwe przedmioty. X może przyjmować wartości od 5 do nieskończoności. Następuje rozkład prawdopodobieństwa X negatyw rozkład dwumianowy z parametrami r (liczba sukcesów) i p (prawdopodobieństwo sukcesu).

Liczba prób (X) Prawdopodobieństwo (P(X))
5 (0.2)^5
6 5 * (0.2)^5 * (0.8)
7 6 * (0.2)^6 * (0.8)
... ...
n (n-1) * (0.2)^(n-1) * (0.8)

Aby znaleźć oczekiwaną liczbę prób, możemy zastosować wzór na wartość oczekiwaną:

DAWNY) = 5 * (0.2)^5 + 6 * 5 * (0.2)^5 * (0.8) + 7 * 6 * (0.2)^6 * (0.8) + … + n * (n-1) * (0.2)^(n-1) * (0.8)

Przykład: Oczekiwana liczba książek do matematyki wybranych z półki

42.0

Oczekiwania matematyczne można również zastosować do scenariuszy obejmujących selekcja elementów z kolekcja. Rozważmy przykład ilustrujący tę koncepcję.

Załóżmy, że mamy półka z 100 książki matematyczne, z czego 20 jest autorstwa znani matematycy. Chcemy znaleźć oczekiwaną liczbę książki matematyczne musimy wybrać z Półka dopóki się nie spotkamy książka autor: znany matematyk.

Aby rozwiązać ten problem, możemy zdefiniować zmienną losową X, która reprezentuje liczbę książek wybranych do znalezienia książka autor: znany matematyk. X może przyjmować wartości od 1 do 100. Poniżej przedstawiono rozkład prawdopodobieństwa X rozkład geometryczny z parametr str (prawdopodobieństwo sukcesu).

Liczba wybranych książek (X) Prawdopodobieństwo (P(X))
1 20/100
2 80/100*19/99
3 80/100 * 79/99 * 18/98
... ...
n (80/100)^(n-1) * (20/100)

Aby znaleźć oczekiwaną liczbę książek, możemy zastosować wzór na wartość oczekiwaną:

E(X) = 1 * (20/100) + 2 * (80/100) * (19/99) + 3 * (80/100) * (79/99) * (18/98) + … + n * (80/100)^(n-1) * (20/100)

Przykład: Oczekiwana liczba osób, które wybiorą własny kapelusz

Oczekiwanie matematyczne można również zastosować do sytuacji obejmujących losowe zadania. Rozważmy przykład ilustrujący tę koncepcję.

Załóżmy, że mamy Grupa of 10 osób, każdy z własnym kapeluszem. Kapelusze są losowo tasowane i rozdawane z powrotem ludzie. Chcemy znaleźć oczekiwaną liczbę osób, które skończą z własnym kapeluszem.

Aby rozwiązać ten problem, możemy zdefiniować zmienną losową X, która reprezentuje liczbę osób, które wybrały swój własny kapelusz. X może przyjmować wartości od 0 do 10. Poniżej przedstawiono rozkład prawdopodobieństwa X rozkład zaburzeń.

Liczba osób (X) Prawdopodobieństwo (P(X))
0 1 / 10!
1 10 / 10!
2 45 / 10!
... ...
10 1 / 10!

Aby znaleźć oczekiwaną liczbę osób, możemy zastosować wzór na wartość oczekiwaną:

E(X) = 0 * 1/10! + 1*10/10! +2*45/10! + … + 10 * 1/10!

Granice i nierówności

23.0 1

W teorii prawdopodobieństwa grają granice i nierówności kluczowa rola w zrozumieniu zachowania zmiennych losowych i ich oczekiwań. Te narzędzia matematyczne pozwalają nam ustalić limity i ograniczenia możliwe rezultaty of losowy eksperyment. W tej sekcji będziemy badać trzy ważne koncepcje związane z granicami i nierównościami: nierówność Boole'a, granice od oczekiwań przy użyciu metod probabilistycznych oraz tożsamość maksimum-minimum i jego zastosowanie do oczekiwań.

Nierówność Boole'a i jej związek z oczekiwaniami

Nierówność Boole'a, nazwana na cześć angielski matematyk Jerzego Boole'a, zapewnia cholewka związane z prawdopodobieństwem Unia of wiele wydarzeń. Mówi, że prawdopodobieństwo Unia of dowolny skończony lub policzalny ciąg zdarzeń jest mniejsza lub równa sumie ich indywidualne prawdopodobieństwa. Matematycznie, dla wydarzenia A₁, A₂, A₃, …, mamy:

P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ...) ≤ P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + …

Ta nierówność jest szczególnie przydatny w przypadku zmiennych losowych i ich oczekiwań. Oczekiwania zmiennej losowej reprezentuje średnią wartość, jakiej spodziewalibyśmy się uzyskać, powtarzając Eksperyment wiele razy. Stosując nierówność Boole'a, możemy ustalić cholewka ograniczona prawdopodobieństwem przyjęcia zmiennej losowej wartość większa lub równa pewien próg.

Rozważmy na przykład zmienną losową X, która reprezentuje liczbę orłów uzyskanych podczas rzutu uczciwa moneta trzy razy. Jesteśmy zainteresowani znalezieniem cholewka ograniczone prawdopodobieństwem, że X jest większe lub równe 2. Stosując nierówność Boole'a, możemy napisać:

P(X ≥ 2) ≤ P(X = 2) + P(X = 3)

Ponieważ każdy rzut monetą jest niezależny i ma prawdopodobieństwo wystąpienia wynoszące 0.5 przed siebie, możemy obliczyć prawdopodobieństwa w następujący sposób:

P(X = 2) = (3 wybierz 2) * (0.5)² * (0.5) = 3/8

P(X = 3) = (3 wybierz 3) * (0.5)³ = 1/8

Zatem górna granica P(X ≥ 2) wynosi:

P(X ≥ 2) ≤ 3/8 + 1/8 = 1/2

Granice oczekiwań przy użyciu metod probabilistycznych

53.0

Oprócz nierówności Boole'a możemy również ustalić granice oczekiwań dotyczących zmiennej losowej za pomocą metod probabilistycznych. Te granice zapewniać cenne spostrzeżenia w zachowanie zmiennej losowej i pomóc nam zrozumieć jego średnią wartość.

Jednym z takich ograniczeń jest dotychczasowy Nierówność Markowa, co wiąże się z oczekiwaniem nieujemna zmienna losowa do jego prawdopodobieństwo. Stanowi, że za dowolna nieujemna zmienna losowa X i dowolna stała dodatnia a, prawdopodobieństwo, że X jest większe lub równe a, jest ograniczone przez wartość oczekiwaną X podzieloną przez A. Matematycznie, mamy:

P(X ≥ a) ≤ E[X]/a

Ta nierówność pozwala nam ustalić cholewka ograniczona prawdopodobieństwem przekroczenia przez zmienną losową pewien próg w oparciu o swoje oczekiwania.

Kolejnym ważnym ograniczeniem jest dotychczasowy Nierówność Czebyszewa, który zapewnia cholewka ograniczone prawdopodobieństwem, że zmienna losowa odbiega od oczekiwań o pewna kwota. Stanowi, że za dowolna zmienna losowa X z skończona wariancja i dowolna stała dodatnia k, prawdopodobieństwo, że X odbiega od oczekiwań o więcej niż k odchylenie standardowes jest ograniczona przez 1/k². Matematycznie mamy:

P(|X – E[X]| ≥ kσ) ≤ 1/k²

Tutaj σ reprezentuje dotychczasowy odchylenie standardowe zmiennej losowej. Nierówność Czebyszewa pozwala nam oszacować prawdopodobieństwo ekstremalne rezultaty i zapewnia miarę dyspersja zmiennej losowej wokół jej oczekiwań.

Tożsamość maksymalna-minimum i jej zastosowanie do oczekiwań

56.0 1

Tożsamość maksimum-minimum, znany również jako tożsamość zakresu, jest przydatne narzędzie do ustalenia granic oczekiwań dotyczących zmiennej losowej. Stwierdza, że ​​oczekiwanie maksymalna wartość of zbiór zmiennych losowych jest większa lub równa maksymalna wartość ich indywidualnych oczekiwań i oczekiwań minimalna wartość jest mniejsze lub równe minimalna wartość ich indywidualnych oczekiwań. Matematycznie dla zmiennych losowych X₁, X₂, X₃, … mamy:

max(E[X₁], E[X₂], E[X₃], …) ≤ E[maks.(X₁, X₂, X₃, …)] ≤ max(E[X₁], E[X₂], E[X₃], …)

min(E[X₁], E[X₂], E[X₃], …) ≤ E[min(X₁, X₂, X₃, …)] ≤ min(E[X₁], E[X₂], E[X₃], …)

Ta tożsamość pozwala nam ustalić granice oczekiwań funkcji wielu zmiennych losowych na podstawie ich indywidualnych oczekiwań. Jest to szczególnie przydatne w przypadku scenariuszy, od których zależy zachowanie systemu skrajne wartości biorących udział zmiennych losowych.

Podsumowując, zapewniają granice i nierówności cenne spostrzeżenia na zachowanie zmiennych losowych i ich oczekiwania. Nierówność Boole'a pozwala nam ustalić górne granice na prawdopodobieństwo pewne wydarzenia, natomiast metody probabilistyczne, takie jak Nierówność Markowa i Nierówność Czebyszewa podać granice oczekiwań i odchyleń zmiennych losowych. Tożsamość maksimum-minimum pomaga nam ustalić granice oczekiwań funkcji wielu zmiennych losowych. Korzystając te narzędzia matematyczne, możemy zyskać głębsze zrozumienie zachowania zmiennych losowych i na ich podstawie podejmować świadome decyzje ich oczekiwane rezultaty.

Zakończenie i dalsze czytanie

Podsumowanie oczekiwań matematycznych i koncepcji zmiennych losowych

In ten artykuł, zbadaliśmy podstawowe koncepcje oczekiwań matematycznych i zmiennych losowych. Zaczęliśmy od zrozumienia podstawowa idea teorii prawdopodobieństwa i jej powiązania ze zdarzeniami losowymi. Teoria prawdopodobieństwa pozwala nam określić ilościowo prawdopodobieństwo wystąpienia różnych wyników w dana sytuacja.

Następnie zagłębiliśmy się w koncepcję zmiennych losowych, czyli zmiennych, które mogą przyjmować różne wartości w zależności od wyniku zdarzenia losowego. Zmienne losowe można sklasyfikować jako dyskretne lub ciągłe, w zależności od tego, czy mogą one tylko przyjmować konkretne wartości lub może podjąć dowolna wartość w ciągu zakres, Odpowiednio.

Następnie omówiliśmy oczekiwaną wartość zmiennej losowej, która reprezentuje średnią wartość, jakiej spodziewalibyśmy się uzyskać, gdyby powtórzyliśmy losowy eksperyment wiele razy. Oczekiwana wartość jest miarą tendencji centralnej i zapewnia wgląd w zachowanie długoterminowe zmiennej losowej.

Zbadaliśmy także inne ważne miary statystyczne związane ze zmiennymi losowymi, takimi jak wariancja i odchylenie standardowe. Te środki określić ilościowo Rozprzestrzenianie lub zmienność wartości zmiennej losowej wokół oczekiwanej wartości. Zrozumienie te środki pomaga nam ocenić poziom niepewności związanej ze zmienną losową.

Ponadto zbadaliśmy różne typy rozkładów prawdopodobieństwa powszechnie spotykane w teorii prawdopodobieństwa, w tym: Bernoulliego, dwumianowy, Poissona i normalna dystrybucjas. Każda dystrybucja ma swoje własne unikalne cechy i jest przydatny do modelowania różnych typów zdarzeń losowych.

Na koniec krótko poruszyliśmy temat zaawansowane tematy jak na przykład prawo of duże liczby, który stwierdza, że ​​wraz ze wzrostem liczby prób średnia wynosi obserwowane wartości zmiennej losowej zbiega się do wartości oczekiwanej. Wspomnieliśmy również centralne twierdzenie graniczne, który stwierdza, że ​​suma lub średnia Duża liczba of niezależne i identycznie rozłożone zmienne losowe ma tendencję do podążania a normalna dystrybucja.

Polecane książki do dalszej nauki

Dla tych, którzy chcą głębiej zagłębić się w temat pojęcia oczekiwań matematycznych i zmiennych losowych kilka polecanych książek:

  1. „Prawdopodobieństwo i procesy losowe" przez Geoffreya Grimmetta i David Stirzaker – ta książka zawiera obszerne wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i obejmuje zmienne losowe, oczekiwania i różne rozkłady prawdopodobieństwa.
  2. "Wprowadzenie do Modele prawdopodobieństwa" przez Sheldona Rossa - Ten podręcznik oferuje dokładne wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i obejmuje szeroki zakres tematów, w tym zmienne losowe, oczekiwania i rozkłady prawdopodobieństwa.
  3. „Prawdopodobieństwo i zmienne losowe: Przewodnik dla początkujących” Davida Stirzakera – ta książka jest przeznaczona dla początkujących i zapewnia jasne i zwięzłe wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa, zmiennych losowych i ich właściwości.

Dodatkowe zasoby i odniesienia

Oprócz książek są kilka zasobów internetowych i referencje, które mogą jeszcze bardziej ulepszyć Twoje zrozumienie oczekiwań matematycznych i zmiennych losowych. Oto kilka, które warto poznać:

  • Khan Academy (www.khanacademy.org) – oferty Khan Academy różnorodność of samouczki wideo i ćwiczenia ćwiczeń na teorii prawdopodobieństwa i zmiennych losowych.
  • MIT OpenCourseWare (ocw.mit.edu) – zapewnia MIT OpenCourseWare Darmowy dostęp do materiały szkoleniowe od różne kursy MIT, w tym dotyczące teorii prawdopodobieństwa i zmiennych losowych.
  • Świat matematyczny Wolframa (mathworld.wolfram.com) – MathWorld jest encyklopedię internetową matematyki, która obejmuje szeroki zakres tematów, w tym teorię prawdopodobieństwa i zmienne losowe.
  • Journal of Probability and Statistics (www.hindawi.com/journals/jps) – To recenzowane czasopismo publikuje artykuły badawcze on różne aspekty teorii prawdopodobieństwa i statystyki, w tym zagadnień związanych z oczekiwaniami matematycznymi i zmiennymi losowymi.

Przez odkrywanie te zasoby i referencje, możesz je jeszcze bardziej ulepszyć Twoja wiedza i zyskaj głębsze zrozumienie of fascynujący świat oczekiwań matematycznych i zmiennych losowych. Miłej nauki!

Często Zadawane Pytania

1. Jakie jest matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej?

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest miarą średniej wartości, jaką ona przyjmuje Duża liczba prób. Jest ona również nazywana wartością oczekiwaną i jest oznaczana przez E[X].

2. Jak definiujesz zmienną losową i jej matematyczne oczekiwanie?

Zmienna losowa to zmienna, która przyjmuje różne wartości w zależności od wyniku zdarzenia losowego. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest sumą iloczynu każdej możliwej wartości zmiennej i odpowiadającego jej prawdopodobieństwa.

3. Jakie jest matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej?

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej oblicza się poprzez całkowanie iloczynu wartości zmiennej oraz funkcja gęstości prawdopodobieństwa (PDF) w całym jej zakresie.

4. Jak oblicza się matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej?

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej oblicza się poprzez zsumowanie iloczynu każdej możliwej wartości zmiennej i odpowiadająca jej funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF).

5. Jaki jest związek pomiędzy zmienną losową a oczekiwaniem matematycznym PDF?

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej można obliczyć za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF) dla ciągłych zmiennych losowych lub funkcja masy prawdopodobieństwa (PMF) dla dyskretnych zmiennych losowych.

6. Jak oczekiwanie zmiennej losowej jest reprezentowane w LaTeX-ie?

Oczekiwania zmiennej losowej można przedstawić w LaTeX-ie za pomocą Komenda \mathbb{E}[X], gdzie X jest zmienną losową.

7. Jaki jest oczekiwany wynik w teorii prawdopodobieństwa?

Oczekiwany wynik w teorii prawdopodobieństwa odnosi się do średniej wartości lub wyniku przewidywanego na podstawie powiązanych prawdopodobieństw różne możliwe wyniki.

8. Jaka jest wariancja zmiennej losowej?

Wariancja zmiennej losowej jest miarą tego, jak bardzo wartośćwartości zmiennej wahają się wokół jej oczekiwanej wartości. Jest oznaczany przez Var(X) i obliczany jako średnia kwadratowe różnice pomiędzy każda wartość i oczekiwaną wartość.

9. Jakie jest odchylenie standardowe zmiennej losowej?

Połączenia odchylenie standardowe zmiennej losowej jest pierwiastek kwadratowy of jego odmienność. Stanowi miarę dyspersja lub rozprzestrzenianie się wartości zmiennej wokół oczekiwanej wartości.

10. Jakie są przykłady powszechnych rozkładów prawdopodobieństwa?

Kilka przykładów of wspólne rozkłady prawdopodobieństwa zawierać Bernoulliego dystrybucja, rozkład dwumianowy, Rozkład Poissona, normalna dystrybucja. Każda dystrybucja ma swoje własne cechy i służy do modelowania różnych typów zmiennych losowych.

Przewiń do góry