- Treść
- Dystrybucja warunkowa
- Dyskretny rozkład warunkowy
- Przykład dyskretnej dystrybucji warunkowej
- Ciągła dystrybucja warunkowa
- Przykład dotyczący ciągłej dystrybucji warunkowej
- Rozkład warunkowy dwuwymiarowego rozkładu normalnego
- Wspólny rozkład prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych
- Przykłady wspólnego rozkładu prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych
Dystrybucja warunkowa
Bardzo interesujące jest omówienie warunkowego przypadku rozkładu, w którym dwie zmienne losowe podążają za rozkładem spełniającym się wzajemnie, najpierw pokrótce widzimy rozkład warunkowy zarówno w przypadku zmiennych losowych, dyskretnych i ciągłych, a po przestudiowaniu niektórych warunków wstępnych skupiamy się na warunkowe oczekiwania.
Dyskretny rozkład warunkowy
Za pomocą funkcji masy prawdopodobieństwa łącznego w rozkładzie łącznym definiujemy rozkład warunkowy dla dyskretnych zmiennych losowych X i Y, używając prawdopodobieństwa warunkowego dla X danego Y jako rozkład z funkcją masy prawdopodobieństwa
pod warunkiem, że prawdopodobieństwo mianownika jest większe od zera, podobnie możemy zapisać to jako
w prawdopodobieństwie łącznym, jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to zamieni się w
tak więc dyskretny rozkład warunkowy lub rozkład warunkowy dla dyskretnych zmiennych losowych X przy danym Y jest zmienną losową o powyższej funkcji masy prawdopodobieństwa w podobny sposób dla Y przy danym X możemy zdefiniować.
Przykład dyskretnej dystrybucji warunkowej
- Znajdź funkcja masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przy Y=1, jeśli funkcja masy łącznego prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych X i Y ma pewne wartości jako
p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3
Teraz przede wszystkim dla wartości Y = 1, którą mamy
a więc używając definicji funkcji masy prawdopodobieństwa
mamy
i
- uzyskać rozkład warunkowy X przy danym X + Y = n, gdzie X i Y są rozkładami Poissona z parametrami λ1 i λ2 a X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi
Ponieważ zmienne losowe X i Y są niezależne, więc rozkład warunkowy będzie miał funkcję masy prawdopodobieństwa jako
ponieważ suma zmiennej losowej Poissona jest ponownie poissona, więc
Zatem rozkład warunkowy z powyższą funkcją masy prawdopodobieństwa będzie rozkładem warunkowym dla takich rozkładów Poissona. Powyższy przypadek można uogólnić dla więcej niż dwóch zmiennych losowych.
Ciągła dystrybucja warunkowa
Ciągły rozkład warunkowy zmiennej losowej X podanej już y jest rozkładem ciągłym z funkcją gęstości prawdopodobieństwa
gęstość mianownika jest większa od zera, co dla funkcji gęstości ciągłej wynosi
zatem prawdopodobieństwo takiej warunkowej funkcji gęstości wynosi
Podobnie jak w dyskretnym, jeśli X i Y są niezależne w ciągłym, to również
i stąd
więc możemy to zapisać jako
Przykład dotyczący ciągłej dystrybucji warunkowej
- Obliczyć warunkową funkcję gęstości zmiennej losowej X przy danym Y, jeśli łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa z przedziałem otwartym (0,1) jest dana wzorem
Jeśli dla zmiennej losowej X podano Y w przedziale (0,1), to za pomocą powyższej funkcji gęstości otrzymujemy
- Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe
jeśli łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest dana przez
Aby znaleźć prawdopodobieństwo warunkowe, najpierw potrzebujemy funkcji gęstości warunkowej, a więc z definicji tak by była
teraz używając tej funkcji gęstości z prawdopodobieństwem warunkowe prawdopodobieństwo is
Rozkład warunkowy dwuwymiarowego rozkładu normalnego
Wiemy, że dwuwymiarowy rozkład normalny normalnych zmiennych losowych X i Y z odpowiednimi średnimi i wariancjami, ponieważ parametry mają łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa
więc aby znaleźć rozkład warunkowy dla takiego dwuwymiarowego rozkładu normalnego dla X, dane Y jest zdefiniowane przez podążanie za funkcją gęstości warunkowej ciągłej zmiennej losowej i powyższej funkcji gęstości złącza, którą mamy
Obserwując to, możemy powiedzieć, że rozkład normalny jest ze średnią
i wariancja
w podobny sposób warunkowa funkcja gęstości dla Y, której X już zdefiniowano, będzie po prostu zamieniła pozycje parametrów X z Y,
Funkcję gęstości krańcowej dla X możemy otrzymać z powyższej funkcji gęstości warunkowej wykorzystując wartość stałej
podstawmy w całce
funkcja gęstości będzie teraz
od łącznej wartości
z definicji prawdopodobieństwa, więc funkcja gęstości będzie teraz
która jest niczym innym jak funkcją gęstości zmiennej losowej X ze zwykłą średnią i wariancją jako parametrami.
Wspólny rozkład prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych
Jak dotąd znamy łączny rozkład prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych, teraz, jeśli mamy funkcje takich zmiennych losowych, to jaki byłby łączny rozkład prawdopodobieństwa tych funkcji, jak obliczyć gęstość i funkcję rozkładu, ponieważ mamy rzeczywiste sytuacje, w których mają funkcje zmiennych losowych,
Jeśli Y1 i Y2 są funkcjami zmiennych losowych X1 i X2 odpowiednio, które są łącznie ciągłe, to funkcja gęstości ciągłej połączenia tych dwóch funkcji będzie wynosić
gdzie Jakobian
i Y1 =g1 (X1, X2) i Y2 =g2 (X1, X2) dla niektórych funkcji g1 i g2 . Tutaj G1 i g2 spełnia warunki jakobiana jako ciągłe i ma ciągłe pochodne cząstkowe.
