Rodzina wykładnicza rozkładu gamma: 21 ważnych faktów

Treść

1. Specjalna forma rozkładów Gamma i zależności rozkładu Gamma
2. Rodzina wykładnicza rozkładu gamma
3. Związek między gamma a rozkładem normalnym
4. Rozkład gamma Poissona | rozkład gamma poissona ujemny dwumian
5. Rozkład gamma Weibulla
6. Zastosowanie rozkładu gamma w prawdziwym życiu | dystrybucja gamma używa | zastosowanie rozkładu gamma w statystykach 
7. Dystrybucja beta gamma | związek między dystrybucją gamma i beta
8. Dwuwymiarowy rozkład gamma
9. Podwójna dystrybucja gamma
10. Zależność między gamma a rozkładem wykładniczym | rozkład wykładniczy i gamma | rozkład wykładniczy gamma
11. Dopasuj rozkład gamma
12. Przesunięty rozkład gamma
13. Obcięty rozkład gamma
14. Funkcja przetrwania rozkładu gamma
15. MLE rozkładu gamma | maksymalny rozkład prawdopodobieństwa gamma | funkcja prawdopodobieństwa rozkładu gamma
16. Metoda szacowania parametrów rozkładu gamma momentów | metoda rozkładu gamma estymatora momentów
17. Przedział ufności dla rozkładu gamma
18. Koniugat rozkładu gamma przed rozkładem wykładniczym | gamma przed dystrybucją | późniejsza dystrybucja gamma Poissona
19. Funkcja kwantylowa rozkładu gamma
20. Uogólniony rozkład gamma
21. Uogólniony rozkład gamma w wersji beta

Specjalna forma rozkładów Gamma i zależności rozkładu Gamma

  W tym artykule omówimy szczególne formy rozkładów gamma i związki rozkładu gamma z różnymi ciągłymi i dyskretnymi zmiennymi losowymi, a także pokrótce omówimy niektóre metody estymacji w próbkowaniu populacji przy użyciu rozkładu gamma.

Rodzina wykładnicza rozkładu gamma

  Wykładnicza rodzina rozkładu gamma i jest to rodzina wykładnicza z dwoma parametrami, która jest w dużej mierze i stosowalną rodziną dystrybucji, ponieważ większość rzeczywistych problemów można modelować w wykładniczej rodzinie rozkładu gamma, a szybkie i użyteczne obliczenia w rodzinie wykładniczej można wykonać łatwo, w dwóch parametrach, jeśli przyjmiemy funkcję gęstości prawdopodobieństwa jako

jeśli ograniczymy znaną wartość α (alfa), ta dwuparametrowa rodzina zmniejszy się do jednej wykładniczej rodziny parametrów

i dla λ (lambda)

Związek między gamma a rozkładem normalnym

  W funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładu gamma, jeśli podejmiemy alfa bliżej 50, otrzymamy charakter funkcji gęstości jako

nawet parametr kształtu w rozkładzie gamma, który zwiększamy, co powoduje podobieństwo normalnej krzywej rozkładu normalnego, jeśli mamy tendencję do kształtowania parametru alfa dąży do nieskończoności, rozkład gamma będzie bardziej symetryczny i normalny, ale ponieważ alfa ma tendencję do nieskończoności wartość xw gamma dystrybucja ma tendencję do minus nieskończoności, co skutkuje pół-nieskończonym wsparciem nieskończonej dystrybucji gamma, stąd nawet rozkład gamma staje się symetryczny, ale nie taki sam jak rozkład normalny.

rozkład gamma Poissona | rozkład gamma poissona ujemny dwumian

   Rozkład gamma Poissona i rozkład dwumianowy są dyskretną zmienną losową, której zmienna losowa zajmuje się wartościami dyskretnymi, a konkretnie sukcesem i porażką w postaci prób Bernoulliego, które dają losowy sukces lub porażkę tylko w wyniku, teraz jest to również mieszanina rozkładu Poissona i gamma znany jako ujemny rozkład dwumianowy jest wynikiem powtarzanej próby próby Bernoulliego, można to sparametryzować w inny sposób, tak jakby r-ty sukces wystąpił w wielu próbach, a następnie można go sparametryzować jako

a jeśli liczba niepowodzeń przed r-tym sukcesem, to można ją sparametryzować jako

i biorąc pod uwagę wartości r i p

ogólną postacią parametryzacji dla ujemnego rozkładu dwumianowego lub poissona gamma jest

a alternatywą jest

ten rozkład dwumianowy jest znany jako ujemny ze względu na współczynnik

a ten ujemny rozkład dwumianu lub poissona gamma jest dobrze zdefiniowany jako całkowite prawdopodobieństwo, które otrzymamy jako jedno dla tego rozkładu

Średnia i wariancja dla tego ujemnego rozkładu dwumianowego lub poissona gamma to

zależność poissona i gamma możemy otrzymać za pomocą następującego obliczenia

Zatem ujemny dwumian jest mieszaniną rozkładu poissona i gamma i ten rozkład jest używany w codziennym modelowaniu problemów, w których wymagana jest mieszanka dyskretna i ciągła.

Rozkład gamma Weibulla

   Istnieją uogólnienia rozkładu wykładniczego, które obejmują rozkład Weibulla, a także rozkład gamma, ponieważ rozkład Weibulla ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa jako

i skumulowana funkcja dystrybucji jako

gdzie jak pdf i cdf rozkładu gamma są już omówione powyżej, główne powiązanie między rozkładem Weibulla a rozkładem gamma to uogólnienie rozkładu wykładniczego różnica między nimi polega na tym, że moc zmiennej jest większa niż jeden, to rozkład Weibulla daje szybki wynik, podczas gdy za mniej niż 1 gamma daje szybki wynik.

     Nie będziemy tutaj omawiać uogólnionego rozkładu gamma Weibulla, które wymagają osobnego omówienia.

zastosowanie rozkładu gamma w prawdziwym życiu | dystrybucja gamma używa | zastosowanie rozkładu gamma w statystykach 

  Istnieje wiele zastosowań, w których dystrybucja gamma jest wykorzystywana do modelowania sytuacji, takich jak roszczenia ubezpieczeniowe do agregacji, akumulacja ilości opadów, dla każdego produktu jego produkcja i dystrybucja, tłum w określonej sieci, w giełdzie telekomunikacyjnej itp. W rzeczywistości dystrybucja gamma daje czas oczekiwania przepowiednia do następnego wydarzenia dla n-tego wydarzenia. Istnieje wiele zastosowań dystrybucji gamma w prawdziwym życiu.

dystrybucja beta gamma | związek między dystrybucją gamma i beta

    Rozkład beta jest zmienną losową z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

gdzie

który ma związek z funkcją gamma jako

a rozkład beta związany z rozkładem gamma, tak jakby X był rozkładem gamma z parametrem alfa i beta jako jeden, a Y był rozkładem gamma z parametrem alfa jako jeden i beta, to zmienna losowa X / (X + Y) jest rozkładem beta.

lub Jeśli X to Gamma (α, 1), a Y to Gamma (1, β), to zmienna losowa X / (X + Y) to Beta (α, β) 

i również

dwuwymiarowy rozkład gamma

     Zmienna losowa dwuwymiarowa lub dwuwymiarowa jest ciągła, jeśli istnieje funkcja f (x, y) taka, że ​​łączna funkcja rozkładu

gdzie

oraz łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa otrzymana przez

istnieje wiele dwuwymiarowych rozkładów gamma jednym z nich jest dwuwymiarowy rozkład gamma z funkcją gęstości prawdopodobieństwa jako

podwójna dystrybucja gamma

  Podwójny rozkład gamma jest jednym z rozkładów dwuwymiarowych ze zmiennymi losowymi gamma o parametrach alfa i jednym z łączną funkcją gęstości prawdopodobieństwa jako

ta gęstość tworzy podwójny rozkład gamma z odpowiednimi zmiennymi losowymi, a funkcja generująca moment dla podwójnego rozkładu gamma to

związek między gamma a rozkładem wykładniczym | rozkład wykładniczy i gamma | rozkład wykładniczy gamma

   ponieważ rozkład wykładniczy jest rozkładem z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

a rozkład gamma ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa

wyraźnie wartość alfa, jeśli wstawimy jako jedność, otrzymamy rozkład wykładniczy, czyli rozkład gamma to nic innego jak uogólnienie rozkładu wykładniczego, które przewiduje czas oczekiwania do wystąpienia następnego n-tego zdarzenia podczas gdy rozkład wykładniczy przewiduje oczekiwanie czas do wystąpienia następnego zdarzenia.

dopasować rozkład gamma

   O ile dopasowanie danych w postaci rozkładu gamma oznacza znalezienie dwuparametrowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, która obejmuje parametry kształtu, położenia i skali, to znalezienie tych parametrów przy różnym zastosowaniu i obliczenie średniej, wariancji, odchylenia standardowego i funkcja generująca moment jest dopasowaniem rozkładu gamma, ponieważ różne rzeczywiste problemy będą modelowane w rozkładzie gamma, więc informacje zgodnie z sytuacją muszą być dopasowane do rozkładu gamma, w tym celu różne techniki w różnych środowiskach już istnieją, np. w R, Matlab, excel itp.

przesunięty rozkład gamma

     W zależności od zastosowania i potrzeby, ilekroć wymóg przesunięcia wymaganej dystrybucji z dwuparametrowego rozkładu gamma, nowy uogólniony trójparametr lub jakikolwiek inny uogólniony rozkład gamma zmienia położenie kształtu i skalę, taki rozkład gamma jest znany jako przesunięty rozkład gamma

obcięty rozkład gamma

     Jeśli ograniczymy zakres lub dziedzinę rozkładu gamma dla skali kształtu i parametrów lokalizacji, ograniczony rozkład gamma jest nazywany obciętym rozkładem gamma w oparciu o warunki.

funkcja przetrwania rozkładu gamma

                Funkcję przeżycia dla rozkładu gamma definiuje się jako funkcję s (x) w następujący sposób

mle dystrybucji gamma | maksymalny rozkład prawdopodobieństwa gamma | funkcja prawdopodobieństwa rozkładu gamma

wiemy, że największe prawdopodobieństwo weźmy próbkę z populacji jako reprezentatywną i tę próbkę traktujemy jako estymator funkcji gęstości prawdopodobieństwa, aby maksymalizować parametry funkcji gęstości, przed przejściem do rozkładu gamma przypomnijmy sobie podstawy, jak dla zmiennej losowej X funkcja gęstości prawdopodobieństwa z theta jako parametrem ma funkcję wiarygodności jako

możemy to wyrazić jako

a metoda maksymalizacji tej funkcji wiarygodności może być

jeśli takie theta spełniają to równanie, a jako log jest funkcją monotoniczną, możemy zapisać w postaci logarytmu

i takie supremum istnieje, jeśli

teraz zastosujemy maksymalne prawdopodobieństwo dla funkcji rozkładu gamma jako

Prawdopodobieństwo dziennika funkcji będzie wynosić

więc jest

i stąd

Można to osiągnąć również jako

by

a parametr można otrzymać przez różnicowanie

metoda szacowania parametrów rozkładu gamma momentów | metoda rozkładu gamma estymatora momentów

   Możemy obliczyć momenty populacji i próbki za pomocą odpowiednio oczekiwania n-tego rzędu, metoda momentu zrównuje te momenty rozkładu i próbkę w celu oszacowania parametrów, załóżmy, że mamy próbkę zmiennej losowej gamma z funkcją gęstości prawdopodobieństwa jako

wiemy, że pierwsze momenty ciągnięcia dla tej funkcji gęstości prawdopodobieństwa to

so

otrzymamy od drugiego momentu, jeśli podstawimy lambdę

iz tej wartości alfa jest

a teraz będzie lambda

i estymator momentu przy użyciu próbki będzie

przedział ufności dla rozkładu gamma

   przedział ufności dla rozkładu gamma jest sposobem oszacowania informacji i jej niepewności, która mówi, że przedział ma mieć prawdziwą wartość parametru, w jakim procencie, ten przedział ufności jest uzyskiwany z obserwacji zmiennych losowych, ponieważ jest uzyskiwany z losowy sama w sobie jest losowa, aby uzyskać przedział ufności dla rozkładu gamma, istnieją różne techniki w różnych zastosowaniach, których musimy przestrzegać.

koniugat rozkładu gamma przed rozkładem wykładniczym | gamma przed dystrybucją | późniejsza dystrybucja gamma Poissona

     Rozkład a posteriori i a priori to terminologie Bayesa teoria prawdopodobieństwa i są sprzężone ze sobą, dowolne dwa rozkłady są sprzężone, jeśli za jednym rozkładem jest inny rozkład, pod względem theta pokażmy, że rozkład gamma jest sprzężony przed rozkładem wykładniczym

jeśli funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkład gamma pod względem theta jest tak

załóżmy, że funkcja rozkładu dla theta jest wykładnicza z podanych danych

tak będzie wspólna dystrybucja

i używając relacji

mamy

który jest

więc rozkład gamma jest sprzężony przed rozkładem wykładniczym, ponieważ późniejszy jest rozkład gamma.

Funkcja kwantylowa rozkładu gamma

   Qauntile funkcja rozkładu gamma będzie funkcją, która daje punkty w rozkładzie gamma, które odnoszą się do porządku rang wartości w rozkładzie gamma, wymaga to skumulowanej funkcji dystrybucji i dla różnych języków różnych algorytmów i funkcji kwantyla rozkładu gamma.

uogólniony rozkład gamma

    Ponieważ sam rozkład gamma jest uogólnieniem wykładniczej rodziny rozkładu, dodanie większej liczby parametrów do tego rozkładu daje uogólniony rozkład gamma, który jest dalszym uogólnieniem tej rodziny rozkładu, wymagania fizyczne dają różne uogólnienia, jednym z częstych jest użycie funkcji gęstości prawdopodobieństwa tak jak

skumulowaną funkcję dystrybucji dla takiego uogólnionego rozkładu gamma można otrzymać przez

gdzie licznik reprezentuje niepełną funkcję gamma jako

używając tej niekompletnej funkcji gamma można otrzymać funkcję przeżycia dla uogólnionego rozkładu gamma jako

inną wersją tego trójparametrowego uogólnionego rozkładu gamma mającego funkcję gęstości prawdopodobieństwa jest

gdzie k, β, θ są parametrami większymi od zera, te uogólnienia mają problemy ze zbieżnością, aby przezwyciężyć parametry Weibulla zastępuje

używając tej parametryzacji zbieżność otrzymanej funkcji gęstości, więc im bardziej uogólnienie dla rozkładu gamma ze zbieżnością jest rozkład z funkcją gęstości prawdopodobieństwa jako

Uogólniony rozkład gamma w wersji beta

   Rozkład gamma obejmujący parametr beta w funkcji gęstości, z powodu którego czasami rozkład gamma jest znany jako uogólniony rozkład gamma beta z funkcją gęstości

z funkcją dystrybucji skumulowanej jako

co zostało już szczegółowo omówione w omówieniu rozkładu gamma, dalszy uogólniony rozkład gamma beta jest zdefiniowany z cdf jako

gdzie B (a, b) jest funkcją beta, a funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla tego można uzyskać przez różniczkowanie, a funkcja gęstości będzie

tutaj G(x) jest wyżej zdefiniowanym rozkładem skumulowanym funkcjonować rozkładu gamma, jeśli podamy tę wartość, to skumulowana funkcja rozkładu beta uogólnionego rozkładu gamma wynosi

oraz funkcja gęstości prawdopodobieństwa

pozostałe właściwości można rozszerzyć dla tego uogólnionego rozkładu gamma ze zwykłymi definicjami.

Wnioski:

Istnieją różne formy i uogólnienia rozkład gamma i wykładnicza rodzina rozkładu gamma zgodnie z rzeczywistymi sytuacjami, więc możliwe takie formy i uogólnienia zostały uwzględnione dodatkowo z metodami szacowania rozkładu gamma w próbkowaniu populacji, jeśli potrzebujesz dalszej lektury na temat wykładniczej rodziny rozkładu Gamma, przejdź przez poniższy link i książki. Więcej tematów na temat matematyki można znaleźć na stronie naszą stronę.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH