Warunkowe oczekiwanie: 7 faktów, które powinieneś wiedzieć

Ponieważ zmienna losowa zależna od siebie wymaga obliczenia prawdopodobieństw warunkowych, które już omówiliśmy, teraz omówimy więcej parametrów dla takich zmiennych losowych lub eksperymentów, takich jak oczekiwanie warunkowe i wariancja warunkowa dla różnych typów zmiennych losowych.

Warunkowe oczekiwanie

   Definicja funkcji masy prawdopodobieństwa warunkowego dyskretnej zmiennej losowej X przy danej Y to

tutaj pY(y)>0 , więc warunek oczekiwanie dla dyskretnej zmiennej losowej X dane Y gdy pY (y)>0 to

w powyższym oczekiwaniu prawdopodobieństwo jest warunkowe prawdopodobieństwo.

  Podobnie, jeśli X i Y są ciągłe, to warunkowa funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przy danej Y wynosi

gdzie f(x,y) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa łącznego i dla wszystkich yf_Y(y)>0 , więc warunkowe oczekiwanie dla zmiennej losowej X przy danym y będzie

dla wszystkich yf_Y(y)>0.

   Ponieważ wiemy, że wszystkie własności prawdopodobieństwa mają zastosowanie do warunkowego prawdopodobieństwo tak samo jest w przypadku warunkowego oczekiwania, wszystkie własności matematycznego oczekiwania są spełnione przez warunkowe oczekiwanie, na przykład warunkowe oczekiwanie funkcji zmiennej losowej będzie

a suma zmiennych losowych w warunkowym oczekiwaniu będzie

Oczekiwanie warunkowe dla sumy dwumianowych zmiennych losowych

    Aby znaleźć warunkowe oczekiwanie sumy dwumianowych zmiennych losowych X i Y o parametrach n i p, które są niezależne, wiemy, że X+Y będzie również zmienną losową dwumianową o parametrach 2n i p, więc dla zmiennej losowej X o danych X+Y=m oczekiwanie warunkowe uzyskamy obliczając prawdopodobieństwo

skoro wiemy, że

zatem warunkowe oczekiwanie X przy danym X+Y=m wynosi

Przykład:

Znajdź warunkowe oczekiwanie

jeśli staw funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych X i Y są podane jako

rozwiązanie:

Aby obliczyć warunkowe oczekiwanie, potrzebujemy funkcji gęstości prawdopodobieństwa warunkowego, więc

ponieważ dla ciągłej zmiennej losowej warunkowy oczekiwanie jest

stąd dla danej funkcji gęstości warunkowe oczekiwanie będzie

Oczekiwanie przez warunkowanie||Oczekiwanie przez warunkowe oczekiwanie

                Możemy obliczyć matematyczne oczekiwanie za pomocą warunkowego oczekiwania X przy danym Y jako

dla dyskretnych zmiennych losowych będzie to

które można uzyskać jako

a dla ciągłego losowego możemy podobnie pokazać

Przykład:

                Człowiek jest uwięziony w swoim budynku pod ziemią, ponieważ wejście jest zablokowane z powodu dużego obciążenia. Na szczęście są trzy rurociągi, z których może wyjść, pierwsza rura wyprowadzi go bezpiecznie po 3 godzinach, druga po 5 godzinach, a trzecia po 7 godzin, jeśli któryś z tych rurociągów wybrał równie prawdopodobny przez niego, to jaki byłby oczekiwany czas, kiedy bezpiecznie wyjdzie na zewnątrz.

Rozwiązanie:

Niech X będzie zmienną losową oznaczającą czas w godzinach do momentu bezpiecznego wyjścia osoby, a Y oznacza rurę, którą wybrała początkowo, więc

ponieważ

Jeśli osoba wybierze drugą fajkę, spędza w niej 5 domów, ale wychodzi na zewnątrz w oczekiwanym czasie

więc oczekiwanie będzie

Oczekiwanie sumy losowej liczby zmiennych losowych z wykorzystaniem warunkowego oczekiwania

                Niech N będzie liczbą losową zmiennej losowej, a suma zmiennych losowych wynosi     wtedy oczekiwanie  

ponieważ

as

a zatem

Korelacja rozkładu dwuwymiarowego

Jeżeli funkcja gęstości prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej X i Y wynosi

gdzie

wtedy korelacja między zmienną losową X i Y dla rozkładu dwuwymiarowego z funkcją gęstości wynosi

ponieważ korelacja jest zdefiniowana jako

ponieważ oczekiwanie przy użyciu warunkowego oczekiwania to

dla rozkładu normalnego rozkład warunkowy X przy danym Y ma średnią

teraz oczekiwanie XY przy danej Y wynosi

to daje

stąd

Wariancja rozkładu geometrycznego

    W rozkładzie geometrycznym wykonajmy kolejno niezależne próby, których wynikiem jest sukces z prawdopodobieństwem p , Jeżeli N reprezentuje czas pierwszego sukcesu w tej sukcesji, to wariancja N z definicji będzie wynosić

Niech zmienna losowa Y=1, jeśli pierwsza próba zakończy się sukcesem i Y=0, jeśli pierwsza próba zakończy się niepowodzeniem, teraz, aby znaleźć oczekiwanie matematyczne, stosujemy oczekiwanie warunkowe jako

ponieważ

jeśli sukces jest w pierwszej próbie, to N=1 i N²=1 jeśli niepowodzenie wystąpiło w pierwszej próbie, to aby uzyskać pierwszy sukces, całkowita liczba prób będzie miała taki sam rozkład jak 1, tj. pierwsza próba, która zakończy się niepowodzeniem, z plus niezbędną liczbą prób dodatkowych, czyli

Tak więc oczekiwanie będzie

ponieważ oczekiwanie rozkładu geometrycznego wynosi so

stąd

i

E

więc wariancja rozkładu geometrycznego będzie

Oczekiwanie minimum ciągu jednorodnych zmiennych losowych

   Ciąg jednolitych zmiennych losowych U₁, LUB₂ … .. w przedziale (0, 1) i N definiuje się jako

następnie dla oczekiwania N, dla dowolnego x ∈ [0, 1] wartość N

ustawimy oczekiwanie N jako

aby znaleźć oczekiwanie, używamy definicji warunkowego oczekiwania na ciągłej zmiennej losowej

teraz warunkowanie dla pierwszego członu ciągu  mamy

tutaj mamy

pozostała liczba jednolitych zmiennych losowych jest taka sama w punkcie, w którym pierwsza jednolita wartość wynosi y, na początku, a następnie będziemy dodawać jednolite zmienne losowe, aż ich suma przekroczy x − y.

więc używając tej wartości oczekiwania, wartość całki będzie

jeśli zróżnicujemy to równanie

i

teraz integracja to daje

stąd

wartość k=1 jeśli x=0 , więc

m

oraz m(1) =e, oczekiwana liczba jednorodnych zmiennych losowych w przedziale (0, 1), które należy dodać, dopóki ich suma nie przekroczy 1, jest równa e

Prawdopodobieństwo przy użyciu warunkowego oczekiwania || prawdopodobieństwa za pomocą warunkowania

   Możemy znaleźć prawdopodobieństwo również za pomocą warunkowego oczekiwania, takiego jak oczekiwanie, które znaleźliśmy z warunkowym oczekiwaniem, aby to uznać za zdarzenie i zmienną losową X jako

z definicji tej zmiennej losowej i oczekiwania wyraźnie

teraz przez warunkowe oczekiwanie w jakimkolwiek sensie mamy

Przykład:

obliczyć prawdopodobieństwo funkcji masowej zmiennej losowej X , jeśli U jest jednolitą zmienną losową w przedziale (0,1) i rozważ rozkład warunkowy X przy danym U=p jako dwumianowy z parametrami n i p.

Rozwiązanie:

Dla wartości U prawdopodobieństwo warunkowania wynosi

mamy wynik

więc dostaniemy

Przykład:

jakie jest prawdopodobieństwo X < Y, jeśli X i Y są ciągłymi zmiennymi losowymi z funkcjami gęstości prawdopodobieństwa f_X f_Y odpowiednio.

Rozwiązanie:

Używając warunkowego oczekiwania i warunkowego prawdopodobieństwa

as

Przykład:

Oblicz rozkład sumy ciągłych niezależnych zmiennych losowych X i Y.

Rozwiązanie:

Aby znaleźć rozkład X+Y, musimy znaleźć prawdopodobieństwo sumy, używając warunkowania w następujący sposób

Wnioski:

Warunkowe oczekiwanie dla dyskretnej i ciągłej zmiennej losowej z różnymi przykładami, biorąc pod uwagę niektóre typy tych zmiennych losowych omówione przy użyciu niezależnej zmiennej losowej i łącznego rozkładu w różnych warunkach. Wyjaśniono również oczekiwanie i prawdopodobieństwo, jak znaleźć za pomocą warunkowego oczekiwania przykłady, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj poniższe książki lub więcej artykułu na temat prawdopodobieństwa, postępuj zgodnie z naszymi Strony matematyczne.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH