Ciągła zmienna losowa, typy i jej rozkłady

     Zmienna losowa, która przyjmuje skończone lub policzalnie nieskończone wartości, jest znana jako dyskretna zmienna losowa, a jej para z prawdopodobieństwem tworzy rozkład dyskretnej zmiennej losowej. Teraz dla zmiennej losowej, która przyjmuje wartości jako niepoliczalne, jakie byłoby prawdopodobieństwo i pozostałe cechy, które zamierzamy omówić. Zatem w skrócie ciągła zmienna losowa jest zmienną losową, której zbiór wartości jest niepoliczalny. Przykładem rzeczywistego życia dla ciągłej zmiennej losowej jest żywotność komponentów elektrycznych lub elektronicznych, przybycie określonego pojazdu publicznego na przystanki itp.

Ciągła zmienna losowa i funkcja gęstości prawdopodobieństwa

                Zmienna losowa  będzie ciągłą zmienną losową, jeśli dla nieujemnej funkcji o wartościach rzeczywistych f na x ∈ ℝ i B ⊆ ℝ i

ta funkcja f jest znana jako Funkcja gęstości prawdopodobieństwa  danej zmiennej losowej X.

Połączenia funkcja gęstości prawdopodobieństwa oczywiście spełnia następujące aksjomaty prawdopodobieństwa

Ponieważ z aksjomatów prawdopodobieństwa wiemy, że prawdopodobieństwo całkowite jest takie

Dla ciągłej zmiennej losowej prawdopodobieństwo zostanie obliczone na podstawie takiej funkcji f, załóżmy, że chcemy znaleźć prawdopodobieństwo dla ciągłego przedziału, powiedzmy [a, b], to byłoby

Jak wiemy, całkowanie reprezentuje obszar pod krzywą, więc to prawdopodobieństwo pokazuje taki obszar dla prawdopodobieństwa

przez zrównanie a = b otrzymamy wartość

i w podobny sposób prawdopodobieństwo dla wartości mniejszej lub równej określonej wartości po podążaniu za nią będzie

Przykład: Ciągły czas pracy elementu elektronicznego jest wyrażony w postaci ciągłej zmiennej losowej, a funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest podana jako

znajdź prawdopodobieństwo, że komponent będzie działał efektywnie od 50 do 150 godzin i prawdopodobieństwo mniej niż 100 godzin.

ponieważ zmienna losowa reprezentuje ciągłą zmienną losową, więc funkcja gęstości prawdopodobieństwa podana w pytaniu daje całkowite prawdopodobieństwo jako

Więc otrzymamy wartość λ

λ = 1/100

dla prawdopodobieństwa 50 godzin do 150 godzin mamy

w podobny sposób prawdopodobieństwo będzie mniejsze niż 100

Przykład: Urządzenie komputerowe ma liczbę chipsetów, których żywotność jest określana przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa

następnie po 150 godzinach znajdź prawdopodobieństwo, że będziemy musieli wymienić 2 chipsety z łącznie 5 chipów.

rozważmy E_i być wydarzeniem, które zastąpi i-ty chipset. więc prawdopodobieństwo takiego zdarzenia będzie

ponieważ wszystkie żetony działają niezależnie, więc prawdopodobieństwo zastąpienia 2 będzie wynosić

Dystrybuanta

  Dystrybucję skumulowaną dla ciągłej zmiennej losowej definiuje się za pomocą funkcji rozkładu prawdopodobieństwa jako

w innej formie

możemy otrzymać funkcję gęstości prawdopodobieństwa za pomocą funkcji rozkładu jako

Oczekiwanie matematyczne i wariancja ciągłej zmiennej losowej

Oczekiwanie

Połączenia oczekiwanie matematyczne lub średnia ciągłej zmiennej losowej  z funkcją gęstości prawdopodobieństwa można zdefiniować jako

• Dla każdej funkcji o wartościach rzeczywistych ciągłej zmiennej losowej X oczekiwanie będzie

gdzie g jest wartością rzeczywistą funkcjonować.

1. Dla dowolnej nieujemnej ciągłej zmienna losowa Y oczekiwania będą

• Dla dowolnych stałych a i b

E [aX + b] = aE [X] + b

Zmienność

                Wariancja ciągłej zmiennej losowej X ze średnią parametru lub oczekiwaniem  można zdefiniować w podobny sposób, jak dyskretna zmienna losowa

   Dowód na wszystkie powyższe właściwości oczekiwań i wariancji możemy łatwo uzyskać, po prostu wykonując kroki, które mamy w dyskretnej zmiennej losowej i definicjach oczekiwań, wariancji i prawdopodobieństwa w kategoriach ciągłej zmiennej losowej

Przykład: Jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X jest dana wzorem

następnie znajdź oczekiwanie i wariancję ciągłej zmiennej losowej X.

Rozwiązanie:  Dla zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

oczekiwana wartość z definicji będzie wynosić

Teraz, aby znaleźć wariancję, potrzebujemy E [X²]

Ponieważ

so

Jednolita zmienna losowa

    Jeśli ciągła zmienna losowa X ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa podaną wzorem

w przedziale (0,1) to rozkład ten nazywany jest rozkładem jednorodnym, a zmienna losowa nazywana jest zmienną losową jednolitą.

• Dla dowolnych stałych a i b takich, że 0

Oczekiwanie i wariancja jednolitej zmiennej losowej

      Dla równomiernie ciągłej zmiennej losowej X w ogólnym przedziale ( α , β ) oczekiwanie z definicji będzie wynosić

i wariancję otrzymamy, jeśli znajdziemy pierwsze E[X²]

so

Przykład: Na konkretną stację przyjeżdżają pociągi do danego celu z częstotliwością 15 minut od godziny 7 rano. Dla pasażera przebywającego na stacji w godzinach od 7 do 7.30:5 rozłożone równomiernie, jakie będzie prawdopodobieństwo, że pasażer dotrze do pociągu w ciągu 10 minut i jakie będzie prawdopodobieństwo przez ponad XNUMX minut.

Rozwiązanie: Ponieważ czas od 7 do 7.30 rozkłada się równomiernie, aby pasażer znalazł się na stacji kolejowej, oznacz to za pomocą jednolitej zmiennej losowej X. więc przedział będzie wynosił (0, 30)

Ponieważ aby dostać się do pociągu w ciągu 5 minut, pasażer musi być na stacji między 7.10 a 7.15 lub 7.25 do 7.30, więc prawdopodobieństwo będzie

= 1 / 3

W podobny sposób aby dostać się do pociągu po odczekaniu powyżej 10 minut pasażer musi być na stacji od 7 do 7.05 lub od 7.15 do 7.20 więc prawdopodobieństwo będzie

Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo jednolitej zmiennej losowej X rozłożonej w przedziale (0,10)

dla X <3, X> 6 i 3

Rozwiązanie: ponieważ zmienna losowa jest rozłożona równomiernie, więc prawdopodobieństwa będą

Przykład: (Paradoks Bertranda) Dla dowolnego losowego akordu koła. jakie byłoby prawdopodobieństwo, że długość tego przypadkowego cięciwy będzie większa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w to samo koło.

Ten problem nie ma luzu co do przypadkowej cięciwy, więc ten problem został przeformułowany pod względem średnicy lub kąta, a następnie uzyskano odpowiedź jako 1/3.

Wnioski:

   W artykule omówiono pojęcie ciągłej zmiennej losowej i jej rozkład z funkcją gęstości prawdopodobieństwa oraz podano średnią parametru statystycznego, wariancję dla ciągłej zmiennej losowej. Podano jednorodną zmienną losową i jej rozkład wraz z przykładem, który jest typem ciągłej zmiennej losowej. W kolejnym artykule skupimy się na kilku ważnych typach ciągłej zmiennej losowej z odpowiednimi przykładami i właściwościami. , jeśli chcesz dalej czytać, przejdź przez:

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Jeśli chcesz przeczytać więcej tematów z matematyki, przejdź przez Strona Matematyka.

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.