Ugięcie belki | Pełny przegląd i ważne relacje

Zawartość: ugięcie wiązki

• Definicja krzywej ugięcia
• Definicja kąta odchylenia
• Definicja ugięcia
• Warunki brzegowe ugięcia belki
• Zależność między siłami obciążenia, siłą ścinającą, momentem zginającym, nachyleniem i ugięciem
• Równania i relacje zginania belek
• Tabela ugięć belki i wzory dla standardowych przypadków obciążeń
• Ugięcie i nachylenie belki z przykładami Przypadek I: Zwisająca belka
• Przypadek II: Określ maksymalne ugięcie swobodnie podpartej belki z obciążeniem punktowym w środku
• Przypadek III: Określ maksymalne ugięcie swobodnie podpartej belki ze skupionym obciążeniem punktowym w odległości „a” od podpory A
• Metoda podwójnej integracji
• Procedura dla metody podwójnej integracji
• Metoda podwójnej integracji do znajdowania ugięcia belki na przykładzie a Belka wspornikowa z równomiernie rozłożonym obciążeniem
• Metoda podwójnej integracji dla obciążenia trójkątnego

In Inżynieria, ugięcie to stopień przemieszczenia elementu konstrukcyjnego pod obciążeniem (w wyniku jego odkształcenia). Może odnosić się do kąta lub odległości. Odległość ugięcia pręta pod obciążeniem można obliczyć poprzez całkowanie funkcji, która matematycznie opisuje nachylenie odkształconego kształtu pręta pod tym obciążeniem. Istnieją standardowe wzory na ugięcie typowych konfiguracji belek i przypadków obciążeń w dyskretnych lokalizacjach. W pozostałych przypadkach stosuje się takie metody jak praca wirtualna, integracja bezpośrednia, metoda Castigliano, metoda Macaulaya czy metoda sztywności bezpośredniej.

Krzywa ugięcia

Kiedy belki są obciążane bocznymi lub podłużnymi obciążeniami, początkowa prosta oś wzdłużna zostaje zdeformowana w krzywą zwaną krzywą sprężystą belki lub krzywą ugięcia. Krzywa ugięcia to zdeformowana oś wybranej belki.

Kąt ugięcia

Nachylenie można zdefiniować jako kąt między osią podłużną belki a styczną skonstruowaną do krzywej odkształcenia belki w dowolnym miejscu. Jest to kąt obrotu neutralnej osi wiązki. Jest mierzony w radianach.

Ugięcie

Ugięcie to przesunięcie lub przemieszczenie dowolnego punktu na osi belki, mierzone w kierunku y od początkowej prostej osi podłużnej do punktu na krzywej ugięcia belki. Jest mierzona w mm. Ugięcie reprezentuje odchylenie prostej osi podłużnej w wyniku obciążenia poprzecznego. W przeciwieństwie do tego wyboczenie belki stanowi odchylenie początkowej prostej osi podłużnej z powodu osiowego obciążenia ściskającego. Zwykle jest reprezentowany przez „ty

Jeśli wiązka wygina się jak łuk koła, nazywa się to zgięciem kołowym; w przeciwnym razie nazywa się to gięciem niekołowym. Załóżmy, że belka pryzmatyczna jest poddawana zmiennemu momentowi zginającemu. W takim przypadku powoduje to zginanie typu niekołowego, a poddanie go stałemu momentowi zginającemu skutkuje zginaniem kołowym belki.

Warunki brzegowe ugięcia belki

1. y wynosi zero na wsporniku sworznia lub rolki.
2. y wynosi zero na wsporniku wbudowanym lub wspornikowym.
3. Załóżmy, że moment zginający i sztywność zginania są nieciągłymi funkcjami x. W takim przypadku nie można zapisać jednego równania różniczkowego dla całej belki; równania krzywej dla dwóch sąsiednich odcinków powinny spełniać dane dwa warunki na styku odcinków:

• 1. Y dla sekcji lewej ręki musi być równe y dla sekcji prawej ręki.
• 2. Nachylenie sekcji lewej musi być równe nachyleniu sekcji prawej.

Zależność między siłami obciążenia, siłą ścinającą, momentem zginającym, nachyleniem i ugięciem

Rozważ belkę poziomą AB w stanie nieobciążonym. Jeśli AB odchyli się pod obciążeniem, nową pozycją będzie A'B '. Nachylenie w dowolnym punkcie C będzie

i=\\frac{dy}{dx}

Zwykle ugięcie jest minimalne, a dla małego promienia krzywizny,

ds=dx=Rdi \\\\\\frac{di}{dx}=1/R

Ale\\;i=\\frac{dy}{dx}

A zatem,

\\frac{d^2 y}{ dx^2}=1/R  

Zgodnie z prostą teorią momentu zginającego

\\frac{M}{I}=\\frac{E}{R}

\\frac{1}{R}=\\frac{M}EI}

A zatem,

\\frac{d^2 y}{dx^2}=\\frac{1}{R}=\\frac{M}EI}

Gdzie,

E = moduł Younga materiału

I = obszarowy moment bezwładności

M = moment maksymalny

R = promień krzywizny belki

To jest podstawowe równanie różniczkowe dla ugięcia belki.

Równania i relacje zginania belek

Ugięcie = y

Nachylenie = \\frac{dy}{dx}

Zginający\\;moment =EI\\frac{d^2y}{dx^2}

Ścinanie\\; Siła = EI\\frac{d^3y}{dx^3}

Załaduj \\;dystrybucja =EI\\frac{d^4y}{dx^4}

Tabela ugięć belki i wzory dla standardowych przypadków obciążeń:

• Maksymalne nachylenie i ugięcie belki wspornikowej występuje na swobodnym końcu belki, podczas gdy nie obserwuje się żadnego nachylenia ani ugięcia na zaciśniętym końcu belki wspornikowej.
•  W przypadku belki swobodnie podpartej z symetrycznymi warunkami obciążenia maksymalne ugięcie można znaleźć w połowie rozpiętości. Maksymalne nachylenie można zaobserwować na podporach belki. Maksymalne ugięcie występuje, gdy nachylenie wynosi zero.

Ugięcie i nachylenie belki z przykładami

Przypadek I: Wisząca belka

Rozważ zwisającą belkę stalową przenoszącą obciążenie skupione P = 50 kN na końcu C.

Dla zwisającej belki (a) określ nachylenie i maksymalne ugięcie, (b) oceń nachylenie w odległości 7 m od punktu A i maksymalne ugięcie na podstawie podanych danych ja = 722 cm² , E = 210 GPa.

Rozwiązanie: Diagram swobodnego ciała dla danej belki to

Wartość reakcji w punktach A i B można obliczyć stosując warunki równowagi

\\suma F_y=0\\;\\suma M_A=0

Dla równowagi pionowej, F_y = 0

R_A + R_B = P

Biorąc chwilę około A, moment zgodny z ruchem wskazówek zegara jest dodatni i moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest przyjmowany jako ujemny.

P(L+a)-R_B*L=0 \\\\R_B=P(1+a/L)

A zatem,

R_A+P(1+\\frac{a}{L})=P

R_A= \\frac{-Pa}{L}

Rozważ dowolną sekcję AD w odległości x od podpory A

Chwila w punkcie D jest

M= \\frac{-Pa}{L x}

Korzystając z równania różniczkowego krzywej,

EI \\frac{d^2 y}{dx^2}= \\frac{-Pa}{L x}

Całkując dwukrotnie, otrzymujemy

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+C_1……………..[1]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+C_1x+C_2……………..[2]

Stałe integracji znajdujemy przy użyciu dostępnych nam warunków brzegowych

Przy x = 0, y = 0; z równania [2] otrzymujemy,

C_2 = 0

Przy x = L, y = 0; z równania [2] otrzymujemy,

0=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*L^3+C_1*L+0

C_1= \\frac{PaL}{6}

Zatem równanie nachylenia uzyskane w ten sposób przez podstawienie wartości C₁ i C₂ w 1]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}…………….. [3]

Zatem równanie ugięcia otrzymane w ten sposób przez podstawienie wartości C₁ i C₂ w 2]

EIy=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x^3+\\frac{PaL}{6}x……………..[4]

Maksymalne ugięcie ma miejsce, gdy nachylenie wynosi zero. Zatem położenie punktu maksymalnego ugięcia można znaleźć w [3]:

0= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

 \\frac{1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2=\\frac{PaL}{6}

x_m=\\frac{L}{\\sqrt 3}

x_m = 0.577 L.

Umieszczenie wartości x w równaniu [4]

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }x_m^3+\\frac{PaL}{6}x_m

EIy_{max}=\\frac{-1}{6} \\frac{Pa}{L }*0.577 L^3+\\frac{PaL}{6}*0.577 L

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

Oszacuj nachylenie w odległości 7 m od A na podstawie danych:

 I = 722 \\;cm^4=72210^{-8}\\; m^4 , mi = 210\\; GPa = 210*10^9\\; Rocznie

Korzystanie z równania [3]

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2} \\frac{Pa}{L }x^2+\\frac{PaL}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-1}{2}  \\frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\\frac{50*10^3*4*15}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.5452 \\;radianów

maksymalne ugięcie belki można podać przez

y_{max}=0.064\\frac{Pal^2}{EI}

y_{max}=0.064\\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}

y_{max}=1.89 \\;m

Przypadek II: Określ maksymalne ugięcie swobodnie podpartej belki z obciążeniem punktowym w środku.

