Wariancja warunkowa i prognozy: 7 ważnych faktów

W tym artykule omówimy wariancję warunkową i przewidywania wykorzystujące warunkowe oczekiwanie dla różnego rodzaju zmiennej losowej z kilkoma przykładami.

Warunkowa wariancja

Warunkową wariancję zmiennej losowej X przy danej Y definiuje się podobnie jak warunkowe Oczekiwanie zmiennej losowej X przy danej Y jako

(X|Y)=E[(XE[X|Y])²|T]

tutaj wariancja jest warunkowym oczekiwaniem różnicy między zmienną losową a kwadratem warunkowego oczekiwania X przy danym Y, gdy podana jest wartość Y.

Związek między warunkowa wariancja i warunkowe oczekiwanie is

(X|Y) = E[X²|Y] – (E[X|Y])²

E[(X|Y)] = E[E[X²|Y]] – E[(E[X|Y])²]

= EX[X²] – E[(E[X\Y])²]

ponieważ E[E[X|Y]] = E[X], mamy

(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])²] - (E [X])²

jest to nieco podobne do relacji bezwarunkowej wariancji i oczekiwania, która była

Var (X) = E [X²] - (E [X])²

i możemy znaleźć wariancję za pomocą warunkowej wariancji jako

zmienna(X) = E[zmienna(X|Y] + zmienna(E[X|Y])

Przykład warunkowej wariancji

Znajdź średnią i wariancję liczby podróżnych, którzy wsiadają do autobusu, jeśli ludzie przybyli na zajezdnię autobusową mają rozkład Poissona ze średnią λt i początkowy autobus przyjeżdżający do zajezdni jest równomiernie rozłożony w przedziale (0,T) niezależnie od ludzi przybył czy nie.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć średnią i wariancję, niech dla dowolnego czasu t , Y jest zmienną losową dla czasu przybycia autobusu, a N(t) jest liczbą przylotów

E[N(t)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]

przez niezależność Y i N(t)

=λt

ponieważ N(t) to Poisson ze średnią \lambda t
Stąd

E[N(T)|Y]=λY

więc branie oczekiwań daje

E[N(T)] = λE[T] = λT/2

Aby otrzymać Var(N(Y)), używamy wzoru na warunkową wariancję

a zatem

(N(T)|T) = λY

E[N(T)|Y] = λY

Stąd z formuły warunkowej wariancji

Var(N(Y)) = E[λT]+(λY)

=λT/² + λ²T²/ 12

gdzie wykorzystaliśmy fakt, że Var(Y)=T² / 12.

Wariancja sumy losowej liczby zmiennych losowych

rozważ kolejność niezależnych i identycznie dystrybuowane zmienne losowe X₁,X₂,X₃,………. i inną zmienną losową N niezależną od tego ciągu, znajdziemy wariancja sumy tej sekwencji jako

za pomocą

co jest oczywiste przy definicji wariancji i warunkowej wariancji dla indywidualnej zmiennej losowej do sumy ciągu zmiennych losowych stąd

Przepowiednia

W predykcji wartość jednej zmiennej losowej można przewidzieć na podstawie obserwacji innej zmiennej losowej, do predykcji zmiennej losowej Y jeśli obserwowana zmienna losowa to X używamy g(X) jako funkcji, która mówi o przewidywanej wartości, oczywiście spróbuj wybrać g(X) zamknięte do Y w tym celu najlepiej g to g(X)=E(Y|X) w tym celu musimy zminimalizować wartość g używając nierówności

Ta nierówność, którą możemy uzyskać jako

Jednak przy danym X, E[Y|X]-g(X), będące funkcją X, można traktować jako stałą. A zatem,

co daje wymaganą nierówność

Przykłady dotyczące przewidywania

1. Zaobserwowano, że wzrost osoby wynosi sześć stóp, jaka byłaby prognoza wzrostu jego syna po dorosłości, gdyby wzrost syna, który wynosi teraz x cali, ma rozkład normalny ze średnią x+1 i wariancją 4.

Rozwiązanie: niech X będzie zmienną losową oznaczającą wzrost osoby, a Y zmienną losową wzrostu syna, wówczas zmienna losowa Y będzie wynosić

Y=X+e+1

tutaj e reprezentują normalną zmienną losową niezależną od zmiennej losowej X ze średnią zerową i wariancją cztery.

więc prognoza dotycząca wzrostu synów to

więc wzrost syna będzie wynosił 73 cale po wzroście.

2. Rozważmy przykład wysyłania sygnałów z lokalizacji A i lokalizacji B, jeśli z lokalizacji A wysyłany jest sygnał o wartości s, który w lokalizacji B jest odbierany według rozkładu normalnego ze średnią s i wariancją 1, natomiast jeśli sygnał S wysłany w A ma rozkład normalny mając średnią \mu i wariancję \sigma^2, jak możemy przewidzieć, że wartość sygnału R wysłana z lokalizacji A zostanie odebrana jako r w lokalizacji B?

Rozwiązanie: Wartości sygnałów S i R oznaczają tutaj zmienne losowe o rozkładzie normalnym, najpierw znajdujemy funkcję gęstości warunkowej S, mając R jako

to K jest niezależne od S, teraz

tutaj też C₁ i C₂ są niezależne od S, więc wartość funkcji gęstości warunkowej wynosi

C jest również niezależny od s, więc sygnał wysłany z lokalizacji A jako R i odebrany w lokalizacji B jako r jest normalny ze średnią i wariancją

a błąd średniokwadratowy dla tej sytuacji wynosi

Predyktor liniowy

Za każdym razem, gdy nie możemy znaleźć łącznej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, znana jest nawet średnia, wariancja i korelacja pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi, w takiej sytuacji bardzo pomocny jest liniowy predyktor jednej zmiennej losowej względem drugiej zmiennej losowej, który może przewidzieć minimum , więc dla predyktora liniowego zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X minimalizujemy aib

Teraz rozróżnijmy częściowo względem a i b otrzymamy

rozwiązując te dwa równania dla a i b otrzymamy

w ten sposób minimalizacja tego oczekiwania daje predyktor liniowy jako

gdzie średnie są odpowiednimi średnimi zmiennych losowych X i Y, błąd predyktora liniowego będzie otrzymany z oczekiwaniem

Ten błąd będzie bliższy zeru, jeśli korelacja jest doskonale dodatnia lub doskonale ujemna, czyli współczynnik korelacji wynosi +1 lub -1.

Wnioski

Wariancja warunkowa dla dyskretnego i ciągła zmienna losowa z różnymi przykładami omówiono jedno z ważnych zastosowań oczekiwań warunkowych w przewidywaniu, wyjaśniono również za pomocą odpowiednich przykładów i najlepszego predyktora liniowego. Jeśli potrzebujesz dalszej lektury, skorzystaj z poniższych łączy.

Więcej informacji na temat matematyki można znaleźć w naszym Strona Matematyka

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.