Ciągła zmienna losowa, typy i jej rozkłady
Zmienna losowa, która przyjmuje skończone lub policzalnie nieskończone wartości, jest znana jako dyskretna zmienna losowa, a jej para z prawdopodobieństwem tworzy rozkład dyskretnej zmiennej losowej. Teraz dla zmiennej losowej, która przyjmuje wartości jako niepoliczalne, jakie byłoby prawdopodobieństwo i pozostałe cechy, które zamierzamy omówić. Zatem w skrócie ciągła zmienna losowa jest zmienną losową, której zbiór wartości jest niepoliczalny. Przykładem rzeczywistego życia dla ciągłej zmiennej losowej jest żywotność komponentów elektrycznych lub elektronicznych, przybycie określonego pojazdu publicznego na przystanki itp.
Ciągła zmienna losowa i funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Zmienna losowa będzie ciągłą zmienną losową, jeśli dla nieujemnej funkcji o wartościach rzeczywistych f na x ∈ ℝ i B ⊆ ℝ i
ta funkcja f jest znana jako Funkcja gęstości prawdopodobieństwa danej zmiennej losowej X.
Połączenia funkcja gęstości prawdopodobieństwa oczywiście spełnia następujące aksjomaty prawdopodobieństwa
Ponieważ z aksjomatów prawdopodobieństwa wiemy, że prawdopodobieństwo całkowite jest takie
Dla ciągłej zmiennej losowej prawdopodobieństwo zostanie obliczone na podstawie takiej funkcji f, załóżmy, że chcemy znaleźć prawdopodobieństwo dla ciągłego przedziału, powiedzmy [a, b], to byłoby
Jak wiemy, całkowanie reprezentuje obszar pod krzywą, więc to prawdopodobieństwo pokazuje taki obszar dla prawdopodobieństwa
przez zrównanie a = b otrzymamy wartość
i w podobny sposób prawdopodobieństwo dla wartości mniejszej lub równej określonej wartości po podążaniu za nią będzie
Przykład: Ciągły czas pracy elementu elektronicznego jest wyrażony w postaci ciągłej zmiennej losowej, a funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest podana jako
znajdź prawdopodobieństwo, że komponent będzie działał efektywnie od 50 do 150 godzin i prawdopodobieństwo mniej niż 100 godzin.
ponieważ zmienna losowa reprezentuje ciągłą zmienną losową, więc funkcja gęstości prawdopodobieństwa podana w pytaniu daje całkowite prawdopodobieństwo jako
Więc otrzymamy wartość λ
λ = 1/100
dla prawdopodobieństwa 50 godzin do 150 godzin mamy
w podobny sposób prawdopodobieństwo będzie mniejsze niż 100
Przykład: Urządzenie komputerowe ma liczbę chipsetów, których żywotność jest określana przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa
następnie po 150 godzinach znajdź prawdopodobieństwo, że będziemy musieli wymienić 2 chipsety z łącznie 5 chipów.
rozważmy Ei być wydarzeniem, które zastąpi i-ty chipset. więc prawdopodobieństwo takiego zdarzenia będzie
ponieważ wszystkie żetony działają niezależnie, więc prawdopodobieństwo zastąpienia 2 będzie wynosić
Dystrybuanta
Dystrybucję skumulowaną dla ciągłej zmiennej losowej definiuje się za pomocą funkcji rozkładu prawdopodobieństwa jako
w innej formie
możemy otrzymać funkcję gęstości prawdopodobieństwa za pomocą funkcji rozkładu jako
Oczekiwanie matematyczne i wariancja ciągłej zmiennej losowej
Oczekiwanie
Połączenia oczekiwanie matematyczne lub średnia ciągłej zmiennej losowej z funkcją gęstości prawdopodobieństwa można zdefiniować jako
- Dla każdej funkcji o wartościach rzeczywistych ciągłej zmiennej losowej X oczekiwanie będzie
gdzie g jest wartością rzeczywistą funkcjonować.
- Dla dowolnej nieujemnej ciągłej zmienna losowa Y oczekiwania będą
- Dla dowolnych stałych a i b
E [aX + b] = aE [X] + b
Zmienność
Wariancja ciągłej zmiennej losowej X ze średnią parametru lub oczekiwaniem można zdefiniować w podobny sposób, jak dyskretna zmienna losowa
Dowód na wszystkie powyższe właściwości oczekiwań i wariancji możemy łatwo uzyskać, po prostu wykonując kroki, które mamy w dyskretnej zmiennej losowej i definicjach oczekiwań, wariancji i prawdopodobieństwa w kategoriach ciągłej zmiennej losowej
Przykład: Jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X jest dana wzorem
następnie znajdź oczekiwanie i wariancję ciągłej zmiennej losowej X.
Rozwiązanie: Dla zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa
oczekiwana wartość z definicji będzie wynosić
Teraz, aby znaleźć wariancję, potrzebujemy E [X2]
Ponieważ
so
Jednolita zmienna losowa
Jeśli ciągła zmienna losowa X ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa podaną wzorem
w przedziale (0,1) to rozkład ten nazywany jest rozkładem jednorodnym, a zmienna losowa nazywana jest zmienną losową jednolitą.
- Dla dowolnych stałych a i b takich, że 0
Oczekiwanie i wariancja jednolitej zmiennej losowej
Dla równomiernie ciągłej zmiennej losowej X na ogólnym przedziale (α, β) oczekiwanie z definicji będzie wynosić
i wariancję otrzymamy, jeśli znajdziemy pierwsze E [X2]
so
Przykład: Na konkretną stację przyjeżdżają pociągi do danego celu z częstotliwością 15 minut od godziny 7 rano. Dla pasażera przebywającego na stacji w godzinach od 7 do 7.30:5 rozłożone równomiernie, jakie będzie prawdopodobieństwo, że pasażer dotrze do pociągu w ciągu 10 minut i jakie będzie prawdopodobieństwo przez ponad XNUMX minut.
Rozwiązanie: Ponieważ czas od 7 do 7.30 rozkłada się równomiernie, aby pasażer znalazł się na stacji kolejowej, oznacz to za pomocą jednolitej zmiennej losowej X. więc przedział będzie wynosił (0, 30)
Ponieważ aby dostać się do pociągu w ciągu 5 minut, pasażer musi być na stacji między 7.10 a 7.15 lub 7.25 do 7.30, więc prawdopodobieństwo będzie
= 1 / 3
W podobny sposób aby dostać się do pociągu po odczekaniu powyżej 10 minut pasażer musi być na stacji od 7 do 7.05 lub od 7.15 do 7.20 więc prawdopodobieństwo będzie
Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo jednolitej zmiennej losowej X rozłożonej w przedziale (0,10)
dla X <3, X> 6 i 3
Rozwiązanie: ponieważ zmienna losowa jest rozłożona równomiernie, więc prawdopodobieństwa będą
Przykład: (Paradoks Bertranda) Dla dowolnego losowego akordu koła. jakie byłoby prawdopodobieństwo, że długość tego przypadkowego cięciwy będzie większa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w to samo koło.
Ten problem nie ma luzu co do przypadkowej cięciwy, więc ten problem został przeformułowany pod względem średnicy lub kąta, a następnie uzyskano odpowiedź jako 1/3.
Wnioski:
W artykule omówiono pojęcie ciągłej zmiennej losowej i jej rozkład z funkcją gęstości prawdopodobieństwa oraz podano średnią parametru statystycznego, wariancję dla ciągłej zmiennej losowej. Podano jednorodną zmienną losową i jej rozkład wraz z przykładem, który jest typem ciągłej zmiennej losowej. W kolejnym artykule skupimy się na kilku ważnych typach ciągłej zmiennej losowej z odpowiednimi przykładami i właściwościami. , jeśli chcesz dalej czytać, przejdź przez:
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Jeśli chcesz przeczytać więcej tematów z matematyki, przejdź przez Strona Matematyka.
