Kowariancja, wariancja sum: 7 ważnych faktów

KOWARIANCJA, Wariancja sum i korelacje zmiennych losowych

  Parametry statystyczne zmiennych losowych o różnym charakterze przy użyciu definicji oczekiwania zmiennej losowej są łatwe do uzyskania i zrozumienia, poniżej znajdziemy niektóre parametry za pomocą matematycznego oczekiwania zmiennej losowej.

Momenty liczby zdarzeń, które mają miejsce

    Do tej pory wiemy, że oczekiwanie różnych potęg zmiennej losowej to momenty zmiennych losowych i jak znaleźć oczekiwanie zmiennej losowej na podstawie zdarzeń, jeśli liczba zdarzeń już wystąpiła, teraz interesuje nas oczekiwanie, jeśli para liczby zdarzeń już wystąpiło, teraz jeśli X reprezentuje numer zdarzenia, to dla zdarzeń A₁,₂,….,A_n zdefiniuj zmienną wskaźnikową I_i as

oczekiwanie X w sensie dyskretnym będzie

ponieważ zmienna losowa X to

teraz, aby znaleźć oczekiwanie, jeśli liczba par zdarzeń już wystąpiła, musimy użyć połączenie as

to daje oczekiwanie, ponieważ

z tego otrzymujemy oczekiwanie x kwadrat i wartość wariancji również przez

Korzystając z tej dyskusji, skupiamy się na różnych rodzajach zmiennych losowych, aby znaleźć takie momenty.

Momenty dwumianowych zmiennych losowych

   Jeśli p jest prawdopodobieństwem sukcesu z n niezależnych prób, oznaczamy A_i na próbę ja jako sukces więc

i stąd wariancja dwumianowej zmiennej losowej będzie

bo

jeśli uogólnimy na k zdarzeń

to oczekiwanie możemy otrzymać sukcesywnie dla wartości k większej od 3 znajdźmy dla 3

używając tej iteracji możemy uzyskać

Momenty hipergeometrycznych zmiennych losowych

  Momenty tej zmiennej losowej zrozumiemy za pomocą przykładu załóżmy, że n pisaków jest losowo wybranych z pudełka zawierającego N pisaków, z których m są niebieskie, Niech A_i oznaczają zdarzenia, dla których i-ty pisak jest niebieski, Teraz X to liczba wybranego niebieskiego pisaka jest równa liczbie zdarzeń A₁,A₂,…..,ZA_n Dzieje się tak, ponieważ wybrany i-ty pisak jest tak samo prawdopodobny, jak którykolwiek z pisaków N, z których m jest niebieskie

a więc

to daje

więc wariancja hipergeometrycznej zmiennej losowej będzie

w podobny sposób dla wyższych momentów

stąd

Momenty ujemnych hipergeometrycznych zmiennych losowych

  Rozważmy przykład opakowania zawierającego n+m szczepionek, z których n to szczepionki specjalne, a m to zwykłe, szczepionki te usuwane pojedynczo, przy czym każde nowe usunięcie jest równie prawdopodobne, że będzie to jakakolwiek szczepionka, która pozostanie w opakowaniu. Niech teraz zmienna losowa Y oznacza liczbę szczepionek, które muszą zostać wycofane, dopóki nie usunie się łącznie r specjalnych szczepionek, co jest ujemnym rozkładem hipergeometrycznym, jest to w pewien sposób podobne z ujemnym dwumianem do dwumianu, jak z rozkładem hipergeometrycznym. znaleźć prawdopodobieństwo funkcja masy, jeśli k-ty losowanie daje specjalną szczepionkę po k-1 losowanie daje specjalną szczepionkę r-1, a kr zwykłą szczepionkę

teraz zmienna losowa Y

Y=r+X

na wydarzenia A_i

as

stąd aby znaleźć wariancję Y musimy znać wariancję X więc

stąd

KOWARIANCJA             

Związek między dwiema zmiennymi losowymi może być reprezentowany przez kowariancję parametru statystycznego, zanim definicja kowariancji dwóch zmiennych losowych X i Y przypomni, że oczekiwanie dwóch funkcji g i h zmiennych losowych odpowiednio X i Y daje

używając tej relacji oczekiwań możemy zdefiniować kowariancję jako

   „ Kowariancja między zmienną losową X a zmienną losową Y oznaczoną przez cov(X,Y) definiuje się jako

stosując definicję oczekiwania i rozszerzania otrzymujemy

jasne jest, że jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to

ale odwrotność nie jest prawdziwa, na przykład jeśli

oraz zdefiniowanie zmiennej losowej Y jako

so

tutaj wyraźnie X i Y nie są niezależne, ale kowariancja wynosi zero.

Własności kowariancji

  Kowariancja między zmiennymi losowymi X i Y ma następujące właściwości

używając definicji z kowariancji pierwsze trzy własności są bezpośrednie, a czwarta własność następuje poprzez rozważenie

teraz z definicji

Wariancja sum

Ważnym wynikiem tych właściwości jest

as

Jeśli X_i 's są wtedy niezależne parami

Przykład: Wariancja dwumianowej zmiennej losowej

  Jeśli X jest zmienną losową

gdzie X_i są niezależnymi zmiennymi losowymi Bernoulliego takimi, że

 następnie znajdź wariancję dwumianowej zmiennej losowej X z parametrami n i p.

Rozwiązanie:

ponieważ

więc dla pojedynczej zmiennej mamy

więc wariancja jest

Przykład

  Dla niezależnych zmiennych losowych X_i z odpowiednimi średnimi i wariancją oraz nową zmienną losową z odchyleniem as

potem obliczyć

rozwiązanie:

Korzystając z powyższej właściwości i definicji mamy

teraz dla zmiennej losowej S

weź oczekiwanie

Przykład:

Znajdź kowariancję funkcji wskaźnika dla zdarzeń A i B.

Rozwiązanie:

dla zdarzeń A i B funkcje wskaźnika są

więc oczekiwania wobec nich są

zatem kowariancja jest

Przykład:

     Pokazują, że

gdzie X_i są niezależnymi zmiennymi losowymi z wariancją.

Rozwiązanie:

Kowariancja przy użyciu właściwości i definicji będzie will

Przykład:

  Oblicz średnią i wariancję zmiennej losowej S, która jest sumą n próbkowanych wartości, jeśli zbiór N osób, z których każda ma opinię na określony temat mierzoną liczbą rzeczywistą v który reprezentuje „siłę uczuć” danej osoby. Pozwolić  reprezentują siłę poczucia osoby  co jest nieznane, aby zebrać informacje, losowo pobiera się próbkę n z N, tych n osób przesłuchuje się i uzyskuje się ich odczucia, aby obliczyć vi

Rozwiązanie

zdefiniujmy funkcję wskaźnika jako

więc możemy wyrazić S jako

i jego oczekiwanie jako

to daje wariancję, jak

ponieważ

mamy

znamy tożsamość

so

więc średnia i wariancja dla wspomnianej zmiennej losowej będą

Wnioski:

Korelacja między dwiema zmiennymi losowymi jest definiowana jako kowariancja i używając kowariancji uzyskuje się sumę wariancji dla różnych zmiennych losowych, kowariancję i różne momenty uzyskuje się za pomocą definicji oczekiwania, jeśli potrzebujesz dalszej lektury przejdź do

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH.

Aby uzyskać więcej postów o matematyce, śledź nasze Strona matematyki