Teraz prawdopodobieństwo takich funkcji zmiennych losowych będzie
Przykłady wspólnego rozkładu prawdopodobieństwa funkcji zmiennych losowych
- Znajdź funkcję gęstości połączeń zmiennych losowych Y1 =X1 +X2 i Y2=X1 -X2 , gdzie X1 i X2 są łącznie ciągłymi z połączonymi funkcjami gęstości prawdopodobieństwa. omówić również odmienny charakter dystrybucji.
Tutaj najpierw sprawdzimy jakobian
ponieważ g1(x1X2) = x1 + X2 i g2(x1X2) = x1 - x2 so
upraszczając Y1 =X1 +X2 i Y2=X1 -X2 , dla wartości X1 = 1/2 (Y1 +Y2 ) i X2 = Y1 -Y2 ,
czy te zmienne losowe są niezależnymi jednolitymi zmiennymi losowymi
lub jeśli te zmienne losowe są niezależnymi wykładniczymi zmiennymi losowymi o zwykłych parametrach
lub jeśli te zmienne losowe są niezależnymi normalnymi zmiennymi losowymi wtedy
- Jeśli X i Y są niezależnymi standardowymi zmiennymi normalnymi, jak podano
obliczyć wspólny rozkład dla odpowiednich współrzędnych biegunowych.
Przekonwertujemy zwykłą konwersją X i Y na r i θ jako
więc częściowe pochodne tych funkcji będą
tak jest jakobianin używający tej funkcji
jeśli obie zmienne losowe X i Y są większe od zera, to funkcja warunkowej gęstości złącza jest
teraz konwersja współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe za pomocą
więc gęstość prawdopodobieństwa funkcjonować bo wartości dodatnie będą
dla innych kombinacje z X i Y funkcje gęstości w podobny sposób są
teraz ze średniej z powyższych gęstości możemy określić funkcję gęstości jako
i marginalna funkcja gęstości z tej gęstości połączenia biegunowych współrzędnych w przedziale (0, 2π)
- Znajdź funkcję gęstości połączeń dla funkcji zmiennych losowych
U = X + Y i V = X / (X + Y)
gdzie X i Y to rozkład gamma z parametrami (α + λ) i (β + λ).
Używając definicji rozkład gamma i łączną funkcję dystrybucji funkcja gęstości dla zmiennej losowej X i Y będzie
rozważ podane funkcje jako
g1 (x, y) = x + y, g2 (x, y) = x / (x + y),
więc zróżnicowanie tych funkcji jest
teraz jest jakobianin
po uproszczeniu podanych równań zmiennych x=uv i y=u(1-v) funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać
możemy użyć relacji
- Oblicz wspólną funkcję gęstości prawdopodobieństwa dla
Y1 =X1 +X2+ X3 Y2 =X1- X2 Y3 =X1 - X3
gdzie zmienne losowe X1, X2, X3 są standardem normalne zmienne losowe.
Obliczmy teraz jakobian, używając pochodnych cząstkowych
Y1 =X1 +X2+ X3 Y2 =X1- X2 Y3 =X1 - X3
as
upraszczanie dla zmiennych X1 , X2 i X3
X1 = (Y1 + Y2 + Y3) / 3, X2 = (Y1 - 2 lata2 + Y3) / 3, X3 = (Y1 + Y2 -2 lat3) / 3
możemy uogólnić funkcję gęstości stawów jako
więc mamy
dla zmiennej normalnej funkcja gęstości prawdopodobieństwa połączenia wynosi
stąd
gdzie jest indeks
obliczyć funkcję gęstości złącza Y1 …… Yn i funkcja gęstości krańcowej dla Yn gdzie
i Xi są niezależnymi, wykładniczymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie i parametrem λ.
dla zmiennych losowych postaci
Y1 =X1 Y2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn
jakobian będzie miał formę
stąd jego wartość wynosi jeden, a funkcja gęstości połączenia dla wykładniczej zmiennej losowej
i wartości zmiennej Xi będzie
tak więc funkcja gęstości spoiny jest
Teraz, aby znaleźć funkcję gęstości krańcowej Yn będziemy integrować jeden po drugim jako
i
jak mądry
jeśli będziemy kontynuować ten proces, otrzymamy
która jest funkcją gęstości krańcowej.
Wnioski:
Połączenia dystrybucja warunkowa dla dyskretnej i ciągłej zmiennej losowej z różnymi przykładami, biorąc pod uwagę niektóre z omawianych typów tych zmiennych losowych, gdzie niezależna zmienna losowa odgrywa ważną rolę. Ponadto staw rozkład funkcji łącznych ciągłych zmiennych losowych wyjaśnione również odpowiednimi przykładami, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejdź do poniższych linków.
Więcej informacji na temat matematyki można znaleźć w naszym Strona Matematyka
Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org
Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma
Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH
Jestem dr. Mohammeda Mazara Ul Haque. Ukończyłem doktorat. matematyki i pracuje na stanowisku adiunkta matematyki. Posiada 12-letnie doświadczenie w nauczaniu. Posiadanie ogromnej wiedzy z matematyki czystej, a dokładniej z algebry. Posiadanie ogromnej umiejętności projektowania i rozwiązywania problemów. Potrafi motywować kandydatów do podnoszenia swoich wyników.
Uwielbiam współtworzyć Lambdageeks, aby matematyka była prosta, interesująca i zrozumiała zarówno dla początkujących, jak i ekspertów.