Rozkład warunkowy: 7 interesujących faktów do poznania

Dystrybucja warunkowa

   Bardzo interesujące jest omówienie warunkowego przypadku rozkładu, w którym dwie zmienne losowe podążają za rozkładem spełniającym się wzajemnie, najpierw pokrótce widzimy rozkład warunkowy zarówno w przypadku zmiennych losowych, dyskretnych i ciągłych, a po przestudiowaniu niektórych warunków wstępnych skupiamy się na warunkowe oczekiwania.

Dyskretny rozkład warunkowy

     Za pomocą funkcji masy prawdopodobieństwa łącznego w rozkładzie łącznym definiujemy rozkład warunkowy dla dyskretnych zmiennych losowych X i Y, używając prawdopodobieństwa warunkowego dla X danego Y jako rozkład z funkcją masy prawdopodobieństwa

1
2.PNG
3.PNG

pod warunkiem, że prawdopodobieństwo mianownika jest większe od zera, podobnie możemy zapisać to jako

4.PNG
5.PNG

w prawdopodobieństwie łącznym, jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to zamieni się w

6.PNG
7.PNG
8.PNG

tak więc dyskretny rozkład warunkowy lub rozkład warunkowy dla dyskretnych zmiennych losowych X przy danym Y jest zmienną losową o powyższej funkcji masy prawdopodobieństwa w podobny sposób dla Y przy danym X możemy zdefiniować.

Przykład dyskretnej dystrybucji warunkowej

  1. Znajdź funkcja masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przy Y=1, jeśli funkcja masy łącznego prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych X i Y ma pewne wartości jako

p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3

Teraz przede wszystkim dla wartości Y = 1, którą mamy

9.PNG

a więc używając definicji funkcji masy prawdopodobieństwa

10.PNG
11.PNG
12.PNG

mamy

13.PNG

i

14.PNG
  • uzyskać rozkład warunkowy X przy danym X + Y = n, gdzie X i Y są rozkładami Poissona z parametrami λ1 i λ2 a X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi

Ponieważ zmienne losowe X i Y są niezależne, więc rozkład warunkowy będzie miał funkcję masy prawdopodobieństwa jako

15.PNG
16.PNG
17.PNG

ponieważ suma zmiennej losowej Poissona jest ponownie poissona, więc

18.PNG
19.PNG
20.PNG

Zatem rozkład warunkowy z powyższą funkcją masy prawdopodobieństwa będzie rozkładem warunkowym dla takich rozkładów Poissona. Powyższy przypadek można uogólnić dla więcej niż dwóch zmiennych losowych.

Ciągła dystrybucja warunkowa

   Ciągły rozkład warunkowy zmiennej losowej X podanej już y jest rozkładem ciągłym z funkcją gęstości prawdopodobieństwa

21.PNG

gęstość mianownika jest większa od zera, co dla funkcji gęstości ciągłej wynosi

22.PNG
23.PNG

zatem prawdopodobieństwo takiej warunkowej funkcji gęstości wynosi

24.PNG

Podobnie jak w dyskretnym, jeśli X i Y są niezależne w ciągłym, to również

25.PNG

i stąd

px 26
px 28 Kopia 1

więc możemy to zapisać jako

px 29 Kopia 1

Przykład dotyczący ciągłej dystrybucji warunkowej

  1. Obliczyć warunkową funkcję gęstości zmiennej losowej X przy danym Y, jeśli łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa z przedziałem otwartym (0,1) jest dana wzorem
px 30 Kopia 1

Jeśli dla zmiennej losowej X podano Y w przedziale (0,1), to za pomocą powyższej funkcji gęstości otrzymujemy

px 31
px 32
px 33
px 34
px 35
  • Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe
px 36

jeśli łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana przez

px 37

Aby znaleźć prawdopodobieństwo warunkowe, najpierw potrzebujemy funkcji gęstości warunkowej, a więc z definicji tak by była

px 38
px 39
px 40

teraz używając tej funkcji gęstości z prawdopodobieństwem warunkowe prawdopodobieństwo is

