Treść
- Zmienne losowe o łącznym rozkładzie
- Wspólna funkcja dystrybucji | Wspólna skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa | funkcja masy prawdopodobieństwa wspólnego | wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa
- Przykłady wspólnej dystrybucji
- Niezależne zmienne losowe i wspólny rozkład
- Przykład niezależnej wspólnej dystrybucji
- SUMY NIEZALEŻNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH WEDŁUG WSPÓLNEGO DYSTRYBUCJI
- suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych
- suma niezależnych zmiennych losowych Gamma
- suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych
- Suma niezależnej normalnej zmiennej losowej | suma niezależnego rozkładu normalnego
- Sumy niezależnych zmiennych losowych Poissona
- Sumy niezależnych dwumianowych zmiennych losowych
Zmienne losowe o łącznym rozkładzie
Zmienne losowe o rozkładzie łącznym są zmiennymi losowymi, które mają więcej niż jedną zmienną losową o rozkładzie wspólnym dla tych zmiennych losowych, innymi słowy w eksperymentach, w których inny wynik z ich wspólnym prawdopodobieństwem jest znany jako zmienna losowa o rozkładzie łącznym lub rozkład łączny, taki typ sytuacji ma miejsce. często podczas rozwiązywania problemów szans.
Wspólna funkcja dystrybucji | Wspólna skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa | funkcja masy prawdopodobieństwa wspólnego | wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Dla zmiennych losowych X i Y funkcja rozkładu lub łączna funkcja rozkładu skumulowanego wynosi
gdzie charakter łącznego prawdopodobieństwa zależy od charakteru zmiennych losowych X i Y dyskretnych lub ciągłych, a poszczególne funkcje rozkładu dla X i Y można otrzymać za pomocą tej łącznej dystrybucyjnej funkcji jako
podobnie dla Y jak
te indywidualne funkcje dystrybucji X i Y są znane jako funkcje dystrybucji krańcowej, gdy rozważa się dystrybucję łączną. Te rozkłady są bardzo pomocne w uzyskiwaniu prawdopodobieństw takich jak
a dodatkowo łączną funkcję masy prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych X i Y definiuje się jako
poszczególne funkcje masy lub gęstości prawdopodobieństwa dla X i Y można uzyskać za pomocą takiej łącznej funkcji masy lub gęstości prawdopodobieństwa, jak w kategoriach dyskretne zmienne losowe as
a pod względem ciągłej zmiennej losowej, łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa będzie wynosić
gdzie C jest dowolną dwuwymiarową płaszczyzną, a łączna funkcja rozkładu dla ciągłej zmiennej losowej będzie wynosić
funkcję gęstości prawdopodobieństwa z tej funkcji rozkładu można uzyskać przez różniczkowanie
oraz krańcowe prawdopodobieństwo ze wspólnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa
as
i
w odniesieniu do zmiennych losowych odpowiednio X i Y
Przykłady wspólnej dystrybucji
- Wspólne prawdopodobieństwa zmiennych losowych X i Y reprezentujące liczbę książek matematycznych i statystycznych z zestawu książek, który zawiera 3 książki matematyczne, 4 książki statystyczne i 5 książek fizycznych, jeśli 3 książki zostały wybrane losowo
- Znajdź staw prawdopodobieństwo funkcji masowej dla próby rodzin, w których 15% nie ma dziecka, 20% 1 dziecko, 35% 2 dzieci i 30% 3 dzieci czy w rodzinie losowo wybraliśmy z tej próby dziecko jako Chłopiec czy Dziewczynka?
Wspólne prawdopodobieństwo znajdziemy, używając definicji jako
a to możemy zilustrować w formie tabelarycznej w następujący sposób
- Oblicz prawdopodobieństwa
jeśli dla zmiennych losowych X i Y łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana wzorem
za pomocą definicji prawdopodobieństwa łącznego dla ciągłej zmiennej losowej
a dla danej funkcji gęstości spoiny pierwsze prawdopodobieństwo dla danego zakresu będzie
w podobny sposób prawdopodobieństwo
i w końcu
- Znajdź funkcję gęstości połączeń dla ilorazu X / Y zmiennych losowych X i Y, jeśli ich wspólna funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynosi
Aby znaleźć funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla funkcji X / Y, najpierw znajdujemy funkcję rozkładu łącznego, a następnie zróżnicujemy otrzymany wynik,
tak więc z definicji wspólnej funkcji rozkładu i danej funkcji gęstości prawdopodobieństwa mamy
w ten sposób różnicując tę funkcję rozkładu względem a, otrzymamy funkcję gęstości jako
gdzie a mieści się w przedziale od zera do nieskończoności.
Niezależne zmienne losowe i wspólny rozkład
W wspólna dystrybucja mówi się, że prawdopodobieństwo dla dwóch zmiennych losowych X i Y jest niezależne, jeśli
gdzie A i B to prawdziwe zbiory. Jak już w przypadku zdarzeń, wiemy, że niezależne zmienne losowe to zmienne losowe, których zdarzenia są niezależne.
Tak więc dla dowolnych wartości a i b
a łączny rozkład lub skumulowana funkcja dystrybucji dla niezależnych zmiennych losowych X i Y będzie
jeśli weźmiemy pod uwagę dyskretne zmienne losowe X i Y wtedy
ponieważ
podobnie również dla ciągłej zmiennej losowej
Przykład niezależnej wspólnej dystrybucji
- Jeśli dla określonego dnia w szpitalu wprowadzani pacjenci mają rozkład poissona z parametrem λ i prawdopodobieństwem pacjenta płci męskiej jako p i prawdopodobieństwem pacjentki równym (1-p), to pokaż, że liczba pacjentów płci męskiej i żeńskiej przyjęta do szpitala są niezależnymi zmiennymi losowymi Poissona o parametrach λp i λ (1-p)?
rozważ liczbę pacjentów płci męskiej i żeńskiej na podstawie zmiennych losowych X i Y
jako X + Y to całkowita liczba pacjentów przyjętych do szpitala, o rozkładzie Poissona tzw
ponieważ prawdopodobieństwo pacjenta płci męskiej wynosi p, a pacjentki wynosi (1-p), więc dokładnie z całkowitej liczby ustalonej liczby są mężczyźni lub kobiety, a prawdopodobieństwo dwumianowe jest równe
używając tych dwóch wartości otrzymamy powyższe wspólne prawdopodobieństwo jako
w ten sposób prawdopodobieństwo pacjentów płci męskiej i żeńskiej będzie
i
co pokazuje, że obie są zmiennymi losowymi Poissona o parametrach λp i λ (1-p).
2. znaleźć prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie musiała czekać dłużej niż dziesięć minut na spotkanie dla klienta, tak jakby każdy klient i ta osoba przybyli między 12:1 a XNUMX:XNUMX po równomiernym rozłożeniu.
rozważ zmienne losowe X i Y, aby oznaczyć czas dla tej osoby i klienta między 12 a 1, więc prawdopodobieństwo łącznie dla X i Y będzie
obliczać
gdzie X, Y i Z są jednakową zmienną losową w przedziale (0,1).
tutaj prawdopodobieństwo będzie
dla równomiernego rozłożenia funkcję gęstości
dla danego zakresu tzw
SUMY NIEZALEŻNYCH ZMIENNYCH LOSOWYCH WEDŁUG WSPÓLNEGO DYSTRYBUCJI
Suma niezależnych zmiennych X i Y z funkcjami gęstości prawdopodobieństwa jako ciągłe zmienne losowe, skumulowana funkcja dystrybucji będzie
przez zróżnicowanie tej skumulowanej funkcji rozkładu dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa tych niezależnych sum są
śledząc te dwa wyniki, zobaczymy ciągłe zmienne losowe i ich sumę jako zmienne niezależne
suma niezależnych jednolitych zmiennych losowych
dla zmienne losowe X i Y równomiernie rozłożone w przedziale (0,1) funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla obu tych zmiennych niezależnych wynosi
więc dla sumy X + Y, którą mamy
dla dowolnej wartości a mieści się w przedziale od zera do jedynki
jeśli ograniczymy wartość pomiędzy jednym a dwoma, tak będzie
daje to trójkątną funkcję gęstości kształtu
jeśli uogólnimy dla n niezależnych, jednorodnych zmiennych losowych od 1 do n, to ich rozkład
przez indukcję matematyczną
suma niezależnych zmiennych losowych Gamma
Jeśli mamy dwie niezależne zmienne losowe gamma z ich zwykłą funkcją gęstości
następnie po gęstości dla sumy niezależnych zmiennych losowych gamma
pokazuje to funkcję gęstości dla sumy zmiennych losowych gamma, które są niezależne
suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych
Podobnie jak zmienna losowa gamma, suma niezależnych wykładniczych zmiennych losowych, możemy otrzymać funkcję gęstości i funkcję rozkładu, po prostu przypisując wartości zmiennych losowych gamma.
Suma niezależnej normalnej zmiennej losowej | suma niezależnego rozkładu normalnego
Jeśli mamy n liczbę niezależnych normalnych zmiennych losowych Xi , i=1,2,3,4….n z odpowiednimi średnimi μi oraz wariancje σ2i to ich suma jest również normalną zmienną losową ze średnią μi i wariancjami Σσ2i
Najpierw pokazujemy niezależną sumę o rozkładzie normalnym dla dwóch normalnych zmiennych losowych X z parametrami 0 i σ2 i Y z parametrami 0 i 1, znajdźmy funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla sumy X + Y z
w funkcji gęstości rozkładu połączeń
za pomocą definicji funkcji gęstości rozkładu normalnego
w ten sposób funkcja gęstości będzie
co jest niczym innym jak funkcją gęstości a normalna dystrybucja ze średnią 0 i wariancją (1+σ2) po tym samym argumencie możemy powiedzieć
ze zwykłymi średnimi i odchyleniami. Jeśli weźmiemy ekspansję i zaobserwujemy, że suma rozkłada się normalnie ze średnią jako sumą odpowiednich średnich i wariancji jako sumą odpowiednich wariancji,
zatem w ten sam sposób n-ta suma będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią równą Σμi i wariancje Σσ2i
Sumy niezależnych zmiennych losowych Poissona
Jeśli mamy dwie niezależne zmienne losowe Poissona X i Y z parametrami λ1 i λ2 wtedy ich suma X + Y jest również zmienną losową Poissona lub rozkładem Poissona
ponieważ X i Y mają rozkład Poissona i możemy zapisać ich sumę jako sumę rozłącznych zdarzeń tzw
używając prawdopodobieństwa niezależnych zmiennych losowych
więc otrzymujemy sumę X + Y również z rozkładem Poissona ze średnią λ1 + λ2
Sumy niezależnych dwumianowych zmiennych losowych
Jeśli mamy dwie niezależne dwumianowe zmienne losowe X i Y z parametrami (n, p) i (m, p), to ich suma X + Y jest również zmienną losową dwumianową lub rozkładem dwumianowym z parametrem (n + m, p)
użyjmy prawdopodobieństwa sumy z definicją dwumianu jako
co daje
więc suma X + Y jest również rozkładem dwumianowym z parametrem (n + m, p).
Wnioski:
Pojęcie zmiennych losowych o rozkładzie łącznym, które dają rozkład porównawczy dla więcej niż jednej zmiennej w danej sytuacji, jest dodatkowo omówione podstawowe pojęcie niezależnej zmiennej losowej za pomocą rozkładu łącznego i sumy zmiennych niezależnych wraz z przykładem rozkładu podano za pomocą ich parametry, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj wspomniane książki. Więcej postów na temat matematyki kliknij tutaj.
Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma
Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH
