Dystrybucja gamma: 7 ważnych właściwości, które powinieneś wiedzieć

Dystrybucja gamma

Jedną z ciągłych zmiennych losowych i ciągłych dystrybucji jest rozkład Gamma.Jak wiemy, że ciągła zmienna losowa dotyczy wartości ciągłych lub przedziałów, tak samo jest z rozkładem Gamma z określoną funkcją gęstości prawdopodobieństwa i funkcją masy prawdopodobieństwa, w kolejnej dyskusji, którą omówimy w wyszczególnij koncepcję, właściwości i wyniki z przykładami zmiennej losowej gamma i rozkładu gamma.

Zmienna losowa Gamma lub rozkład Gamma | co to jest rozkład gamma | zdefiniuj rozkład gamma | Funkcja gęstości rozkładu gamma | Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu gamma | dowód dystrybucji gamma

Ciągła zmienna losowa z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

wiadomo, że jest zmienną losową Gamma lub rozkładem Gamma, gdzie α> 0, λ> 0 i funkcja gamma

mamy bardzo częstą właściwość funkcji gamma przez całkowanie przez części jako

Jeśli będziemy kontynuować proces zaczynając od n, wtedy

i wreszcie wartość gamma jeden będzie

w ten sposób wartość będzie

cdf dystrybucji gamma | skumulowany rozkład gamma | integracja dystrybucji gamma

Podróż Ruta de la Plata w liczbach komulatywna dystrybucja funkcja (cdf) zmiennej losowej gamma lub po prostu funkcja rozkładu zmiennej losowej gamma jest taka sama jak ciągłej zmiennej losowej pod warunkiem, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest inna, tj.

tutaj funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest taka, jak zdefiniowano powyżej dla rozkładu gamma, skumulowaną funkcję dystrybucji możemy również zapisać jako

w obu powyższych formatach wartość pdf jest następująca

gdzie α> 0, λ> 0 to liczby rzeczywiste.

Wzór na rozkład gamma | wzór na rozkład gamma | równanie rozkładu gamma | Wyprowadzenie rozkładu gamma

Aby znaleźć prawdopodobieństwo dla zmiennej losowej gamma, musimy użyć funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla różnych danych α> 0, λ> 0

i korzystając z powyższego pliku pdf rozkład zmiennej losowej gamma, który możemy uzyskać przez

W związku z tym formuła rozkładu gamma wymaga wartości pdf i limitów zmiennej losowej gamma zgodnie z wymaganiami.

Przykład rozkładu gamma

pokaż, że całkowite prawdopodobieństwo dla rozkład gamma jest jednością o danej funkcji gęstości prawdopodobieństwa ie

dla λ> 0, α> 0.
Rozwiązanie:
używając wzoru na rozkład gamma

ponieważ funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu gamma wynosi

która wynosi zero dla wszystkich wartości mniejszych od zera, więc prawdopodobieństwo będzie teraz

używając definicji funkcji gamma

i otrzymujemy substytucję

a zatem

Średnia i wariancja rozkładu gamma | oczekiwanie i wariancja rozkładu gamma | wartość oczekiwana i wariancja rozkładu gamma | Średni rozkład gamma | oczekiwana wartość rozkładu gamma | oczekiwanie dystrybucji gamma

W poniższej dyskusji znajdziemy średnią i wariancję dla rozkładu gamma za pomocą standardowych definicji oczekiwań i wariancji ciągłych zmiennych losowych,

Oczekiwana wartość lub średnia ciągłej zmiennej losowej X z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

lub zmienna losowa Gamma X będzie

średnia dowód rozkładu gamma | oczekiwana wartość dowodu na rozkład gamma

Aby uzyskać oczekiwaną wartość lub średnią rozkładu gamma, będziemy postępować zgodnie z definicją i właściwością funkcji gamma,
po pierwsze przez definicję oczekiwania ciągłej zmiennej losowej i funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej gamma, którą mamy

poprzez anulowanie wspólnego czynnika i użycie definicji funkcji gamma

teraz, gdy mamy właściwość funkcji gamma

wartość oczekiwań będzie

tak więc średnia lub oczekiwana wartość zmiennej losowej gamma lub rozkładu gamma, które otrzymujemy, wynosi

wariancja rozkładu gamma | wariancja rozkładu gamma

Wariancja dla zmiennej losowej gamma o zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

lub wariancja rozkładu gamma

wariancja dowodu rozkładu gamma

Jak wiemy, wariancja jest różnicą oczekiwanych wartości jako

dla rozkładu gamma mamy już wartość średniej

Teraz najpierw obliczmy wartość E [X²], a więc z definicji oczekiwania na ciągłą zmienną losową, którą mamy
ponieważ funkcja f (x) jest funkcją rozkładu prawdopodobieństwa rozkładu gamma jako

więc całka będzie wynosić tylko od zera do nieskończoności

więc z definicji funkcji gamma możemy napisać

Zatem korzystając z własności funkcji gamma otrzymaliśmy wartość jako

Teraz podaj wartość tych oczekiwań

tak więc wartość wariancji rozkładu gamma lub zmiennej losowej gamma wynosi

Parametry rozkładu gamma | dwuparametrowy rozkład gamma | 2 zmienny rozkład gamma

Rozkład Gamma z parametrami λ> 0, α> 0 i funkcją gęstości prawdopodobieństwa

ma parametry statystyczne średniej i wariancji jako

oraz

ponieważ λ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, aby uprościć i ułatwić obsługę, innym sposobem jest ustawienie λ = 1 / β, więc daje to funkcję gęstości prawdopodobieństwa w postaci

w skrócie, funkcję dystrybucji lub dystrybuantę dla tej gęstości możemy wyrazić jako

ta funkcja gęstości gamma daje średnią i wariancję jako

i

co jest oczywiste po podstawieniu.
Obie drogi są powszechnie używane albo z rozkładem gamma z parametrem α i λ oznaczonym przez gamma (α, λ) lub rozkład gamma z parametrami β i λ oznaczonymi przez gamma (β, λ) z odpowiednimi parametrami statystycznymi średnią i wariancją w każdej z postaci.
Obie są niczym innym, jak tym samym.

Wykres rozkładu gamma | wykres rozkładu gamma | Histogram rozkładu gamma

Charakter rozkładu gamma możemy łatwo zwizualizować za pomocą wykresu dla niektórych określonych wartości parametrów, tutaj rysujemy wykresy dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa i funkcji gęstości skumulowanej dla niektórych wartości parametrów
weźmy funkcję gęstości prawdopodobieństwa jako

wtedy skumulowana funkcja dystrybucji będzie

Opis: wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty skumulowanej poprzez ustalenie wartości alfa na 1 i zmianę wartości beta.

Opis: wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty skumulowanej poprzez ustalenie wartości alfa jako 2 i zmianę wartości beta

Opis: wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty skumulowanej poprzez ustalenie wartości alfa jako 3 i zmianę wartości beta

Opis: wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i skumulowaną funkcję dystrybucji przez ustalenie wartości beta jako 1 i zmianę wartości alfa

Opis: wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty skumulowanej poprzez ustalenie wartości beta na 2 i zmianę wartości alfa

Opis: wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty skumulowanej poprzez ustalenie wartości beta na 3 i zmianę wartości alfa.

Generalnie różne krzywe jak dla zmienności alfa

Tabela dystrybucji gamma | standardowa tabela rozkładu gamma

Wartość liczbowa funkcji gamma

znane jako niepełne wartości liczbowe funkcji gamma, jak następuje

Wartość liczbowa rozkładu gamma do szkicowania wykresu funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanty skumulowanej dla niektórych wartości początkowych są następujące

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	P (x), α = 1, β = 1	P (x), α = 2, β = 2	P (x), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

znajdowanie alfa i beta dla dystrybucji gamma | jak obliczyć alfa i beta dla rozkładu gamma | estymacja parametrów rozkładu gamma

Aby uzyskać rozkład gamma, znajdując alfa i beta, weźmiemy średnią i wariancję rozkładu gamma

i

teraz otrzymamy wartość beta jako

so

i

a zatem

biorąc tylko niektóre ułamki z rozkładu gamma, otrzymamy wartości alfa i beta.

problemy z dystrybucją gamma i rozwiązania | przykładowe problemy z rozkładem gamma | samouczek dotyczący dystrybucji gamma | pytanie o dystrybucję gamma

1. Rozważmy czas potrzebny do rozwiązania problemu dla klienta to gamma rozłożona w godzinach ze średnią 1.5 i wariancją 0.75, co byłoby prawdopodobieństwo, że problem czas rozwiązania przekracza 2 godziny, jeśli czas przekracza 2 godziny, jakie jest prawdopodobieństwo, że problem zostanie rozwiązany w ciągu co najmniej 5 godzin.

rozwiązanie: ponieważ zmienna losowa ma rozkład gamma ze średnią 1.5 i wariancją 0.75, więc możemy znaleźć wartości alfa i beta i przy pomocy tych wartości prawdopodobieństwo będzie

P (X> 2) = 13e^-4= 0.2381

i

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e^-6= 0.011631

2. Jeśli negatywna informacja zwrotna w tygodniu od użytkowników jest modelowana w rozkładzie gamma z parametrami alfa 2 i beta jako 4 po 12 tygodniach negatywnej opinii po zmianie jakości, czy na podstawie tych informacji restrukturyzacja może poprawić wydajność?

rozwiązanie: Ponieważ jest to modelowane w rozkładzie gamma z α = 2, β = 4

znajdziemy średnią i odchylenie standardowe jako μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

ponieważ wartość X = 12 mieści się w zakresie odchylenia standardowego od średniej, więc nie możemy powiedzieć, że jest to poprawa, czy też nie, poprzez restrukturyzację jakości, aby udowodnić, że poprawa spowodowana przez podane informacje dotyczące restrukturyzacji jest niewystarczająca.

3. Niech X będzie rozkład gamma z parametrami α=1/2, λ=1/2 , znajdź funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla funkcji Y=Pierwiastek kwadratowy z X

Rozwiązanie: obliczmy dystrybuantę Y jako

teraz zróżnicowanie tego względem y daje funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla Y jako

a zakres dla y będzie wynosił od 0 do nieskończoności

Wnioski:

Pojęcie rozkładu gamma w prawdopodobieństwie i statystyce jest jednym z ważnych, stosowanych na co dzień rozkładów rodziny wykładniczej. rozkład gammaJeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj wspomniane książki. Możesz także odwiedzić matematyka Więcej tematów

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma
Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH