Równanie ciągłości: 7 ważnych pojęć

Lista treści

• Równanie ciągłości
• Postać różniczkowa równania ciągłości
• Równanie ciągłości przepływu nieściśliwego
• Równanie ciągłości dwuwymiarowego przepływu współpłaszczyznowego
• Przykład równania ciągłości
• Pytania i odpowiedzi
• Mcq
• Wnioski

Równanie ciągłości

Zakłada się, że płyn przepływający przez rurkę strumienia jest idealny. Nie ma przepływu przez linię prądu. Oznacza to, że ciecz wpływa na jednym końcu, a wypływa na drugim końcu, nie ma wylotu między nimi. Rozważ warunki przepływu w przekroju wlotu 1-1, jak poniżej,

Masa płynu, która przepływa między tymi dwoma rozważanymi sekcjami, jest określona następującym wzorem:

dm = (AV ? dt ) – ( ​​A + dA ) ( V+ dV ) ( ? + d? ) dt Równanie … 1

upraszczając powyższe równanie otrzymujemy,

dm/dt = – (AV d? + V ? dA + A ? dV) Równanie … 2

Ponieważ wiemy, że przepływ stały oznacza stałe natężenie przepływu masowego, oznacza to tutaj dm / dt = 0. Teraz równ. 2 obrócone jak poniżej,

(AV d? + V ? dA + A ? dV) = 0 Równanie … 3

Teraz podziel równanie. 3 z ? AV, równanie będzie wyglądało tak:

( d?/? ) + ( dA/A ) + ( dV/V ) = 0 Równanie … 4

d ( ? AV ) = 0 Równanie … 5

? AV = Stałe równanie … 6

Tutaj Eq. 6 uzmysławia nam, że masa płynu przepływającego przez rurę strumieniową jest stała w każdej sekcji.

Załóżmy, że płyn jest nieściśliwy (ciecz), wtedy gęstość płynu nie zmieni się w żadnym momencie. Oznacza to, że gęstość płynu jest stała.

AV = stała

A₁ V₁ = A₂ V₂                                                                                                                           Równanie… 7

Eq. 7 przedstawia równanie ciągłości dla ustalonego nieściśliwego przepływu wewnątrz rury strumieniowej. Równanie ciągłości daje podstawowe zrozumienie pola powierzchni i prędkości. Zmiana pola przekroju wpływa na prędkość przepływu wewnątrz rury, rury, wydrążonego kanału, itp. Tutaj ekscytującą rzeczą jest iloczyn prędkości i pola przekroju. Ten iloczyn jest stały w dowolnym punkcie rury strumieniowej. Prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju poprzecznego rury lub rurki strumieniowej.

Postać różniczkowa równania ciągłości

Aby wyprowadzić różniczkową postać równania ciągłości, rozważ obiekt, jak pokazano na rysunku. Wymiary to dx, dy i dz. Istnieją pewne założenia dotyczące tej formacji. Masa płynu nie jest tworzona ani niszczona, brak wnęki lub pęcherzyków w płynie (ciągły przepływ). Rozważamy dx w kierunku x, dy w kierunkach y i dz w kierunkach z, aby ułatwić wyprowadzenie.

Jeśli u jest prędkością przepływu płynu, jak pokazano na powierzchni na rysunku. Zakłada się, że prędkość jest jednakowa na całej powierzchni przekroju poprzecznego ściany. Prędkość płynu na powierzchni 1-2-3-4 wynosi u. teraz; powierzchnia 5-6-7-8 to odległość dx daleka od 1-2-3-4. Tak więc prędkość przy 5-6-7-8 jest podana jako

u + ∂u / ∂x dx

Jak wiemy, następuje zmiana gęstości przy użyciu ściśliwego płynu. Jeśli ściśliwy płyn przejdzie przez obiekt, gęstość ulegnie zmianie.

Masowy przepływ wchodzący do obiektu jest podany jako

Przepływ masowy = ? AV

Przepływ masowy = ? AV dt

Płyn wpływający na 1-2-3-4

Płyn wlotowy = gęstość (powierzchnia * prędkość) dt

Płyn wlotowy = ρ u dy dz dt

Równanie… 1

Płyn wypływa z 5-6-7-8

Płyn wylotowy

płyn wylotowy= [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dtt

Równanie… 2

Otóż, różnica pomiędzy płynem wlotowym i wylotowym to masa pozostająca w przepływie w kierunku x.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt

= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Równanie… 3

Podobnie uważamy, że masa płynu w kierunku yiz jest podana poniżej,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Równanie… 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Równanie… 5

Tutaj v i w to prędkości płynu odpowiednio w kierunkach y i z.

Dla masowego przepływu płynu we wszystkich trzech kierunkach osie są podane przez dodanie równania. 3, 4 i 5. Jest to podane poniżej jako całkowita masa płynu,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Równanie… 6

Szybkość zmiany masy w obiekcie określa,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × objętość) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Równanie… 7

Zgodnie z rozumieniem zachowania masy równ. 6 równe równaniu. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Rozwiązując powyższe równanie i upraszczając je, otrzymujemy:

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Równanie… 8

Eq. 8 jest. Równanie ciągłości przepływu ogólnego. Może być stały lub niestabilny, ściśliwy lub nieściśliwy.

Równanie ciągłości przepływu nieściśliwego

Jeśli weźmiemy pod uwagę, że przepływ jest stały i nieściśliwy. Wiemy, że w przypadku przepływu ustalonego ??/?t = 0. Jeżeli przepływ jest nieściśliwy, to gęstość ? pozostaje stała. Tak więc, biorąc pod uwagę ten warunek, równanie. 8 można zapisać jako,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Równanie ciągłości dwuwymiarowego przepływu współpłaszczyznowego

W przepływie dwuwymiarowym istnieją dwa kierunki x i y. Więc, u prędkość w kierunku x i v prędkość w kierunku y. Nie ma kierunku z, więc prędkość w kierunku z wynosi zero. Biorąc pod uwagę te warunki, równanie. 8 odwrócony jak poniżej,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Sprężalny przepływ

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Przepływ nieściśliwy, gęstość wynosi zero

Przykład równania ciągłości

Przez rurę przepływa powietrze z prędkością 0.25 kg / s przy ciśnieniu bezwzględnym 2.25 bara i temperaturze 300 K. Jeżeli prędkość przepływu wynosi 7.5 m / s, jaka będzie minimalna średnica rury?

Dane,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bara,

T = 300 K,

V = 7.5 m / s,

Oblicz gęstość powietrza,

P = ? RT

? = P/RT

? = ( 2.25 * 10⁵ ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m³

Masowe natężenie przepływu powietrza,

m = ? AV

A = m /? V

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m²

Ponieważ znamy ten obszar,

A = π D.² / 4

D = √ ((A * 4) / π)

D = √ ((0.012 * 4) / 3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Strumień wody w kierunku do góry opuszcza końcówkę dyszy z prędkością 15 m / s. Średnica dyszy wynosi 20 mm. przypuśćmy, że nie ma strat energii podczas pracy. Jaka będzie średnica strumienia wody 5 m powyżej końcówki dyszy.

Ans.

Przede wszystkim wyobraź sobie system; przepływ odbywa się w kierunku pionowym.

Dane,

V1 = prędkość strumienia na końcówce dyszy

V2 = prędkość strumienia na 5 m powyżej końcówki dyszy

Podobnie obszary A1 i A2.

Mamy ogólne równanie ruchu, jak poniżej,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s

〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Teraz zastosuj równanie ciągłości,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) / 11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2

π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Średnica = 0.023 m = 23 mm

Pytania i Odpowiedzi

Jaka jest różnica między równaniem ciągłości a równaniem Naviera Stokesa?

Płyny z definicji mogą płynąć, ale z natury są one zasadniczo nieściśliwe. Plik równanie ciągłości jest konsekwencją tego, że to, co trafia do rury / węża, musi również wypuścić. Zatem ostatecznie pole powierzchni pomnożone przez prędkość na końcu rury / węża musi pozostać stałe.

W koniecznej konsekwencji, jeśli powierzchnia rury / węża zmniejsza się, prędkość płynu musi również wzrosnąć, aby utrzymać stałą prędkość przepływu.

Podczas Równanie Naviera-Stokesa opisuje zależności pomiędzy prędkością, ciśnieniem, temperaturami i gęstością poruszającego się płynu. Równanie to zwykle łączy się z różnymi formami równań różniczkowych. Zazwyczaj rozwiązanie analityczne jest dość skomplikowane.

Na czym opiera się równanie ciągłości?

Równanie ciągłości mówi, że objętość płynu wchodzącego do rury o dowolnym przekroju powinna być równa objętości płynu opuszczającego drugą stronę pola przekroju, co oznacza, że ​​natężenie przepływu powinno być stałe i powinno podążaj za relacją

Załóżmy, że płyn jest nieściśliwy (ciecz), wtedy gęstość płynu nie zmieni się w żadnym momencie. Oznacza to, że gęstość płynu jest stała.

AV = stała

Przepływ = A₁ V₁ = A₂ V₂

Do czego służy równanie ciągłości?

Równanie ciągłości ma wiele zastosowań w dziedzinie hydrodynamiki, aerodynamiki, elektromagnetyzmu, mechaniki kwantowej. Jest to ważna koncepcja dla fundamentalnej zasady Prawa Bernoulliego, jest pośrednio związana z zasadą aerodynamiki i zastosowaniami.

Równanie ciągłości wyraża lokalne prawo zachowania w zależności od kontekstu. Jest to po prostu stwierdzenie matematyczne, subtelne, ale bardzo silne, dotyczące lokalnego zachowania określonych wielkości.

Czy równanie ciągłości obowiązuje dla przepływu naddźwiękowego?

Tak, może być używany do przepływu naddźwiękowego. Może być używany do innych przepływów, takich jak hipersoniczne, naddźwiękowe i poddźwiękowe. Różnica polega na tym, że musisz użyć zachowawczej formy równania.

Jaka jest trójwymiarowa postać równania ciągłości dla ustalonego przepływu nieściśliwego?

Jeśli weźmiemy pod uwagę, że przepływ jest stały i nieściśliwy. Wiemy, że w przypadku przepływu ustalonego ??/?t = 0. Jeżeli przepływ jest nieściśliwy, to gęstość ? pozostaje stała. Tak więc, biorąc pod uwagę ten warunek, równanie. 8 można zapisać jako,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Jaka jest trójwymiarowa postać równania ciągłości przepływu stałego ściśliwego i nieściśliwego?

W przepływie dwuwymiarowym istnieją dwa kierunki x i y. Czyli prędkość u w kierunku x i prędkość v w kierunku y. Nie ma kierunku z, więc prędkość w kierunku z wynosi zero. Biorąc pod uwagę te warunki, równanie. 8 odwrócony jak poniżej,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Pytania wielokrotnego wyboru

Która z poniższych jest formą równania ciągłości?

1. v₁ A₁ = v₂ A₂
2. v₁ t₁ = v₂ t₂
3. V / t
4. v₁ / DO₁ = v₂ / DO₂

Co daje równanie ciągłości koncepcję ruchu idealnego płynu?

1. Wraz ze wzrostem pola przekroju prędkość wzrasta.
2. Wraz ze spadkiem pola przekroju prędkość rośnie.
3. Wraz ze spadkiem pola przekroju prędkość maleje.
4. Wraz ze wzrostem pola przekroju zmniejsza się objętość.
5. Wraz ze wzrostem głośności prędkość maleje.

Równanie ciągłości opiera się na zasadzie

a) ochrona masy

b) zachowanie pędu

c) zachowanie energii

d) zachowanie siły

Dwie podobne średnice rury d zbiegają się, aby otrzymać rurę o średnicy D. Jaka może być obserwacja między d i D ?. Prędkość przepływu w nowej rurze będzie dwukrotnie większa niż w każdej z dwóch rur?

a) re = re

b) re = 2d

c) re = 3d

d) re = 4d

Rury o różnych średnicach d1 i d2 zbiegają się, tworząc rurę o średnicy 2d. Jeśli prędkość cieczy w obu rurach wynosi v1 i v2, jaka będzie prędkość przepływu w nowej rurze?

a) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

d) 2 (v1 + v2)

Wnioski

W artykule omówiono wyprowadzenia równań ciągłości z ich różnymi postaciami i warunkami. Podano podstawowe przykłady i pytania w celu lepszego zrozumienia pojęcia równania ciągłości.

Aby uzyskać więcej artykułów na pokrewne tematy, kliknij tutaj

Czytaj więcej Podstawy naukowe.

Doktor Deepakkumar Jani

Nazywam się Deepak Kumar Jani i robię doktorat w dziedzinie energii mechanicznej i odnawialnej. Mam pięcioletnie doświadczenie w nauczaniu i dwuletnie doświadczenie badawcze. Moje zainteresowania obejmują inżynierię cieplną, inżynierię samochodową, pomiary mechaniczne, rysunek techniczny, mechanikę płynów itp. Złożyłem patent na „Hybrydyzację zielonej energii do produkcji energii”. Opublikowałem 17 artykułów naukowych i dwie książki.
Cieszę się, że jestem częścią Lambdageeks i chciałbym w prosty sposób zaprezentować czytelnikom część mojej wiedzy specjalistycznej.
Poza pracą naukową i badaniami lubię wędrować po przyrodzie, fotografować przyrodę i budować świadomość na jej temat wśród ludzi.
Zapoznaj się także z moim kanałem na YouTubie dotyczącym „Zaproszenia z natury”