Jak znaleźć stałe przyspieszenie kątowe: problemy i przykłady

by

Przyspieszenie kątowe to kluczowe pojęcie w ruchu obrotowym, opisujące, jak szybko prędkość kątowa obiektu zmienia się w czasie. W tym poście na blogu przyjrzymy się, jak znaleźć stałe przyspieszenie kątowe, które występuje, gdy przyspieszenie kątowe pozostaje takie samo przez cały czas ruchu. Omówimy wzory, etapy obliczeń i przedstawimy opracowane przykłady, które pomogą Ci zrozumieć i skutecznie zastosować tę koncepcję.

Jak obliczyć stałe przyspieszenie kątowe

Wzór na stałe przyspieszenie kątowe

Aby obliczyć stałe przyspieszenie kątowe, możemy skorzystać z następującego wzoru:

\alpha = \frac{{\Delta \omega}}{{\Delta t}}

Gdzie:
- \ alpha reprezentuje stałe przyspieszenie kątowe,
- \Delta \omega jest zmianą prędkości kątowej, oraz
- \Delta t jest zmiana czasu.

Kroki do obliczenia stałego przyspieszenia kątowego

jak znaleźć stałe przyspieszenie kątowe
Image by CDang – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, na licencji CC0.

Poniższe kroki opisują sposób obliczania stałego przyspieszenia kątowego:

  1. Określ początkową prędkość kątową (\omega_i) i końcowa prędkość kątowa (\omega_f).
  2. Określ czas początkowy (t_i) i czas końcowy (t_f).
  3. Oblicz zmianę prędkości kątowej (\Delta \omega) odejmując początkową prędkość kątową od końcowej prędkości kątowej: \Delta \omega = \omega_f - \omega_i.
  4. Oblicz zmianę w czasie (\Delta t) odejmując czas początkowy od czasu końcowego: \Delta t = t_f - t_i.
  5. Użyj wspomnianego wcześniej wzoru na stałe przyspieszenie kątowe, aby znaleźć wartość przyspieszenia kątowego (\ alpha) dzieląc zmianę prędkości kątowej przez zmianę czasu: \alpha = \frac{{\Delta \omega}}{{\Delta t}}.

Rozpracowany przykład: Obliczanie stałego przyspieszenia kątowego

Rozważmy przykład ilustrujący sposób obliczania stałego przyspieszenia kątowego.

Załóżmy, że dysk rusza ze stanu spoczynku i po 20 sekundach obraca się z prędkością kątową 5 rad/s. Musimy znaleźć stałe przyspieszenie kątowe.

Dany:
– Początkowa prędkość kątowa (\omega_i) = 0 rad/s
– Końcowa prędkość kątowa (\omega_f) = 20 rad/s
– Czas początkowy (t_i) = 0 sek
- Czas końcowy (t_f) = 5 sek

Krok 1: Określ zmianę prędkości kątowej:
\Delta \omega = \omega_f - \omega_i = 20 - 0 = 20 \, \text{rad/s}

Krok 2: Określ zmianę w czasie:
\Delta t = t_f - t_i = 5 - 0 = 5 \, \text{s}

Krok 3: Oblicz stałe przyspieszenie kątowe:
\alpha = \frac{{\Delta \omega}}{{\Delta t}} = \frac{{20}}{{5}} = 4 \, \text{rad/s}^2

Zatem stałe przyspieszenie kątowe dysku wynosi 4 rad/s^2.

Jak określić przyspieszenie kątowe na podstawie prędkości kątowej

Związek między prędkością kątową a przyspieszeniem kątowym

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe są ze sobą ściśle powiązane. Jeżeli przyspieszenie kątowe jest stałe, możemy je wyznaczyć na podstawie początkowej i końcowej prędkości kątowej oraz czasu potrzebnego na to przyspieszenie.

Zależność między prędkością kątową (\ omega), przyspieszenie kątowe (\ alpha), i czas (t) można opisać równaniem:

\omega_f = \omega_i + \alfa t

Gdzie:
- \omega_i i \omega_f są odpowiednio początkową i końcową prędkością kątową,
- \ alpha jest stałym przyspieszeniem kątowym, oraz
- t to czas.

Kroki wyznaczania przyspieszenia kątowego na podstawie prędkości kątowej

jak znaleźć stałe przyspieszenie kątowe

Image by Pradana Aumars – Wikimedia Commons, Wikimedia Commons, na licencji CC0.

Aby określić przyspieszenie kątowe na podstawie prędkości kątowej, wykonaj następujące kroki:

  1. Zidentyfikuj początkową prędkość kątową (\omega_i), końcowa prędkość kątowa (\omega_f), i czas (t).
  2. Podstaw podane wartości do równania \omega_f = \omega_i + \alfa t.
  3. Zmień układ równania, aby obliczyć przyspieszenie kątowe (\ alpha): \alpha = \frac{{\omega_f - \omega_i}}{{t}}.

Rozpracowany przykład: wyznaczanie przyspieszenia kątowego na podstawie prędkości kątowej

Przeanalizujmy przykład, aby zrozumieć, jak znaleźć przyspieszenie kątowe na podstawie prędkości kątowej.

Załóżmy, że koło startuje z początkową prędkością kątową 10 rad/s i osiąga końcową prędkość kątową 30 rad/s w ciągu 5 sekund. Chcemy wyznaczyć przyspieszenie kątowe.

Dany:
– Początkowa prędkość kątowa (\omega_i) = 10 rad/s
– Końcowa prędkość kątowa (\omega_f) = 30 rad/s
- Czas (t) = 5 sek

Krok 1: Skorzystaj z równania \omega_f = \omega_i + \alfa t z podanymi wartościami:
30 = 10 + \ alpha × 5

Krok 2: Zmień układ równania, które chcesz rozwiązać \ alpha:
\alpha = \frac{{\omega_f - \omega_i}}{{t}} = \frac{{30 - 10}}{{5}} = 4 \, \text{rad/s}^2

Zatem przyspieszenie kątowe koła wynosi 4 rad/s^2.

Zrozumienie, jak znaleźć stałe przyspieszenie kątowe, jest niezbędne do analizy ruchu obrotowego. Korzystając ze wzoru na stałe przyspieszenie kątowe i zależności między prędkością kątową a przyspieszeniem kątowym, można wyznaczyć przyspieszenie kątowe obiektu. Pamiętaj, aby postępować zgodnie z omówionymi przez nas krokami i wykorzystywać podane wzory podczas rozwiązywania problemów związanych ze stałym przyspieszeniem kątowym. Poćwicz stosowanie tych koncepcji na różnych przykładach, a wkrótce osiągniesz biegłość w obliczaniu i rozumieniu stałego przyspieszenia kątowego.

Jak można zastosować koncepcję stałego przyspieszenia kątowego do obliczenia przyspieszenia kątowego koła?

Proces wyznaczania przyspieszenia kątowego koła wymaga zrozumienia pojęcia stałego przyspieszenia kątowego. Analizując ruch kątowy koła i biorąc pod uwagę takie czynniki, jak jego promień i przyspieszenie liniowe, można wyznaczyć przyspieszenie kątowe. Szczegółowy przewodnik na temat wyznaczania przyspieszenia kątowego koła można znaleźć w artykule na temat Znalezienie przyspieszenia kątowego koła.

Zadania numeryczne dotyczące wyznaczania stałego przyspieszenia kątowego

stałe przyspieszenie kątowe 2

Problem 1:

stałe przyspieszenie kątowe 1

Koło rusza ze stanu spoczynku i przyspiesza ze stałym przyspieszeniem kątowym 2 rad/s^2 przez okres 5 sekund. Znajdź prędkość kątową koła na końcu przedziału czasu.

Rozwiązanie:

Dany:
Początkowa prędkość kątowa, \omega_i = 0 rad / s
Przyspieszenie kątowe, \alfa = 2 rad/s^2
Czas, t = 5 s

Korzystając ze wzoru na prędkość kątową przy stałym przyspieszeniu kątowym:

[\omega_f = \omega_i + \alfa \cdot t]

Podstawiając podane wartości:

[\omega_f = 0 + 2 \cdot 5]

Upraszczając:

[\omega_f = 10 \text{ rad/s}]

Zatem prędkość kątowa koła na końcu przedziału czasu wynosi 10 rad/s.

Problem 2:

Bączek zaczyna się od spoczynku i przyspiesza ze stałym przyspieszeniem kątowym 1.5 rad/s^2. Jeżeli osiągnięcie przez górę określonej prędkości kątowej zajmuje 8 sekund, znajdź końcową prędkość kątową.

Rozwiązanie:

Dany:
Początkowa prędkość kątowa, \omega_i = 0 rad / s
Przyspieszenie kątowe, \alfa = 1.5 rad/s^2
Czas, t = 8 s

Korzystając ze wzoru na prędkość kątową przy stałym przyspieszeniu kątowym:

[\omega_f = \omega_i + \alfa \cdot t]

Podstawiając podane wartości:

[\omega_f = 0 + 1.5 \cdot 8]

Upraszczając:

[\omega_f = 12 \text{ rad/s}]

Zatem końcowa prędkość kątowa bączka wynosi 12 rad/s.

Problem 3:

stałe przyspieszenie kątowe 3

Koło zamachowe rusza ze stanu spoczynku i przyspiesza ze stałym przyspieszeniem kątowym 4 rad/s^2. Jeżeli przemieszczenie kątowe koła zamachowego w pewnym przedziale czasu wynosi 10 radianów, znajdź ten przedział czasu.

Rozwiązanie:

Dany:
Początkowa prędkość kątowa, \omega_i = 0 rad / s
Przyspieszenie kątowe, \alfa = 4 rad/s^2
przemieszczenie kątowe, \teta = 10 radianów

Korzystając ze wzoru na przemieszczenie kątowe przy stałym przyspieszeniu kątowym:

[\theta = \omega_i \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2]

Przekształcanie równania:

[\frac{1}{2} \alfa \cdot t^2 + \omega_i \cdot t - \theta = 0]

Podstawiając podane wartości:

[\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot t^2 + 0 \cdot t - 10 = 0]

Upraszczając:

[2t^2 - 10 = 0]

Znajdujemy rozwiązanie równania kwadratowego t = \pm \sqrt{5}

Ponieważ czas nie może być ujemny, przedział czasu wynosi:

[t = \sqrt{5} \text{s}]

Dlatego przedział czasu, w którym koło zamachowe musi pokonać przemieszczenie kątowe wynoszące 10 radianów, jest w przybliżeniu \sqrt{5} towary drugiej jakości.

Przeczytaj także:

     

Zostaw komentarz