Rozważ swobodnie podpartą belkę stalową przenoszącą obciążenie skupione F = 50 kN w punkcie C. W przypadku belki swobodnie podpartej (a) oceń nachylenie w punkcie A i maksymalne ugięcie na podstawie podanych danych: ja = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m

Poniższy rysunek przedstawia FBD dla swobodnie podpartej belki z obciążeniem punktowym.

Zgodnie ze standardowymi relacjami i formułą

Nachylenie na końcu belki można podać przez

\\frac{dy}{dx}=\\frac{FL^2}{16EI}

\\frac{dy}{dx}=\\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}

\\frac{dy}{dx}=0.463

W przypadku belki swobodnie podpartej z obciążeniem punktowym działającym w środku, Maksymalne ugięcie można określić przez

y_{max}=\\frac{FL^3}{48EI }

y_{max}=\\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }

y_{max}=2.31 \\;m

Przypadek III: dla belki swobodnie podpartej ze skupionym obciążeniem punktowym w pewnej odległości od podpory A.

Rozważ swobodnie podpartą belkę stalową przenoszącą obciążenie skupione F = 50 kN w punkcie C. W przypadku belki swobodnie podpartej (a) oceń nachylenie w punktach A i B oraz maksymalne ugięcie na podstawie podanych danych: ja = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 m, b = 13 m

Poniższy rysunek przedstawia FBD dla swobodnie podpartej belki z obciążeniem punktowym.

Zgodnie ze standardowymi relacjami i formułą

Nachylenie podpory A belki można podać wzorem

\\theta_1=\\frac{Fb(L^2-b^2)}{6LEI}

\\theta_1=\\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_1=0.825 \\;radianów 

Nachylenie podpory B belki można podać wzorem

\\theta_2=\\frac{Fab(2L-b)}{6LEI}

\\theta_2=\\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}

\\theta_2=0.675 \\;radianów

W przypadku belki swobodnie podpartej z obciążeniem punktowym działającym w środku, Maksymalne ugięcie można określić przez

y_{max}=\\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)

y_{max}=-8.93*10^{-3}\\; m=-8.93\\;mm

Metoda podwójnej integracji

Jeśli sztywność na zginanie EI jest stała, a moment jest funkcją odległości x, całkowanie EI (d² y) / (dx² ) = M da Slope

EI \\frac{dy}{dx}=\\int M dx+C_1

EIy=\\int \\int Mdxdx+C_1x+C_2

gdzie C₁ i C₂ są stałymi. Są określane przy użyciu warunków brzegowych lub innych warunków belki. Powyższe równanie daje ugięcie y jako funkcję x; Nazywa się to równaniem krzywej sprężystości lub odkształcenia.

Powyższa metoda analizy ugięcia i nachylenia belki jest znana jako metoda podwójnej integracji do obliczania ugięć belki. Jeśli moment zginający i sztywność na zginanie są ciągłymi funkcjami x, można zapisać jedno równanie różniczkowe dla całej belki. W przypadku statycznie wyznaczalnej belki istnieją dwie reakcje podporowe; każdy nakłada określony zestaw więzów na nachylenie krzywej sprężystej. Te ograniczenia nazywane są warunkami brzegowymi i służą do określenia dwóch stałych integracji.

Warunki brzegowe metody podwójnej integracji

1. y wynosi zero na wsporniku sworznia lub rolki.
2. y wynosi zero na wsporniku wbudowanym lub wspornikowym.
3. Załóżmy, że moment zginający i sztywność zginania są nieciągłymi funkcjami x. W takim przypadku nie można zapisać jednego równania różniczkowego dla całej belki; równania krzywej dla dwóch sąsiednich odcinków powinny spełniać dane dwa warunki na styku odcinków:

• 1. Y dla sekcji lewej ręki musi być równe y dla sekcji prawej ręki.
• 2. Nachylenie sekcji lewej musi być równe nachyleniu sekcji prawej.

Procedura dla metody podwójnej integracji

• Narysuj krzywą sprężystą belki i rozważ wszystkie niezbędne warunki brzegowe, takie jak y wynosi zero na wsporniku sworznia lub rolki i y wynosi zero przy wsporniku wbudowanym lub wspornikowym.
• Wyznacz moment zginający M w dowolnej odległości x od podpory metodą przekrojów. Stosując odpowiednie reguły momentu zginającego, znajdując moment M. dla momentu nieciągłego, równania krzywej dla dwóch sąsiednich segmentów powinny spełniać podane dwa warunki na styku segmentów: 1. y dla sekcji lewej musi być równa y dla sekcji prawej. 2. Nachylenie sekcji lewej musi być równe nachyleniu sekcji prawej.
• Zintegruj równanie dwukrotnie, aby uzyskać nachylenie i ugięcie, i nie zapomnij znaleźć stałej całkowania dla każdej sekcji przy użyciu warunków brzegowych.

Przykłady metody podwójnej integracji w celu ustalenia ugięcia belki

Rozważ belkę wspornikową o długości L pokazaną na poniższym rysunku z równomiernie rozłożonym obciążeniem. W belce wspornikowej jeden koniec jest nieruchomy, a drugi może się swobodnie poruszać. Wyprowadzimy równanie na nachylenie i moment zginający dla tej belki metodą podwójnej integracji.

Moment zginający działający w odległości x od lewego końca można otrzymać jako:

M=-wx* \\frac{x}{2}

Korzystając z równania różniczkowego krzywej,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Integracja, gdy już otrzymamy,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Całkowanie równania [1] otrzymujemy,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Stałe całkowania można uzyskać za pomocą warunków brzegowych,

Przy x = L, dy / dx = 0; ponieważ wsparcie w punkcie A jest odporne na ruchy. Zatem z równania [1] otrzymujemy:

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Przy x = L, y = 0, Brak ugięcia na podporze lub ustalonym końcu A Zatem z równania [2] otrzymujemy:

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \\frac{-wL^4}{8}

 Podstawiając wartość stałej w [1] i [2] otrzymujemy nowe zestawy równań jako

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

oceń nachylenie przy x = 12 mi maksymalne ugięcie z podanych danych: ja = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Z powyższych równań: przy x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radianów

Z równania [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \\;m

Metoda podwójnej integracji dla obciążenia trójkątnego

Rozważmy belkę swobodnie podpartą o długości L pokazaną na poniższym rysunku z obciążeniem trójkątnym. Wyprowadzimy równanie na nachylenie i moment zginający dla tej belki metodą podwójnej integracji.

Ponieważ obciążenie jest symetryczne, każda reakcja podporowa przenosi połowę całkowitego obciążenia. Stwierdzono, że reakcja w A i B wynosi wL / 4.

Moment w dowolnym punkcie w odległości x od R._A is

M=\\frac{wL}{4} x- \\frac{wx^2}{L}\\frac{x}{3}=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x ^3 ) 

 \\frac{d^2 y}{dx^2}=M=\\frac{w}{12L} (3L^2 x-4x^3 ) 

Podwójne całkowanie da nam równania,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

Przy x = 0, y = 0; z równania [2] otrzymujemy,

C_2 = 0

Ze względu na symetrię obciążenia nachylenie w połowie rozpiętości wynosi zero. Zatem dy / dx = 0 przy x = L / 2

0=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1

C_1=\\frac{-5wL^3}{192}

Podstawiając wartości stałych w [1] i [2] otrzymujemy,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2x^3}{2}-\\frac{x^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

Maksymalne ugięcie będzie obserwowane w środku belki. tj. na poziomie L / 2

EIy=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\\frac{(L/2)^5}{5})+\\frac{-5wL^3}{192}(L/2)

EIy_{max}=\\frac{w}{12L} (\\frac{L^5}{16}-\\frac{L^5}{160})+\\frac{-5wL^4}{384}

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

oceń nachylenie przy x = 12 mi maksymalną wartość y z podanych danych: ja = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Z powyższych równań: przy x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}=\\frac{w}{12L}(\\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\\frac{-5wL^3}{192}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}=\\frac{20}{12*20}(\\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\\frac{-5*20*20^3}{192}

\\frac{dy}{dx}=8.60*10^{-4 } \\;radiany

Z równania [4]

EIy_{max}=\\frac{-wL^4}{120}

210*10^9*722*10^{-8}*y=\\frac{-20*20^4}{120}

y=-0.01758\\;m

Wiedzieć o wytrzymałości materiału (kliknij tutaj)i metodą Moment Area Kliknij tutaj.

Hakimuddin Bawangaonwala

Nazywam się Hakimuddin Bawangaonwala, inżynier projektu mechanicznego ze specjalistyczną wiedzą w zakresie projektowania i rozwoju mechanicznego. Ukończyłem studia magisterskie na kierunku inżynieria projektowa i posiadam 2.5-letnie doświadczenie badawcze. Do chwili obecnej opublikowano dwa artykuły badawcze na temat toczenia na twardo i analizy elementów skończonych urządzeń do obróbki cieplnej. Mój obszar zainteresowań to projektowanie maszyn, wytrzymałość materiału, przenikanie ciepła, inżynieria cieplna itp. Biegła obsługa oprogramowania CATIA i ANSYS dla CAD i CAE. Oprócz badań.