Dyskretna zmienna losowa i oczekiwanie matematyczne

Zwykle nie interesują nas wszystkie możliwe wyniki dowolnego losowego lub nielosowego eksperymentu, zamiast tego interesuje nas jakieś prawdopodobieństwo lub wartość liczbowa korzystnych wydarzeń, na przykład załóżmy, że rzucamy dwiema kostkami, aby uzyskać sumę 8, to nie jesteśmy zainteresowani wynikiem jako pierwsza kostka z 2 drugimi kostkami jako 6 lub (3,5), (5,3), (4,4), (6,2) itd. Podobnie w przypadku losowego eksperymentu zbiornika w życiu codziennym nie interesuje nas dobowy wzrost lub spadek poziomu wody, a jedynie poziom wody po zakończeniu pory deszczowej.

Zatem takie wielkości liczbowe, którymi jesteśmy zainteresowani, są traktowane jako zmienne losowe odpowiedniego eksperymentu losowego. W tym celu do wyników losowego eksperymentu przypisujemy możliwe wartości rzeczywiste numerycznie. Aby zilustrować przypisywanie wartości liczbowej wynikowi, rozważ eksperyment rzucania monetą, przypisujemy wartość liczbową 0 i 1 odpowiednio dla głowy i śladu w przestrzeni próbnej losowego eksperymentu. 

Dyskretna zmienna losowa

Dyskretna zmienna losowa można zdefiniować jako zmienne losowe, których liczba jest skończona lub policzalnie nieskończona, a te, które nie są skończone lub policzalnie nieskończone, są niedyskretnymi zmiennymi losowymi. Każdemu elementowi przestrzeni próbkowania, któremu przypisujemy liczbę rzeczywistą, można to zinterpretować w kategoriach funkcji o wartościach rzeczywistych oznaczonej przez X, czyli X: S → R. Nazywamy tę funkcję jako zmienną losową lub funkcją stochastyczną, która ma jakieś znaczenie fizyczne, geometryczne lub inne.

Przykład: Rozważ eksperyment polegający na rzucaniu dwiema kostkami, a następnie załóżmy, że zmienna losowa lub funkcja stochastyczna reprezentują sumę punktów pojawiających się na kostkach, a następnie możliwe wartości dla przestrzeni próbki

S={(1,1), (1), (2), (1,3), (1,4) , (1,5) ,

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

będzie X = 2, dla (1,1)

X = 3 dla (1,2), (2,1) itd. Z poniższych, które możemy łatwo zrozumieć

W powyższej tabeli przekątne elementy od prawej do lewej dadzą sumę wyrażoną przez zmienną losową lub funkcję stochastyczną.

Prawdopodobieństwo dla odpowiedniej zmiennej losowej można wyrazić w następujący sposób

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa

Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa to prawdopodobieństwa zmiennych losowych, które są z natury dyskretne, w szczególności jeśli x₁X₂X₃X₄, ………., X_k są wartościami Dyskretna zmienna losowa X, a następnie P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_k) to odpowiednie prawdopodobieństwa.

Funkcja prawdopodobieństwa / rozkład prawdopodobieństwa możemy oznaczyć jako 

P (X = x) = f (x)

a zgodnie z definicją prawdopodobieństwa funkcja ta spełnia następujące warunki.

1. f (x) ≥0
2. Σ f (x) = 1, gdzie to sumowanie jest sumą dla x.

Przykład: Gdyby moneta rzuciła się dwa razy, to jeśli wyrazimy liczbę śladów, które wypadną jako zmienna losowa X, to będzie 

Jeśli weźmiemy uczciwą monetę, powyższe będzie wynikiem dwukrotnego rzutu, a prawdopodobieństwo takiej zmiennej losowej będzie wynosić

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X=1) = P (TH lub HT) = P (TH ∪ HT) = P ( TH) + P ( HT)=1/4+1/4=1/2

i P ( X=2) = P (TT) =1/4

Ten rozkład prawdopodobieństwa możemy zestawić w następujący sposób

Funkcja dystrybucji skumulowanej (CDF) / Funkcja dystrybucji

Zdefiniujemy Funkcja dystrybucyjna or Dystrybuanta (cdf) dla dyskretnej zmiennej losowej X oznaczonej przez F (x), dla-∞≤x≤∞ jako

F (x) = P (X≤x)

Pod warunkiem, że tak

1. Dla dowolnego x,y , x≤y, F(x) ≤ F(y) tj. dystrybuanta F(x) jest niemalejąca.
2. F (x) = 0 i F (x) = 1
3. F (x + h) = F (x), ∀ x tj. dystrybuanta F (x) jest prawostronnie ciągła.

Ponieważ dla Dyskretna zmienna losowa prawdopodobieństwo dla X = x wynosi P (X = x), dla x₁<X<x₂ będzie P (x₁<X<x₂), a dla X≤x jest P (X≤x).

Możemy napisać funkcję Distribution dla funkcji dystrybucji dyskretnej w następujący sposób

możemy otrzymać funkcję prawdopodobieństwa z funkcji rozkładu jako

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Przykład: Połączenia prawdopodobieństwo dla dyskretnej zmiennej losowej podano w następujący sposób:

Znajdź F2, F5, F (7)?

Rozwiązanie:

Oczekiwanie matematyczne 

   Oczekiwanie matematyczne jest bardzo ważnym pojęciem dla teoria prawdopodobieństwa zarówno ze statystycznego punktu widzenia, nazywana jest również wartością oczekiwaną lub oczekiwaną, można ją zdefiniować jako sumę zmiennych losowych i ich prawdopodobieństw przy mnożeniu, tj. jeśli x₁X₂X₃X₄, ……… .x_n są wartościami dyskretnej zmiennej losowej X, a następnie P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄),……….P(xn) to odpowiadające im prawdopodobieństwa matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X oznaczone przez E(x) jako

Przykład: Z zestawu 72 kart ponumerowanych od 1 do 72 na raz 8 losowanych jest XNUMX kart, znajdź oczekiwaną wartość sumy liczb na wylosowanych kuponach.

Rozwiązanie:. rozważ zmienne losowe x₁X₂X₃X₄, ……… .x_n przedstawiające karty o numerach 1, 2, 3, 4, ………, 72

więc prawdopodobieństwo x z 72 kart wynosi 

P (x_i) = 1 / n = 1/72

od tego czasu oczekiwanie będzie

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x_n. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Teraz oczekiwana wartość dla 8 takich kart będzie wynosić 

E (x) = x₁. (1 / n) + x₂. (1 / n) + x₃. (1 / n) + …………… + x₈. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Zmienność, Odchylenie standardowe i Średnie odchylenie według oczekiwań matematycznych

Połączenia ważne pojęcia statystyki odchylenie standardowe i zmienność możemy wyrazić za pomocą matematycznych oczekiwań, więc jeśli zmienne losowe x₁X₂X₃X₄, ……… .x_n z odpowiednimi prawdopodobieństwami P (x₁), P (x₂), P (x₃), P (x₄), ……… .P (x_n), to będzie wariancja

Przykład: W grze, jeśli zostanie użyta uczciwa kostka, a gracz wygra, jeśli pojawi się jakakolwiek nieparzysta wartość na kościach, a nagroda pieniężna otrzyma 20 rupii za 1, 40 rupii za 3 i 60 rupii za 5 i jeśli jakakolwiek inna strona kości przyniósł 10 rupii stratę dla gracza. znajdź oczekiwane pieniądze, które można wygrać, stosując wariancję i odchylenie standardowe.

Rozwiązanie:

W przypadku uczciwych kości znamy rozkład prawdopodobieństw,

Niech X będzie zmienną losową dla konwersji kości zgodnie z wymaganiami gry, wygrana lub przegrana, gdy twarz pojawiła się w następujący sposób,

więc oczekiwana kwota wygrana przez dowolnego gracza będzie

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

więc oczekiwana kwota wygrana przez dowolnego gracza wyniosłaby μ = 15

Wynik matematycznego oczekiwania, a także wariancji można uogólnić dla więcej niż dwóch zmiennych zgodnie z wymaganiem.

Wnioski:

   W tym artykule omówiliśmy głównie dyskretną zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa i funkcję dystrybucji znaną jako funkcja rozkładu skumulowanego cdf, a także pojęcie Oczekiwania matematyczne dla dyskretnej zmiennej losowej a jakie będzie średnie odchylenie, wariancja i odchylenie standardowe dla takiej dyskretnej zmiennej losowej wyjaśnimy za pomocą odpowiednich przykładów w następnym artykule omówimy to samo dla ciągłej zmiennej losowej, jeśli chcesz dalej czytać, przejdź do:

Aby uzyskać więcej informacji na temat matematyki, śledź to link.

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.