WPROWADZENIE
Co to jest matematyka? Czy to obliczenia? Czy to logika? Czy to symbole? Kino? Wykresy? Okazuje się, że to wszystko i wiele więcej. TO JEST JĘZYK. Uniwersalny język, mający swoje symbole, znaki, wyrażenia, słownictwo, gramatykę, wszystko, co czyni język, wszystko doskonale uzasadnione, niepowtarzalne i jednoznaczne w swoim znaczeniu. Jest to język, w którym zapisane są prawa wszechświata. Dlatego jest to język, którego musimy się nauczyć i zgłębiać, aby rozwikłać tajemnice przyrody. Od tej filozofii musimy rozpocząć dyskusję na jednym z najpiękniejszych i najbardziej podstawowych tematów matematycznych, TEORII FUNKCJI.
CZYM SĄ WYRAŻENIA, RÓWNANIA I TOŻSAMOŚCI?
Podobnie jak wszystkie dobrze zdefiniowane języki, matematyka ma własny zestaw symboli i znaków, numerycznych i alfabetycznych. Wyrażenie matematyczne to połączenie takich symboli i znaków. To wszystko zostanie w tym wyjaśnione teoria funkcji dyskusja.
5 + 2 / (9–3)
7a + 2b-3c
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)
To wszystko są wyrażenia matematyczne. Bez względu na to, czy można je ocenić, czy nie, czy są znaczące i jeśli mają odpowiednią składnię, są wyrażeniami.
Teraz, kiedy porównujemy dwa wyrażenia ze znakiem „=”, mamy coś takiego jak…
(1+x)2 = 1+2x+x2
Co jest wyrażeniem równości dwóch wyrażeń zapisanych po obu stronach znaku =. Zauważ, że ta równość jest prawdziwa dla wszystkich wartości x. Te rodzaje równości nazywane są TOŻSAMOŚCIAMI.
(1+x)2 = 2+3x+2x2…………..(1)
Albo jak
(1+x)2 = 7-3x+2x2…………(2)
Wtedy nie będą prawdziwe dla wszystkich wartości x, raczej byłyby prawdziwe dla niektórych wartości x, takich jak (2), lub byłyby prawdziwe dla NIE wartości x, takich jak (1). Nazywa się to RÓWNANIA.
Podsumowując, równości, które mają dla wszystkich wartości zmiennych, to TOŻSAMOŚCI. A równości, które zachowują się dla niektórych lub żadnych wartości zmiennych, to RÓWNANIA.
DLACZEGO POTRZEBUJEMY KONCEPCJI FUNKCJI?
Czy to nie dziwne, że wszechświat jest tak doskonale zrównoważony? System o tak ogromnych rozmiarach, złożony z tak wielu mniejszych systemów, z których każdy ma tak wiele oddziałujących ze sobą zmiennych, a jednocześnie tak dobrze się zachowywał. Czy nie wydaje się, że wszystkim rządzi zbiór reguł, niewidocznych, ale istniejących wszędzie? Weźmy przykład siły grawitacji. Jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między ciałami i tej reguły obowiązują wszystkie sprawy we wszechświecie. Musimy więc znaleźć sposób na wyrażenie takich reguł, takich jak połączenia między zmiennymi.
Otaczają nas takie zmienne, które zależą od innych zmiennych. Długość cienia budynku zależy od jego wysokości i pory dnia. Odległość pokonana przez samochód zależy od momentu obrotowego generowanego przez jego silnik. To właśnie koncepcja teorii funkcji pozwala nam matematycznie wyrazić takie relacje.
CO TO JEST FUNKCJA W MATEMATYCE?
Zasada funkcji lub FUNKCJA z zasady
Mówiąc prościej, funkcja to reguła wiążąca dwie lub więcej zmiennych. Jeśli zmienne mogą przyjmować tylko wartości rzeczywiste, jest to po prostu wyrażenie definiujące regułę lub zestaw reguł, które przypisują liczbę rzeczywistą do każdej z określonych liczb rzeczywistych.
Ta definicja z pewnością wymaga pewnych wyjaśnień, które są podane na przykładach takich jak
1. Reguła przypisując każdej liczbie sześcian tej liczby.
fa(x) = x3
2. Reguła przypisująca (x2-x-1)/x3 do każdego x
f(x) = (x2-x-1)/x3
3. Reguła przypisująca (x2-x-1)/(x2+ x + 1) do wszystkich x, które nie są równe 1 i liczbie od 0 do 1
f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) dla x ≠ 1
= 0 dla x = 1
- fa(x) = x2
dla -1 <x <π / 3
- Reguła przypisująca
Od 2 do 5
3 do numeru 8/3
π / 2 do numeru 1
i do reszty
- Reguła przypisująca liczbie x liczbę 1 w jej rozwinięciu dziesiętnym, jeśli liczba jest skończona, i 0, jeśli w rozwinięciu jest nieskończenie wiele jedynek.
Te przykłady powinny wyjaśnić jedną rzecz, że funkcja to dowolna reguła, która przypisuje liczby do określonych innych liczb. Reguły te nie zawsze dają się wyrazić przez sformułowanie algebraiczne. Mogą one nawet nie wskazywać na jeden unikalny warunek, który dotyczy wszystkich liczb. I nie musi to być reguła, którą można znaleźć w praktyce lub w realnym świecie, jak ta w regule 6. Nikt nie jest w stanie powiedzieć, jaką liczbę ta reguła przypisuje liczbie π czy √2. Reguła może również nie dotyczyć niektórych liczb. Na przykład reguła 2 nie ma zastosowania do x=0. Zbiór liczb, do którego odnosi się reguła, nazywa się DOMENĄ funkcji.
WIĘC CO OZNACZA y = f (x)?
Zauważ, że do napisania funkcji używamy wyrażenia y=f(x). Za każdym razem, gdy zaczynamy wyrażenie od „f(x) = y”, mamy na myśli, że mamy zamiar zdefiniować funkcję, która wiąże zbiór liczb ze zbiorem wartości zmiennej x.
FUNKCJA jako relacja
Innymi słowy, a być może w bardziej ogólnym sensie, funkcja jest relacją między dwoma zbiorami A i B, gdzie wszystkie elementy zbioru A mają przypisany element ze zbioru B. Elementy ze zbioru B nazywane są ZDJĘCIA a elementy zbioru A nazywane są OBRAZY WSTĘPNE.
Proces łączenia elementów nazywa się MAPOWANIE. Oczywiście może istnieć wiele sposobów wykonania tych mapowań, ale nie nazwalibyśmy ich wszystkich funkcjami. Tylko te odwzorowania, które wiążą elementy w taki sposób, że każdy element ze zbioru A ma dokładnie jeden obraz w zbiorze B, należy nazywać funkcjami. Czasami jest zapisywane jako f: A–> B. Należy to czytać jako „f jest funkcją od A do B”.
Zbiór A nazywa się DOMAIN funkcji, a zbiór B nazywa się WSPÓŁDOMENA funkcji. Jeśli f jest takie, że obrazem jednego elementu a zbioru A jest element b ze zbioru B, to piszemy f (a) = b, czytamy jako 'f z a jest równe b' lub 'b jest wartością f w a 'lub' b jest obrazem a pod f '.
RODZAJE FUNKCJI
Funkcje można sklasyfikować według sposobu, w jaki odnoszą się do dwóch zbiorów.
Jeden - jedna lub funkcja iniekcyjna
Liczba mówi wszystko. Dzieje się tak, gdy funkcja wiąże każdy element zestawu z unikalnym elementem innego zestawu, jest to funkcja jeden do jednego lub funkcja iniekcyjna.
Wiele - jedna funkcja
Ponownie, liczba ta jest dość oczywista. Najwyraźniej istnieje więcej niż jeden obraz wstępny do określonego obrazu. Stąd mapowanie jest wiele do jednego. Zauważ, że nie narusza to definicji funkcji, ponieważ żaden element ze zbioru A nie ma więcej niż jednego obrazu w zbiorze B.
Funkcja ONTO lub SURJECTIVE
Gdy wszystkie elementy zbioru B mają co najmniej jeden obraz wstępny, wówczas funkcja nazywa się Onto lub surjektywna. Na mapowanie może być jeden do jednego lub wiele do jednego. Ten przedstawiony powyżej jest ewidentnie wiele do jednego na mapowaniu. Zwróć uwagę, że obraz używany wcześniej do przedstawiania mapowania jeden do jednego jest również na mapowaniu. Ten rodzaj mapowania jeden do jednego jest również znany jako BIJEKTYWNY mapowanie.
Do funkcji
Jeśli istnieje co najmniej jeden obraz bez obrazu wstępnego, jest to funkcja INTO. Do funkcji może być jeden do jednego lub wiele do jednego. Ten przedstawiony powyżej jest oczywiście jeden do jednego.
WYKRES FUNKCJI
Jak powiedziano wcześniej, że funkcja przypisuje liczby rzeczywiste do pewnych liczb rzeczywistych, całkiem możliwe i wygodne jest wykreślenie pary liczb na płaszczyźnie XY kartezjańskiej. Ślad uzyskany przez połączenie punktów jest wykresem funkcji.
Rozważmy funkcję f(x) = x + 3. Następnie moglibyśmy obliczyć f(x) przy x=1,2,3, aby otrzymać trzy pary x i f(x) jako (1,4) , ( 3,6) i (5,8). Wykreślenie tych punktów i połączenie ich pokazuje, że funkcja kreśli linię prostą na płaszczyźnie xy. Ta linia jest wykresem funkcji.
Oczywiście charakter śladu będzie się różnił w zależności od wyrażenia dla funkcji. W ten sposób otrzymujemy szereg wykresów dla różnych rodzajów wyrażeń. Kilka zostało podanych.
Wykresy f(x) = sin x, f(x) = x2 i f(x) = ex od lewej do prawej
W tym momencie widać, że wyrażenie funkcji faktycznie wygląda jak równanie. I to prawda, na przykład y = x + 3 jest rzeczywiście równaniem, a także definicją funkcji. To nasuwa nam pytanie, czy wszystkie funkcje równania? Jeśli nie wtedy
Jak sprawdzić, czy równanie jest funkcją?
Wszystkie równania przedstawione na wcześniejszych wykresach są w rzeczywistości funkcjami, ponieważ dla wszystkich z nich istnieje dokładnie jedna wartość f(x) lub y dla pewnej wartości x. Oznacza to, że wyrażenie f(x) powinno dać tylko jedną wartość, gdy zostanie ocenione dla dowolnej wartości x. Dotyczy to każdego równania liniowego. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę równanie y2 = 1-x2, okazuje się, że zawsze istnieją dwa rozwiązania dla wszystkich x w zakresie od 0 do 1, innymi słowy, do każdej wartości x w jej zakresie przypisywane są dwa obrazy. Narusza to definicję funkcji i dlatego nie można go nazwać funkcją.
Z wykresu powinno jasno wynikać, że istnieją dokładnie dwa obrazy każdego x, ponieważ pionowa linia narysowana w dowolnym punkcie osi x przecina wykres dokładnie w dwóch punktach.
To prowadzi nas do jednego ważnego wniosku nie wszystkie równania są funkcjami. A to, czy równanie jest funkcją, można sprawdzić za pomocą test linii pionowej, który po prostu wyobraża sobie zmienną pionową linię w każdym punkcie na osi x i sprawdza, czy styka się ona z wykresem w jednym punkcie.
To również odpowiada na inne ważne pytanie, jak sprawdzić, czy funkcja jest jeden do jednego? Z pewnością ta odpowiedź jest również na wykresie i można ją zweryfikować za pomocą testu linii pionowej.
Można by teraz zapytać, czy istnieje sposób, aby powiedzieć to samo bez uzyskiwania wykresu lub czy można to powiedzieć algebraicznie, ponieważ rysowanie wykresów funkcji nie zawsze jest łatwe. Cóż, odpowiedź brzmi: tak, można to zrobić po prostu testując f(a)=f(b) implikuje a=b. Oznacza to, że nawet jeśli f(x) przyjmuje tę samą wartość dla dwóch wartości x, to te dwie wartości x nie mogą być różne. Weźmy przykład funkcji
y = (x-1) / (x-2)
Jak można zauważyć, trudno jest wykreślić wykres tej funkcji, ponieważ ma ona charakter nieliniowy i nie pasuje do opisu żadnej znanej krzywej, a ponadto nie jest zdefiniowana przy x = 2. Tak więc ten problem zdecydowanie wymaga innego podejścia niż test linii pionowej.
Więc zaczynamy od pozwolenia
f (a) = f (b)
=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)
=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)
=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2
=> 2a + b = 2b + a
=> 2 (ab) = (ab)
Jest to możliwe tylko dla a-b=0 lub a=b
Tak więc funkcja jest rzeczywiście jeden do jednego i udowodniliśmy to bez tworzenia wykresów.
Teraz chcielibyśmy zobaczyć, kiedy jakaś funkcja nie przejdzie tego testu. Możemy chcieć przetestować równanie koła, które testowaliśmy wcześniej. Zaczynamy od pisania
f (a) = f (b)
fa(x) = x2
=> a2=b2
a2 =b2
=> a = b lub a = -b
Co po prostu oznacza, że istnieją rozwiązania inne niż a = b, stąd f (x) nie jest funkcją.
CZY WYKRYWANIE JEST TAK TRUDNE y = (x-1) / (x-2)?
O wiele bardziej szczegółowo omówimy tworzenie wykresów funkcji w kolejnych artykułach, ale tutaj konieczne jest zapoznanie się z podstawami tworzenia wykresów, ponieważ bardzo pomaga to w rozwiązywaniu problemów. Wizualna interpretacja problemu rachunku różniczkowego często sprawia, że problem jest bardzo łatwy, a wiedza o tym, jak narysować wykres funkcji, jest kluczem do dobrej interpretacji wizualnej.
Zatem, aby wykreślić wykres (x-1)/(x-2), zaczynamy od kilku krytycznych obserwacji, takich jak
1. Funkcja staje się 0 przy x = 1.
2. Funkcja staje się niezdefiniowana przy x = 2.
3. Funkcja jest dodatnia wszędzie z wyjątkiem 1
Ponieważ w tym przedziale (x-1) jest dodatnie, a (x-2) jest ujemne, powoduje to, że ich stosunek jest ujemny.
4. Gdy x dąży do -∞, funkcja zbliża się do jedności od dolnej strony, co oznacza, że zbliża się do 1, ale zawsze jest mniejsza niż 1.
Ponieważ dla x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 as | x | +2> | x | +1
5. Gdy x dąży do + ∞, funkcja zbliża się do jedności z górnej strony, co oznacza, że zbliża się do 1, ale zawsze jest większa niż 1.
6. Gdy x idzie do 2 z lewej strony, funkcja idzie do -∞.
7. Gdy x idzie do 2 z prawej strony, funkcja idzie do + ∞.
8. Funkcja zawsze maleje dla x> 2.
DOWÓD:
Bierzemy dwie bliskie wartości x jako (a, b) takie, że (a, b)> 2 i b> a
teraz, f (b) - f (a)
= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)
={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)
= (ab) / {(a-2) (b-2)}
<0 as (ab) <0 dla b> a
i (a-2) (b-2)> 0 jako (a, b)> 2
To implikuje f (b) 2, innymi słowy, f (x) ściśle maleje dla x> 2
- 9. Funkcja zawsze maleje dla x <2
- DOWÓD: taki sam jak poprzednio. Zostawiamy Ci to, abyś spróbował.
Połączenie tych obserwacji sprawia, że tworzenie wykresów jest dość łatwe. Łącząc 4,9 i 6 możemy powiedzieć, że gdy x przechodzi od -∞ do 2, ślad zaczyna się od jedności i stopniowo opada, aby dotknąć 0 przy x = 1 i opada dalej do -∞ przy x = 2. Ponownie łącząc 7,5 i 8 łatwo zauważyć, że gdy x przechodzi od 2 do + ∞, ślad zaczyna spadać od + ∞ i zbliża się do jedności, nigdy tak naprawdę go nie dotykając.
To sprawia, że wygląda pełny wykres
Teraz staje się jasne, że ta funkcja jest rzeczywiście jeden do jednego.
WNIOSEK
Do tej pory omawialiśmy podstawy teorii funkcji. Powinniśmy teraz mieć jasność co do definicji i typów funkcji. Mieliśmy też mały pomysł na graficzną interpretację funkcji. W następnym artykule omówimy bardziej szczegółowo pojęcia takie jak zakres i dziedzina, funkcje odwrotne, różne funkcje i ich wykresy, a także wiele opracowanych problemów. Aby zagłębić się w studium, zachęcamy do lektury
Calculus autorstwa Michaela Spivaka.
Algebra autorstwa Michaela Artina.
Więcej artykułów matematycznych kliknij tutaj.
Zespół TechieScience Core MŚP to grupa doświadczonych ekspertów merytorycznych z różnych dziedzin nauki i techniki, w tym fizyki, chemii, technologii, elektroniki i elektrotechniki, motoryzacji, inżynierii mechanicznej. Nasz zespół współpracuje przy tworzeniu wysokiej jakości, dobrze udokumentowanych artykułów na szeroki zakres tematów naukowych i technologicznych dla witryny TechieScience.com.
Wszystkie nasze starsze MŚP mają ponad 7-letnie doświadczenie w odpowiednich dziedzinach. Są to albo pracujący profesjonaliści z branży, albo związani z różnymi uniwersytetami. Wspominać Nasi autorzy Strona, na której można poznać nasze podstawowe MŚP.
