Geometria współrzędnych 2D: 11 ważnych faktów

Miejsce w geometrii współrzędnych 2D

Locus to łacińskie słowo. Pochodzi od słowa „Miejsce” lub „Lokalizacja”. Liczba mnoga od locus to Loci.

Definicja miejsca:

W geometrii „Miejsce” to zbiór punktów, które spełniają jeden lub więcej określonych warunków figury lub kształtu. We współczesnej matematyce położenie lub droga, po której porusza się punkt na płaszczyźnie spełniającej dane warunki geometryczne, nazywa się miejscem położenia punktu.

Miejsce jest definiowane dla linii, segmentu linii i regularnych lub nieregularnych zakrzywionych kształtów, z wyjątkiem kształtów posiadających wierzchołki lub kąty wewnątrz nich w geometrii. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Przykłady na Locus:

linie, okręgi, elipsa, parabola, hiperbola itd. wszystkie te kształty geometryczne są określone przez umiejscowienie punktów.

Równanie miejsca:

Algebraiczna postać właściwości geometrycznych lub warunków, które są spełnione przez współrzędne wszystkich punktów w miejscu, jest znana jako równanie miejsca tych punktów.

Metoda uzyskania równania miejsca:

Aby znaleźć równanie położenia punktu ruchomego na płaszczyźnie, postępuj zgodnie z procesem opisanym poniżej

(i) Najpierw załóżmy, że współrzędne poruszającego się punktu na płaszczyźnie to (h,k).

(ii) Po drugie, wyprowadź równanie algebraiczne z h i k z danych warunków geometrycznych lub właściwości.

(iii) Po trzecie, zastąp h i k odpowiednio przez x i y w powyższym równaniu. Teraz to równanie nazywa się równaniem miejsca ruchu punktu na płaszczyźnie. (x,y) to aktualne współrzędne poruszającego się punktu, a równanie miejsca musi być zawsze wyprowadzone w postaci x i y, czyli aktualne współrzędne.

Oto kilka przykładów, które wyjaśniają koncepcję locus.

4+różne rodzaje rozwiązanych problemów w Locus:

Problem 1: If P być dowolnym punktem na płaszczyźnie XY, który jest w równej odległości od dwóch podanych punktów A (3,2) i B(2,-1) na tej samej płaszczyźnie, następnie znajdź miejsce i równanie miejsca punktu P za pomocą wykresu.

Rozwiązanie: 

Załóżmy, że współrzędne dowolnego punktu w miejscu położenia P na płaszczyźnie XY są (h, k).

Ponieważ P jest w równej odległości od A i B, możemy napisać

Odległość P od A = Odległość P od B

Lub |PA|=|PB|

Lub (godz² -6h+9+k² -4k+4) = (godz² -4h+4+k² +2k+1)——– biorąc kwadrat w obie strony.

Lub, godz² -6h+13+k² -4k -godz²+4h-5-k² -2k = 0

Lub -2h -6k+8 = 0

Lub h+3k -4 = 0

Lub, h+3k = 4 ——– (1)

Jest to równanie pierwszego stopnia h i k.

Teraz, jeśli h i k zostaną zastąpione przez x i y, wówczas równanie (1) stanie się równaniem pierwszego stopnia x i y w postaci x + 3y = 4, które reprezentuje linię prostą.

Zatem miejsce punktu P(h, k) na płaszczyźnie XY jest linią prostą, a równanie tego miejsca wynosi x + 3y = 4 . (Odp.)

Problem 2: Jeśli punkt R porusza się po płaszczyźnie XY w taki sposób, że RA : BR = 3:2 gdzie współrzędne punktów A i B jest (-5,3) i (2,4) odpowiednio na tej samej płaszczyźnie, a następnie znajdź miejsce punktu R.

Jaki typ krzywej wskazuje równanie locus R?

Rozwiązanie: Załóżmy, że współrzędne dowolnego punktu w locus danego punktu R na płaszczyźnie XY (m, n).

Asper podany warunek RA : BR = 3:2,

mamy,

(Odległość R od A) / (Odległość R od B) = 3/2

Lub (m.in² +10m+34+n² -6n) / (m² -4m+n² -8n+20) =9/4 ———– biorąc pod kątem prostym po obu stronach.

Lub 4 (m² +10m+34+n² -6n) = 9(m² -4m+n² -8n+20)

Albo 4m² +40m+136+4n² -24n = 9m² -36m+9n² -72n+180)

Albo 4m² +40m+136+4n² -24n – 9m² +36m-9n² +72n-180 = 0

Lub -5m² +76m-5n²+48n-44 = 0

Lub 5 (m²+n²)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

Jest to równanie drugiego stopnia m i n .

Teraz, jeśli m i n zostaną zastąpione przez x i y, równanie (1) stanie się równaniem drugiego stopnia x i y w postaci 5(x²+y²)-76x+48y+44 = 0 gdzie współczynniki x² i y² są takie same, a współczynnik xy wynosi zero. To równanie reprezentuje okrąg.

Dlatego miejscem punktu R(m, n) na płaszczyźnie XY jest okrąg, a równanie miejsca ma postać

5(x)²+y²)-76x+48y+44 = 0 (Odp.)

Problem 3: Dla wszystkich wartości (θ,aCosθ,bSinθ) są współrzędnymi punktu P, który porusza się na płaszczyźnie XY. Znajdź równanie locus P.

Rozwiązanie: niech (h, k) będą współrzędnymi dowolnego punktu leżącego w miejscu P na płaszczyźnie XY.

Następnie zgodnie z pytaniem możemy powiedzieć

h= a Cosθ

Lub h/a = Cosθ —————(1)

Oraz k = b Sinθ

Lub k/b = Sinθ —————(2)

Teraz biorąc kwadrat obu równań (1) i (2), a następnie dodając, otrzymujemy równanie

h²/a² +k²/b² =Kos²θ + Grzech²θ

Lub, godz²/a² +k²/b² = 1 (Ponieważ Cos²θ + Grzech²θ =1 w trygonometrii)

Zatem równanie miejsca punktu P wynosi x²/a² + i²/b² = 1. (Odp.)

Problem 4: Znajdź równanie położenia punktu Q poruszającego się po płaszczyźnie XY, jeśli współrzędne Q są

gdzie u jest parametrem zmiennej.

rozwiązanie: Niech współrzędne dowolnego punktu na locus danego punktu Q podczas poruszania się po płaszczyźnie XY będą (h, k).

Wtedy h = i k =

tj. h(3u+2) = 7u-2 i k(u-1) = 4u+5

tj. (3h-7)u = -2h-2 i (k-4)u = 5+k

tj. ty = —————(1)

i u = —————(2)

Teraz przyrównując równania (1) i (2) , otrzymujemy,

Lub (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Or, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Or, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Lub -5hk-7h+5k = -43

Lub 5hk+7h-5k = 43

Dlatego równanie locus Q to 5xy+7x-5y = 43.

Więcej przykładów na Locus z odpowiedziami do samodzielnego ćwiczenia:

Problemy 5: Jeżeli θ będzie zmienną, a u będzie stałą, to znajdź równanie położenia punktu przecięcia dwóch prostych x Cosθ + y Sinθ = u oraz x Sinθ- y Cosθ = u. ( Odp. X²+y² = 2u² )

Problemy 6: Znajdź równanie położenia punktu środkowego odcinka linii prostej x Sinθ + y Cosθ = t między osiami. (Odp. 1/x²+ 1 /y² =4/t² )

Problemy 7: Jeżeli punkt P porusza się w taki sposób na płaszczyźnie XY, że pole trójkąta utworzone przez punkt z dwoma punktami (2,-1) i (3,4). ( Odp. 5x-y=11)

Podstawowe przykłady formuł „centroid trójkąta”  w geometrii współrzędnych 2D

Centroida: Trzy środkowe trójkąta przecinają się zawsze w punkcie znajdującym się w wewnętrznej części trójkąta i dzielą środkową w stosunku 2:1 od dowolnego wierzchołka do środka przeciwległego boku. Punkt ten nazywany jest środkiem ciężkości trójkąta.   

Zadania 1: Znajdź środek ciężkości trójkąta o wierzchołkach (-1,0), (0,4) i (5,0).

Rozwiązanie:  Już wiemy,

                                             If  Topór₁,y₁) B(x₂,y₂) i C(x₃,y₃) być wierzchołkami trójkąta i G(x, y) być centroidem trójkąta, a następnie Współrzędne G jest

i

Korzystając z tej formuły mamy , 

(x₁,y₁) ≌(-1,0) tj. x₁= -1, y₁=0;

(x₂,y₂) ≌(0,4) tj.   x₂= 0, y₂= 4 i

(x₃,y₃) ≌(5,0) tj.   x₃= 5, y₃=0

(Zobacz tabelę formuł)

Tak więc współrzędna x środka ciężkości G,   

tj.

tj. x=4/3

                  i 

współrzędna y środka ciężkości G,  

czyli

tj. y=4/3

Dlatego współrzędne środka ciężkości danego trójkąta to . (Odpowiedz)

Więcej odpowiedzi na problemy podano poniżej dla dalszej praktyki przy użyciu procedury opisanej w powyższym zadaniu 1 :-

Problemy 2: Znajdź współrzędne środka ciężkości trójkąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach (-3,-1), (-1,3)) i (1,1).

Ans. (-1,1)

Problemy 3: Jaka jest współrzędna x środka ciężkości trójkąta o wierzchołkach (5,2), (10,4) i (6,-1) ?

Ans. 7 

Problemy 4: Trzy wierzchołki trójkąta to (5,9), (2,15) i (11,12). Znajdź środek ciężkości tego trójkąta.

Ans. (6,12)

Zmiana pochodzenia / Translacja osi — geometria współrzędnych 2D

Przesunięcie Początku oznacza przesunięcie Początku do nowego punktu z zachowaniem orientacji osi bez zmian, tzn. nowe osie pozostają równoległe do oryginalnych osi w tej samej płaszczyźnie. Dzięki temu procesowi translacji osi lub przesunięcia punktu początkowego wiele problemów dotyczących równania algebraicznego kształtu geometrycznego jest uproszczonych i łatwych do rozwiązania.

Formuła „Przesunięcie początku” lub „Przesunięcie osi” są opisane poniżej z przedstawieniem graficznym.

Wzór:

Jeśli O jest początkiem ,P(x,y) będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie XY i O zostanie przesunięty do innego punktu O′(a,b) względem którego współrzędne punktu P przyjmą (x₁,y₁) w tej samej płaszczyźnie z nowymi osiami X₁Y₁  ,Wtedy nowe współrzędne P są

x₁ = x- za

y₁ = y- b

Graficzna reprezentacja dla wyjaśnienia: Postępuj zgodnie z wykresami

Niewiele rozwiązanych Problemy dotyczące formuły „Zmiany pochodzenia”:

Problem-1: Jeśli na tej samej płaszczyźnie znajdują się dwa punkty (3,1) i (5,4), a początek jest przesunięty do punktu (3,1) utrzymując nowe osie równolegle do osi pierwotnych, to znajdź współrzędne punkt (5,4) w odniesieniu do nowego początku i osi.

Rozwiązanie: W porównaniu z opisaną powyżej formułą „Przesunięcie pochodzenia” mamy nowy początek, O′(a, b) ≌ (3,1) tj. a=3 , b=1 i wymagany punkt P, (x, y) ≌ (5,4) tj. x=5 , y=4

Teraz, jeśli (x₁,y₁) będą nowymi współrzędnymi punktu P(5,4), a następnie formułą asper x₁ = x-a i y₁ =yb,

otrzymujemy, x₁ = 5-3 i y₁ = 4-1

tj. x₁ = 2 i y₁ =3

Dlatego wymagane nowe współrzędne punktu (5,4) to (2,3) . (Odp.)

Problem-2: Po przesunięciu Początku do punktu w tej samej płaszczyźnie, pozostających w osiach równoległych do siebie, współrzędne punktu (5,-4) stają się (4,-5). Znajdź współrzędne nowego Początku.

Rozwiązanie: Tutaj, korzystając ze wzoru na „Przesunięcie początku” lub „Przesunięcie osi”, możemy powiedzieć, że współrzędne punktu P względem starego i nowego początku oraz osi wynoszą odpowiednio (x, y) ≌ (5,-4), tj. x=5 , y= -4 i (x₁,y₁) ≌ (4,-5) tj  x₁= 4, r₁= -5

Teraz musimy znaleźć współrzędne nowego Origin O′(a, b) tj. a=?, b=?

Formuła Aspera,

x₁ = x- a

y₁ = y- b

tj. a=xx₁ i b=rr₁

Lub, a=5-4 i b= -4-(-5)

Lub, a=1 i b= -4+5

Lub, a=1 i b= 1

Dlatego O'(1,1) jest nowym Początkiem, tzn. współrzędne nowego Początku wynoszą (1,1). (Odp.)

Podstawowe przykłady formuł „Kolinearność punktów (trzy punkty)” w geometrii współrzędnych 2D

Problemy 1:  Sprawdź, czy punkty (1,0), (0,0) i (-1,0) są współliniowe, czy nie.

Rozwiązanie:  Już wiemy,

                                            If  Topór₁,y₁) B(x₂,y₂) i C(x₃,y₃) być dowolnymi trzema punktami współliniowymi, to pole utworzonego przez nie trójkąta musi wynosić zero ie pole trójkąta to ½[x₁ (y₂– tak₃) + x₂ (y₃– tak₁) + x₃ (y₁-y₂)] =0

(Zobacz tabelę formuł)

Korzystając z tej formuły mamy ,

(x₁,y₁) ≌(-1,0) tj.   x₁= -1, y₁= 0 ;

(x₂,y₂) ≌(0,0) tj.   x₂= 0, y₂= 0;

(x₃,y₃) ≌(1,0) tj.    x₃= 1, y₃= 0

Tak więc pole trójkąta to = |½[x₁ (y₂-  y₃) + x₂ (y₃-  y₁) + x₃ (y₁-y₂)]| czyli.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (prawostronny)

W związku z tym pole trójkąta utworzonego przez te punkty staje się zerowe, co oznacza, że ​​leżą na tej samej linii.

Dlatego podane punkty są punktami współliniowymi. (Odp.)

Więcej odpowiedzi na problemy podano poniżej do dalszego przećwiczenia przy użyciu procedury opisanej powyżej problem 1:-

Problemy 2: Sprawdź, czy punkty (-1,-1), (0,0) i (1,1) są współliniowe, czy nie.

Ans. Tak

Problemy 3: Czy można narysować jedną linię przez trzy punkty (-3,2), (5,-3) i (2,2) ?

Ans.Nie

Problemy 4: Sprawdź, czy punkty (1,2), (3,2) i (-5,2) połączone liniami mogą tworzyć trójkąt na płaszczyźnie współrzędnych.

Ans. Nie

______________________________

Podstawowe przykłady formuł „środek trójkąta” w geometrii współrzędnych 2D

W centrum:Jest to środek największego okręgu trójkąta, który mieści się wewnątrz trójkąta. Jest to również punkt przecięcia trzech dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

Problemy 1: Wierzchołki trójkąta o bokach to odpowiednio (-2,0), (0,5) i (6,0). Znajdź środek trójkąta.

Rozwiązanie: Już wiemy,

If  Topór₁,y₁) B(x₂,y₂) i C(x₃,y₃) być wierzchołkami, BC=a, CA=b i AB=c , G′(x, y) być środkiem trójkąta,

Współrzędne G' jest

i         

(Zobacz tabelę formuł)

Asper formułę, którą mamy,

(x₁,y₁) ≌(-4,0) tj.  x₁= -4, y₁=0;

(x₂,y₂) ≌(0,3) tj.  x₂= 0, y₂=3;

(x₃,y₃) ≌(0,0) tj.   x₃= 0, y₃=0

Mamy teraz,

a= √ [(x₂-x₁)²+ (r₂-y₁)² ]

Lub a= √ [(0+4)²+(3-0)² ]

Lub a= √ [(4)²+ (3)² ]

Lub a= √ (16+9)

Lub a = √25

Lub, a = 5 ——————(1)

b=√ [(x₁-x₃)²+ (r₁-y₃)² ]

Lub b= √ [(-4-0)²+(0-0)² ]

Lub b= √ [(-4)²+ (0)² ]

Lub b= √ (16+0)

Lub b= √16

Lub, b= 4 ——————–(2)

c= √ [(x₃-x₂)²+ (r₃-y₂)² ]

Lub c= √ [(0-0)²+(0-3)² ]

Lub c= √ [(0)²+(-3)² ]

Lub c= √ (0+9)

Lub c= √9

Lub, c= 3 ——————–(3)

orazx₁+ bx₂ +cx₃ = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)

= -20+0+18

Lub, ax₁+ bx₂ +cx₃ = -2 ——————-(4)

ay₁+ by₂+ cy₃ = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0+12+0

Lub, ay₁+ przez₂+ cy₃ = 12 ——————–(5)

a + b + c = 5+4+3

Lub, a+b+c = 12 ——————(6)

Korzystając z powyższych równań (1), (2), (3), (4), (5) i (6) możemy obliczyć wartość x i y od

Lub x = -2/12

Lub x = -1/6

i

Lub y = 12/12

Lub y = 1

Dlatego wymagane współrzędne środka danego trójkąta to (-1/6, 1). (Odp.)

Więcej odpowiedzi na problemy podano poniżej dla dalszej praktyki przy użyciu procedury opisanej w powyższym zadaniu 1 :-

Problemy 2: Znajdź współrzędne środka trójkąta z wierzchołkami w punktach (-3,-1), (-1,3)) i (1,1).

Problemy 3: Jaka jest współrzędna x środka trójkąta o wierzchołkach (0,2), (0,0) i (0,-1) ?

Problemy 4: Trzy wierzchołki trójkąta to (1,1), (2,2) i (3,3). Znajdź środek tego trójkąta.