Wielomian Hermita: 9 pełnych szybkich faktów

  Wielomian Hermite'a jest powszechnie stosowany w zastosowaniach jako funkcja ortogonalna. Wielomian Hermite’a jest rozwiązaniem szeregowym równania różniczkowego Hermite’a.

Równanie Hermite'a

    Równanie różniczkowe drugiego rzędu o określonych współczynnikach as

d²r/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

jest znane jako równanie Hermite'a, rozwiązując to równanie różniczkowe otrzymamy wielomian, który jest Wielomian Hermita.

Znajdźmy rozwiązanie równania

d²r/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

za pomocą szeregowego rozwiązania równania różniczkowego

teraz podstawiając wszystkie te wartości w równaniu Hermite'a, które mamy

Równanie to spełnia dla wartości k=0 i jak założyliśmy wartość k nie będzie ujemna, teraz dla członu x o najniższym stopniu^M-2 przyjmij k=0 w pierwszym równaniu, ponieważ drugie daje wartość ujemną, więc współczynnik x^M-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

jak₀ 0

teraz w ten sam sposób przyrównując współczynnik x^M-1 z drugiego podsumowania

i zrównanie współczynników x^m+k do zera,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

możemy to napisać jako

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) a_k

jeśli m=0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) a_k

jeśli m=1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) za_k

dla tych dwóch przypadków teraz omówimy przypadki dla k

Gdy $m=0, a_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} a_k$

Jeśli $k=0 a₂ =-2 n/2 za₀=-na₀$

$k=1, a₃=2(1-n)/6 za₁ =-2(n-1)/3! a₁$

Jeśli $k=2, a₄ =2(2-n)/12 za₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4 ! A₀$

jak dotąd m=0 mamy dwa warunki, gdy a₁=0, to a₃=a₅=a₇=….=a_2r+1=0 i kiedy a₁ to nie jest zero

podążając za tym, umieść wartości a₀,a₁,a₂,a₃,a₄ oraz₅ mamy

a dla m=1 a₁=0 stawiając k=0,1,2,3,….. otrzymujemy

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

więc rozwiązaniem będzie

więc kompletne rozwiązanie to

gdzie A i B są dowolnymi stałymi

Wielomian Hermita

   Rozwiązanie równania Hermite'a ma postać y(x)=Ay₁(x)+O₂(x) gdzie y₁(x) i y₂(x) są terminami serii, jak omówiono powyżej,

jeden z tych szeregów kończy się, jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą, jeśli n jest parzyste y₁ kończy się inaczej y₂ jeśli n jest nieparzyste i możemy łatwo sprawdzić, że dla n=0,1,2,3,4….. te wielomiany są

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

więc możemy tutaj powiedzieć, że rozwiązaniem równania Hermite'a są stałe wielokrotności tych wielomianów, a wyrazy zawierające największą potęgę x mają postać 2ⁿxⁿ oznaczony przez H_n(x) jest znany jako Wielomian Hermite

Funkcja tworząca wielomianu Hermite'a

Wielomian Hermite'a zwykle definiowany za pomocą relacji wykorzystującej funkcję generującą

[n/2] jest największą liczbą całkowitą mniejszą lub równą n/2, więc ma wartość H_n(x) as

to pokazuje że H_n(x) jest wielomianem stopnia n w x i

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_n-2 (x)

gdzie π_n-2 (x) jest wielomianem stopnia n-2 w x i będzie parzystą funkcją x dla parzystej wartości n i nieparzystą funkcją x dla nieparzystej wartości n, więc

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(x)

niektóre z początkowych wielomianów Hermite'a to

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² - 2

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+ 12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Funkcja generowania wielomianu Hermite'a według wzoru Rodrigue

Wielomian Hermite'a można również zdefiniować za pomocą wzoru Rodrigue'a za pomocą funkcji generowania

od relacji funkcji generującej

  Korzystając z twierdzenia Maclaurina, mamy

or

przez umieszczenie z=xt i

dla t=0,więc z=x daje

możemy to pokazać w inny sposób, jak

różnicowanie

w odniesieniu do t daje

przyjmowanie limitu t dąży do zera

teraz różniczkowanie względem x

przyjmowanie limitu t dąży do zera

z tych dwóch wyrażeń możemy napisać

w ten sam sposób, w jaki możemy pisać

 różniczkując n razy kładziemy t=0, otrzymujemy

z tych wartości możemy napisać

z nich możemy uzyskać wartości

Przykład na wielomianu Hermite'a           

1. Znajdź wielomian zwyczajny

Rozwiązanie: korzystając z definicji wielomianu Hermite'a i relacji, które mamy

2. Znajdź wielomian Hermite'a wielomianu zwykłego

Rozwiązanie: dane równanie możemy przekonwertować na Hermite'a jako

i z tego równania przyrównując ten sam współczynnik potęgi

stąd wielomian Hermite'a będzie

Ortogonalność wielomianu Hermite'a | Ortogonalna własność wielomianu Hermite'a

Ważną cechą wielomianu Hermite'a jest jego ortogonalność, która stwierdza, że

Aby udowodnić tę ortogonalność, przypomnijmy, że:

która jest funkcją generującą dla wielomianu Hermite'a i wiemy

więc mnożąc te dwa równania otrzymamy

mnożenie i integrowanie w nieskończonych granicach

i od tego czasu

so

używając tej wartości w powyższym wyrażeniu mamy

co daje

teraz zrównaj współczynniki po obu stronach

który pokazuje ortogonalną własność wielomianu Hermite'a.

  Wynik własności ortogonalnej wielomianu Hermite'a można przedstawić w inny sposób, biorąc pod uwagę relację rekurencyjności

Przykład ortogonalności wielomianu Hermite'a

1. Oceń całkę

Rozwiązanie: Wykorzystując własność ortogonalności wielomianu pustelnika

ponieważ wartości tutaj to m=3 i n=2 więc

2. Oceń całkę

Rozwiązanie: Korzystając z własności ortogonalności wielomianu Hermite'a możemy napisać

Relacje rekurencyjne wielomianu Hermite'a

Wartość wielomianu Hermite'a można łatwo określić za pomocą relacji rekurencyjnych

Relacje te można łatwo uzyskać za pomocą definicji i właściwości.

Dowody:1. Znamy równanie Hermite'a

y”-2xy'+2ny = 0

i relacja

biorąc częściowo zróżnicowanie względem x, możemy zapisać to jako

z tych dwóch równań

teraz zastąp n przez n-1

przez zrównanie współczynnika tⁿ

więc wymagany wynik to

2. W podobny sposób różnicując częściowo względem t równanie

mamy

n=0 zniknie, więc umieszczając tę ​​wartość e

teraz zrównując współczynniki tⁿ

a zatem

3. Aby udowodnić ten wynik, wyeliminujemy H_n-1 od

i

więc dostajemy

w ten sposób możemy zapisać wynik

4. Aby udowodnić ten wynik, różnicujemy

otrzymujemy relację

podstawiając wartość

i zastępując n przez n+1

co daje

Przykłady relacji rekurencyjnych wielomianu Hermite'a

1. Pokaż, że

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Rozwiązanie:

Aby pokazać wynik, który mamy

H2n(x) =

biorąc x=0 tutaj otrzymujemy

2. Pokaż, że

H'_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Rozwiązanie:

Ponieważ z relacji nawrotu

H'_n(x) = 2nH_n-1(X)

tutaj zastąp n przez 2n+1 więc

H'_2n-1(x) = 2(2n+1)H_2n(x)

biorąc x=0

3. Znajdź wartość

H_{2n + 1}(0)

Rozwiązanie

Odkąd wiemy

użyj tutaj x=0

H_2n-1(0) = 0

4. Znajdź wartość H'_2n(0).

Rozwiązanie :

mamy relację nawrotów

H'_n(x) = 2nH_n-1(x)

tutaj zastąp n przez 2n

H'_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(x)

umieść x=0

H'_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Pokaż następujący wynik

Rozwiązanie :

Korzystanie z relacji rekurencyjnej

H'_n(x) = 2nH_n-1 (x)

so

i

d³/ dx³ {H_n(x)} = 2³n(n-1)(n-2)H_n-3(x)

różnicując to m razy

co daje

6. Pokaż, że

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(x)

Rozwiązanie :

możemy pisać

ze współczynnika tⁿ mamy

i dla -x

7. Oceń całkę i pokaż

Rozwiązanie : Aby rozwiązać tę całkę, użyj części całkujących jako

Teraz różniczkowanie pod znakiem całki różniczkuje z

względem x

za pomocą

H'_n(x) = 2_nH_n-1 (x)

i

H'_m(x) = 2 mH_M-1 (x)

mamy

i od tego czasu

???? _n,m-1 = ????_{n+1, m}

więc wartość całki będzie

Wnioski:

Specyficznym wielomianem, który często występuje w aplikacji, jest wielomian Hermite'a, więc podstawowa definicja, funkcja generująca, relacje powtarzania i przykłady związane z wielomianem Hermite'a zostały omówione w skrócie tutaj , jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Aby uzyskać więcej postów o matematyce, śledź nasze Strona matematyki

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.