Wspólnie rozdzielone zmienne losowe: 11 ważnych faktów

Treść

• Zmienne losowe o łącznym rozkładzie
• Wspólna funkcja dystrybucji | Wspólna skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa | funkcja masy prawdopodobieństwa wspólnego | wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa
• Przykłady wspólnej dystrybucji
• Niezależne zmienne losowe i wspólny rozkład
• Przykład niezależnej wspólnej dystrybucji
• SUMY NIEZALEŻNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH WEDŁUG WSPÓLNEGO DYSTRYBUCJI
• suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych
• suma niezależnych zmiennych losowych Gamma
• suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych
• Suma niezależnej normalnej zmiennej losowej | suma niezależnego rozkładu normalnego
• Sumy niezależnych zmiennych losowych Poissona
• Sumy niezależnych dwumianowych zmiennych losowych

Zmienne losowe o łącznym rozkładzie

     Zmienne losowe o rozkładzie łącznym są zmiennymi losowymi, które mają więcej niż jedną zmienną losową o rozkładzie wspólnym dla tych zmiennych losowych, innymi słowy w eksperymentach, w których inny wynik z ich wspólnym prawdopodobieństwem jest znany jako zmienna losowa o rozkładzie łącznym lub rozkład łączny, taki typ sytuacji ma miejsce. często podczas rozwiązywania problemów szans.

Wspólna funkcja dystrybucji | Wspólna skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa | funkcja masy prawdopodobieństwa wspólnego | wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa

    Dla zmiennych losowych X i Y funkcja rozkładu lub łączna funkcja rozkładu skumulowanego wynosi

gdzie charakter łącznego prawdopodobieństwa zależy od charakteru zmiennych losowych X i Y dyskretnych lub ciągłych, a poszczególne funkcje rozkładu dla X i Y można otrzymać za pomocą tej łącznej dystrybucyjnej funkcji jako

podobnie dla Y jak

te indywidualne funkcje dystrybucji X i Y są znane jako funkcje dystrybucji krańcowej, gdy rozważa się dystrybucję łączną. Te rozkłady są bardzo pomocne w uzyskiwaniu prawdopodobieństw takich jak

a dodatkowo łączną funkcję masy prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych X i Y definiuje się jako

poszczególne funkcje masy lub gęstości prawdopodobieństwa dla X i Y można uzyskać za pomocą takiej łącznej funkcji masy lub gęstości prawdopodobieństwa, jak w kategoriach dyskretne zmienne losowe as

i pod względem ciągła zmienna losowa będzie wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa

gdzie C jest dowolną dwuwymiarową płaszczyzną, a łączna funkcja rozkładu dla ciągłej zmiennej losowej będzie wynosić

funkcję gęstości prawdopodobieństwa z tej funkcji rozkładu można uzyskać przez różniczkowanie

oraz krańcowe prawdopodobieństwo ze wspólnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

as

i

w odniesieniu do zmiennych losowych odpowiednio X i Y

Przykłady wspólnej dystrybucji

1. Wspólne prawdopodobieństwa zmiennych losowych X i Y reprezentujące liczbę książek matematycznych i statystycznych z zestawu książek, który zawiera 3 książki matematyczne, 4 książki statystyczne i 5 książek fizycznych, jeśli 3 książki zostały wybrane losowo

• Znajdź staw prawdopodobieństwo funkcji masowej dla próby rodzin, w których 15% nie ma dziecka, 20% 1 dziecko, 35% 2 dzieci i 30% 3 dzieci czy w rodzinie losowo wybraliśmy z tej próby dziecko jako Chłopiec czy Dziewczynka?

Wspólne prawdopodobieństwo znajdziemy, używając definicji jako

a to możemy zilustrować w formie tabelarycznej w następujący sposób

• Oblicz prawdopodobieństwa

jeśli dla zmiennych losowych X i Y łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana wzorem

za pomocą definicji prawdopodobieństwa łącznego dla ciągłej zmiennej losowej

a dla danej funkcji gęstości spoiny pierwsze prawdopodobieństwo dla danego zakresu będzie

w podobny sposób prawdopodobieństwo

i w końcu

• Znajdź funkcję gęstości połączeń dla ilorazu X / Y zmiennych losowych X i Y, jeśli ich wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynosi

Aby znaleźć funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla funkcji X / Y, najpierw znajdujemy funkcję rozkładu łącznego, a następnie zróżnicujemy otrzymany wynik,

tak więc z definicji wspólnej funkcji rozkładu i danej funkcji gęstości prawdopodobieństwa mamy

w ten sposób różnicując tę ​​funkcję rozkładu względem a, otrzymamy funkcję gęstości jako

gdzie a mieści się w przedziale od zera do nieskończoności.

Niezależne zmienne losowe i wspólny rozkład

     W wspólna dystrybucja mówi się, że prawdopodobieństwo dla dwóch zmiennych losowych X i Y jest niezależne, jeśli

gdzie A i B to prawdziwe zbiory. Jak już w przypadku zdarzeń, wiemy, że niezależne zmienne losowe to zmienne losowe, których zdarzenia są niezależne.

Tak więc dla dowolnych wartości a i b

a łączny rozkład lub skumulowana funkcja dystrybucji dla niezależnych zmiennych losowych X i Y będzie

jeśli weźmiemy pod uwagę dyskretne zmienne losowe X i Y wtedy

ponieważ

podobnie również dla ciągłej zmiennej losowej

Przykład niezależnej wspólnej dystrybucji

1. Jeśli dla określonego dnia w szpitalu wprowadzani pacjenci mają rozkład poissona z parametrem λ i prawdopodobieństwem pacjenta płci męskiej jako p i prawdopodobieństwem pacjentki równym (1-p), to pokaż, że liczba pacjentów płci męskiej i żeńskiej przyjęta do szpitala są niezależnymi zmiennymi losowymi Poissona o parametrach λp i λ (1-p)?

rozważ liczbę pacjentów płci męskiej i żeńskiej na podstawie zmiennych losowych X i Y

jako X + Y to całkowita liczba pacjentów przyjętych do szpitala, o rozkładzie Poissona tzw

ponieważ prawdopodobieństwo pacjenta płci męskiej wynosi p, a pacjentki wynosi (1-p), więc dokładnie z całkowitej liczby ustalonej liczby są mężczyźni lub kobiety, a prawdopodobieństwo dwumianowe jest równe

używając tych dwóch wartości otrzymamy powyższe wspólne prawdopodobieństwo jako

w ten sposób prawdopodobieństwo pacjentów płci męskiej i żeńskiej będzie

i

co pokazuje, że obie są zmiennymi losowymi Poissona z parametrami λp i λ(1-p).

2. znaleźć prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie musiała czekać dłużej niż dziesięć minut na spotkanie dla klienta, tak jakby każdy klient i ta osoba przybyli między 12:1 a XNUMX:XNUMX po równomiernym rozłożeniu.

rozważ zmienne losowe X i Y, aby oznaczyć czas dla tej osoby i klienta między 12 a 1, więc prawdopodobieństwo łącznie dla X i Y będzie

obliczać

gdzie X, Y i Z są jednakową zmienną losową w przedziale (0,1).

tutaj prawdopodobieństwo będzie

dla równomiernego rozłożenia funkcję gęstości

dla danego zakresu tzw

SUMY NIEZALEŻNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH WEDŁUG WSPÓLNEGO DYSTRYBUCJI

  Suma niezależnych zmiennych X i Y z funkcjami gęstości prawdopodobieństwa jako ciągłe zmienne losowe, skumulowana funkcja dystrybucji będzie

przez zróżnicowanie tej skumulowanej funkcji rozkładu dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa tych niezależnych sum są

śledząc te dwa wyniki, zobaczymy ciągłe zmienne losowe i ich sumę jako zmienne niezależne

suma niezależnych jednolitych zmiennych losowych

   dla zmienne losowe X i Y równomiernie rozłożone w przedziale (0,1) funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla obu tych zmiennych niezależnych wynosi

więc dla sumy X + Y, którą mamy

dla dowolnej wartości a mieści się w przedziale od zera do jedynki

jeśli ograniczymy wartość pomiędzy jednym a dwoma, tak będzie

daje to trójkątną funkcję gęstości kształtu

jeśli uogólnimy dla n niezależnych, jednorodnych zmiennych losowych od 1 do n, to ich rozkład

przez indukcję matematyczną

suma niezależnych zmiennych losowych Gamma

    Jeśli mamy dwie niezależne zmienne losowe gamma z ich zwykłą funkcją gęstości

następnie po gęstości dla sumy niezależnych zmiennych losowych gamma

pokazuje to funkcję gęstości dla sumy zmiennych losowych gamma, które są niezależne

suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych

    Podobnie jak zmienna losowa gamma, suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych, możemy otrzymać funkcję gęstości i funkcję rozkładu, po prostu przypisując wartości zmiennych losowych gamma.

Suma niezależnej normalnej zmiennej losowej | suma niezależnego rozkładu normalnego

                Jeśli mamy n niezależnych zmiennych losowych normalnych Xi , i=1,2,3,4….n z odpowiednimi średnimi μi i wariancje σ2i to ich suma jest również normalną zmienną losową ze średnią μi i wariancjami Σσ2i

    Najpierw pokazujemy niezależną sumę o rozkładzie normalnym dla dwóch normalnych zmiennych losowych X z parametrami 0 i σ² i Y z parametrami 0 i 1, znajdźmy funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla sumy X + Y z

w funkcji gęstości rozkładu połączeń

za pomocą definicji funkcji gęstości rozkładu normalnego

w ten sposób funkcja gęstości będzie

co jest niczym innym jak funkcją gęstości a normalna dystrybucja ze średnią 0 i wariancją (1+σ2) po tym samym argumencie możemy powiedzieć

ze zwykłymi średnimi i odchyleniami. Jeśli weźmiemy ekspansję i zaobserwujemy, że suma rozkłada się normalnie ze średnią jako sumą odpowiednich średnich i wariancji jako sumą odpowiednich wariancji,

zatem w ten sam sposób n-ta suma będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią równą Σμ_i  i wariancje Σσ²_i

Sumy niezależnych zmiennych losowych Poissona

Jeśli mamy dwie niezależne zmienne losowe Poissona X i Y z parametrami λ₁ i λ₂ wtedy ich suma X + Y jest również zmienną losową Poissona lub rozkładem Poissona

ponieważ X i Y mają rozkład Poissona i możemy zapisać ich sumę jako sumę rozłącznych zdarzeń tzw

używając prawdopodobieństwa niezależnych zmiennych losowych

więc otrzymujemy sumę X + Y również z rozkładem Poissona ze średnią λ₁ + λ₂

Sumy niezależnych dwumianowych zmiennych losowych

                Jeśli mamy dwie niezależne dwumianowe zmienne losowe X i Y z parametrami (n, p) i (m, p), to ich suma X + Y jest również zmienną losową dwumianową lub rozkładem dwumianowym z parametrem (n + m, p)

użyjmy prawdopodobieństwa sumy z definicją dwumianu jako

co daje

więc suma X + Y jest również rozkładem dwumianowym z parametrem (n + m, p).

Wnioski:

Pojęcie zmiennych losowych o rozkładzie łącznym, które dają rozkład porównawczy dla więcej niż jednej zmiennej w danej sytuacji, jest dodatkowo omówione podstawowe pojęcie niezależnej zmiennej losowej za pomocą rozkładu łącznego i sumy zmiennych niezależnych wraz z przykładem rozkładu podano za pomocą ich parametry, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj wspomniane książki. Więcej postów na temat matematyki kliknij tutaj.

https://en.wikipedia.org

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.