100
101
px 41

Rozkład warunkowy dwuwymiarowego rozkładu normalnego

  Wiemy, że dwuwymiarowy rozkład normalny normalnych zmiennych losowych X i Y z odpowiednimi średnimi i wariancjami, ponieważ parametry mają łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa

więc aby znaleźć rozkład warunkowy dla takiego dwuwymiarowego rozkładu normalnego dla X, dane Y jest zdefiniowane przez podążanie za funkcją gęstości warunkowej ciągłej zmiennej losowej i powyższej funkcji gęstości złącza, którą mamy

Dystrybucja warunkowa
Rozkład warunkowy dwuwymiarowego rozkładu normalnego

Obserwując to, możemy powiedzieć, że rozkład normalny jest ze średnią

px 42

i wariancja

px 43

w podobny sposób warunkowa funkcja gęstości dla Y, której X już zdefiniowano, będzie po prostu zamieniła pozycje parametrów X z Y,

Funkcję gęstości krańcowej dla X możemy otrzymać z powyższej funkcji gęstości warunkowej wykorzystując wartość stałej

Dystrybucja warunkowa
Rozkład warunkowy dwuwymiarowego rozkładu normalnego

podstawmy w całce

px 44

funkcja gęstości będzie teraz

Image3 1

od łącznej wartości

Image4

z definicji prawdopodobieństwa, więc funkcja gęstości będzie teraz

Image5

która jest niczym innym jak funkcją gęstości zmiennej losowej X ze zwykłą średnią i wariancją jako parametrami.

Wspólny rozkład prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych

  Jak dotąd znamy łączny rozkład prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych, teraz, jeśli mamy funkcje takich zmiennych losowych, to jaki byłby łączny rozkład prawdopodobieństwa tych funkcji, jak obliczyć gęstość i funkcję rozkładu, ponieważ mamy rzeczywiste sytuacje, w których mają funkcje zmiennych losowych,

Jeśli Y1 i Y2 są funkcjami zmiennych losowych X1 i X2 odpowiednio, które są łącznie ciągłe, to funkcja gęstości ciągłej połączenia tych dwóch funkcji będzie wynosić

px 45

gdzie Jakobian

px 46

i Y1 =g1 (X1, X2) i Y2 =g2 (X1, X2) dla niektórych funkcji g1 i g2 . Tutaj G1 i g2 spełnia warunki jakobiana jako ciągłe i ma ciągłe pochodne cząstkowe.

Teraz prawdopodobieństwo takich funkcji zmiennych losowych będzie

Image7

Przykłady wspólnego rozkładu prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych

  1. Znajdź funkcję gęstości połączeń zmiennych losowych Y1 =X1 +X2 i Y2=X1 -X2 , gdzie X1 i X2 są łącznie ciągłymi z połączonymi funkcjami gęstości prawdopodobieństwa. omówić również odmienny charakter dystrybucji.

Tutaj najpierw sprawdzimy jakobian

px 47

ponieważ g1(x1X2) = x1 + X2  i g2(x1X2) = x1 - x2 so

px 48

upraszczając Y1 =X1 +X2 i Y2=X1 -X2 , dla wartości X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) i X2 = Y1 -Y2 ,

px 49

czy te zmienne losowe są niezależnymi jednolitymi zmiennymi losowymi

px 50

lub jeśli te zmienne losowe są niezależnymi wykładniczymi zmiennymi losowymi o zwykłych parametrach

Image10

lub jeśli te zmienne losowe są niezależnymi normalnymi zmiennymi losowymi wtedy

px 51
px 52
px 53
  • Jeśli X i Y są niezależnymi standardowymi zmiennymi normalnymi, jak podano
Dystrybucja warunkowa

obliczyć wspólny rozkład dla odpowiednich współrzędnych biegunowych.

Przekonwertujemy zwykłą konwersją X i Y na r i θ jako

px 54

więc częściowe pochodne tych funkcji będą

px 55
px 56
px 57
px 58

tak jest jakobianin używający tej funkcji

px 59

jeśli obie zmienne losowe X i Y są większe od zera, to funkcja warunkowej gęstości złącza jest

px 60

teraz konwersja współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe za pomocą

px 61

więc gęstość prawdopodobieństwa funkcjonować bo wartości dodatnie będą

px 62

dla innych kombinacje z X i Y funkcje gęstości w podobny sposób są

px 63
px 64
px 65

teraz ze średniej z powyższych gęstości możemy określić funkcję gęstości jako

px 66

i marginalna funkcja gęstości z tej gęstości połączenia biegunowych współrzędnych w przedziale (0, 2π)

px 67
  • Znajdź funkcję gęstości połączeń dla funkcji zmiennych losowych

U = X + Y i V = X / (X + Y)

gdzie X i Y to rozkład gamma z parametrami (α + λ) i (β + λ).

Używając definicji rozkład gamma i łączną funkcję dystrybucji funkcja gęstości dla zmiennej losowej X i Y będzie

px 68
px 69

rozważ podane funkcje jako

g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),

więc zróżnicowanie tych funkcji jest

px 70
px 71
px 72

teraz jest jakobianin

px 73

po uproszczeniu podanych równań zmiennych x=uv i y=u(1-v) funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać

px 74
px 75

możemy użyć relacji

px 76
px 77
  • Oblicz wspólną funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla

Y1 =X1 +X2+ X3 Y2 =X1- X2 Y3 =X1 - X3

gdzie zmienne losowe X1, X2, X3 są standardem normalne zmienne losowe.

Obliczmy teraz jakobian, używając pochodnych cząstkowych

Y1 =X1 +X2+ X3 Y2 =X1- X2 Y3 =X1 - X3

as

px 78

upraszczanie dla zmiennych X1 , X2 i X3

X1 = (Y1 + Y2 + Y3) / 3, X2 = (Y1 - 2 lata2 + Y3) / 3, X3 = (Y1 + Y2 -2 lat3) / 3

możemy uogólnić funkcję gęstości stawów jako

px 79

więc mamy

px 80

dla zmiennej normalnej funkcja gęstości prawdopodobieństwa połączenia wynosi

px 81

stąd

px 82

gdzie jest indeks

px 83
px 84

obliczyć funkcję gęstości złącza Y1 …… Yn i funkcja gęstości krańcowej dla Yn gdzie

px 85

i Xi są niezależnymi, wykładniczymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie i parametrem λ.

dla zmiennych losowych postaci

Y1 =X1 Y2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn

jakobian będzie miał formę

Image11

stąd jego wartość wynosi jeden, a funkcja gęstości połączenia dla wykładniczej zmiennej losowej

px 86

i wartości zmiennej Xi będzie

px 87

tak więc funkcja gęstości spoiny jest

px 88
px 89
px 90
px 91

Teraz, aby znaleźć funkcję gęstości krańcowej Yn będziemy integrować jeden po drugim jako

px 92
px 93

i

px 94 1
px 94 2

jak mądry

px 96

jeśli będziemy kontynuować ten proces, otrzymamy

px 97

która jest funkcją gęstości krańcowej.

Wnioski:

Połączenia dystrybucja warunkowa dla dyskretnej i ciągłej zmiennej losowej z różnymi przykładami, biorąc pod uwagę niektóre z omawianych typów tych zmiennych losowych, gdzie niezależna zmienna losowa odgrywa ważną rolę. Ponadto staw rozkład funkcji łącznych ciągłych zmiennych losowych wyjaśnione również odpowiednimi przykładami, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejdź do poniższych linków.

Więcej informacji na temat matematyki można znaleźć w naszym Strona Matematyka

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH