13 faktów na temat nierówności Czebyszewa i centralnego twierdzenia granicznego

W teorii prawdopodobieństwa Nierówność Czebyszewa & centralne twierdzenie graniczne dotyczą sytuacji, w których chcemy znaleźć rozkład prawdopodobieństwa sumy dużej liczby zmiennych losowych w warunkach w przybliżeniu normalnych. znana jest średnia i wariancja.

Nierówność Markowa

Nierówność Markowa dla zmiennej losowej X, która przyjmuje tylko dodatnią wartość dla a>0, to

udowodnić to dla a>0 rozważ

Ponieważ

teraz biorąc oczekiwanie na tę nierówność, którą otrzymujemy

powodem jest

co daje nierówność Markowa dla a>0 as

Nierówność Czebyszewa

 Dla skończonych średnia i wariancja zmiennej losowej X nierówność Czebyszewa dla k>0 to

gdzie sigma i mu reprezentują wariancję i średnią zmiennej losowej, aby to udowodnić, używamy Nierówność Markowa jako nieujemna zmienna losowa

dla wartości a jako stałego kwadratu, stąd

to równanie jest równoważne

tak wyraźnie

Przykłady nierówności Markowa i Czebyszewa:

1. Jeżeli za zmienną losową dla tygodnia ze średnią 50 przyjmiemy produkcję danej pozycji, znajdź prawdopodobieństwo produkcji przekraczającej 75 w tygodniu i jakie byłoby prawdopodobieństwo, gdyby produkcja w tygodniu mieściła się w przedziale od 40 do 60, pod warunkiem, że wariancja dla tego tydzień to 25?

Rozwiązanie: Rozważ zmienną losową X dla produkcji przedmiotu przez tydzień, a następnie, aby znaleźć prawdopodobieństwo wyprodukowania przekraczające 75, użyjemy Nierówność Markowa as

Teraz użyjemy prawdopodobieństwa produkcji w przedziale od 40 do 60 z wariancją 25 Nierówność Czebyszewa as

so

pokazuje to prawdopodobieństwo dla tygodnia, jeśli produkcja wynosi od 40 do 60 wynosi 3/4.

2. Pokaż, że nierówność Czebyszewa która zapewnia górną granicę prawdopodobieństwa, nie jest szczególnie bliższa rzeczywistej wartości prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie:

Rozważmy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny ze średnią 5 i wariancją 25/3 w przedziale (0,1), a następnie przez nierówność Czebyszewa możemy pisać

ale rzeczywiste prawdopodobieństwo będzie

co jest dalekie od rzeczywistego prawdopodobieństwa, podobnie jeśli przyjmiemy zmienną losową X o normalnym rozkładzie ze średnią i wariancją wtedy Nierówność Czebyszewa będzie

ale rzeczywiste prawdopodobieństwo to

Słabe prawo wielkich liczb

Po słabym prawie dla sekwencji zmiennych losowych nastąpi wynik, że Nierówność Czebyszewa może służyć jako narzędzie do dowodu np. do udowodnienia

jeśli wariancja wynosi zero, to jedynymi zmiennymi losowymi mającymi wariancję równą 0 są te, które są stałe z prawdopodobieństwem 1, więc przez Nierówność Czebyszewa dla n większych lub równych 1

as

przez ciągłość prawdopodobieństwa

co potwierdza wynik.

aby to udowodnić, zakładamy, że wariancja jest również skończona dla każdej zmiennej losowej w ciągu, więc oczekiwanie i wariancja

teraz od Nierówność Czebyszewa górna granica prawdopodobieństwa as

które dla n zmierzające do nieskończoności będzie

Centralne twierdzenie Limit

Połączenia centralne twierdzenie graniczne jest jednym z ważnych wyników teorii prawdopodobieństwa, ponieważ daje rozkład do sumy dużych liczb, która jest w przybliżeniu normalna 分配 oprócz metody wyznaczania przybliżonych prawdopodobieństw dla sum niezależnych zmiennych losowych centralne twierdzenie graniczne pokazuje również częstości empiryczne tak wielu naturalnych populacji wykazuje krzywe średnich normalnych w kształcie dzwonu, Przed szczegółowym wyjaśnieniem tego twierdzenia korzystamy z wyniku

„Jeśli ciąg zmiennych losowych Z₁,Z₂,…. mieć funkcję dystrybucji i funkcję generowania momentu jako F_Zn oraz m_zn następnie

Centralne twierdzenie Limit: Dla ciągu identycznie rozłożonych i niezależnych zmiennych losowych X₁,X₂,……. z których każdy ma średnią μ i wariancja σ2 to rozkład sumy

dąży do standardowej normalnej, ponieważ n dąży do nieskończoności, aby a było wartościami rzeczywistymi

Dowód: Aby udowodnić wynik, rozważ średnią jako zero, a wariancję jako jeden ie μ=0 i σ²= 1 i funkcja generowania momentu dla X_i istnieje i ma skończoną wartość, więc funkcja generująca moment dla zmiennej losowej X_i/√n będzie

stąd funkcja generująca momenty dla sumy ΣX_i/√n będzie

Teraz weźmy L(t)=logM(t)

so

aby pokazać dowód, który pokazujemy jako pierwszy

pokazując jego równoważną formę

ponieważ

stąd pokazuje to wynik dla średniej zerowej i wariancji 1, a ten sam wynik wynika dla przypadku ogólnego również przez przyjęcie

i dla każdego mamy

Przykład centralnego twierdzenia Limit

Aby obliczyć odległość w roku świetlnym gwiazdy z laboratorium astronoma, używa on pewnych technik pomiarowych, ale z powodu zmian w atmosferze za każdym razem zmierzona odległość nie jest dokładna, ale z pewnym błędem, więc aby znaleźć dokładną odległość, którą planuje obserwować w sposób ciągły w sekwencji i średnią z tych odległości jako odległość szacowaną, Jeżeli weźmiemy pod uwagę wartości pomiaru identycznie rozłożonej i niezależnej zmiennej losowej o średniej d i wariancji 4 lata świetlne, znaleźć liczbę pomiarów do wykonania, aby uzyskać błąd 0.5 w wartości szacunkowej i rzeczywistej?

Rozwiązanie: Rozważmy pomiary jako niezależne zmienne losowe w sekwencji X₁,X₂,…….X_n więc przez Centralne twierdzenie Limit możemy pisać

co jest przybliżeniem do standardu normalna dystrybucja więc prawdopodobieństwo będzie

więc aby uzyskać dokładność pomiaru na poziomie 95 procent, astronom powinien zmierzyć n* odległości, gdzie

więc z tabeli rozkładu normalnego możemy zapisać to jako

co mówi, że pomiar należy wykonać 62 razy, można to również zaobserwować za pomocą Nierówność Czebyszewa biorąc

więc nierówność skutkuje

stąd dla n=16/0.05=320, co daje pewność, że będzie tylko 5% błędu pomiaru odległości gwiazdy od laboratorium obserwacji.

2. Liczba przyjętych studentów na kierunek inżynierski jest rozkładem Poissona ze średnią 100, zdecydowano, że jeśli przyjętych studentów ma 120 lub więcej, nauczanie będzie odbywać się w dwóch sekcjach, w przeciwnym razie tylko w jednej sekcji, jakie będzie prawdopodobieństwo, że będzie być dwie sekcje na kurs?

Rozwiązanie: podążając za rozkładem Poissona, dokładnym rozwiązaniem będzie

co oczywiście nie daje konkretnej wartości liczbowej, Jeśli uznamy zmienną losową X za przyjętą przez uczniów, to przez centralne twierdzenie graniczne

który może być

co jest wartością liczbową.

3. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma na kostce dziesiątej po rzucie wynosi od 30 do 40, w tym od 30 do 40?

Rozwiązanie: tutaj biorąc pod uwagę kostkę jako X_i dla dziesięciu wartości i. średnia i wariancja będą

w ten sposób podążając za centralne twierdzenie graniczne możemy pisać

co jest wymaganym prawdopodobieństwem.

4. Dla jednostajnie rozłożonych niezależnych zmiennych losowych X_i na przedziale (0,1) jakie będzie przybliżenie prawdopodobieństwa

Rozwiązanie: Z rozkładu Unifrom wiemy, że średnia i wariancja będą

Teraz używając centralne twierdzenie graniczne możemy

zatem suma zmiennej losowej wyniesie 14 proc.

5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że oceniający z egzaminu wystawi oceny wyniesie 25 egzaminów na początku 450 min, jeśli istnieje 50 egzaminów, których czas oceny jest niezależny ze średnią 20 min i odchyleniem standardowym 4 min.

Rozwiązanie: Rozważ czas potrzebny na ocenę egzaminu według zmiennej losowej X_i więc zmienna losowa X będzie

skoro to zadanie na egzamin 25 to w ciągu 450 min więc

tutaj używając centralne twierdzenie graniczne

co jest wymaganym prawdopodobieństwem.

Centralne twierdzenie Limit dla niezależnych zmiennych losowych

Dla ciągu, który nie jest identycznie rozłożony, ale ma niezależne zmienne losowe X₁,X₂,……. z których każdy ma średnią μ i wariancję σ² pod warunkiem, że to spełnia

1. każdy X_i jest jednolicie ograniczony
2. suma wariancji jest więc nieskończona

Silne prawo wielkich liczb

Silne prawo wielkich liczb jest bardzo istotną koncepcją teoria prawdopodobieństwa co mówi, że średnia ciągu zmiennej losowej o wspólnym rozkładzie z prawdopodobieństwem jeden zbiegnie się do średniej tego samego rozkładu

Zestawienie sprzedaży: Dla sekwencji identycznie dystrybuowane i niezależne zmienne losowe X₁,X₂,……. z których każdy ma skończoną średnią z prawdopodobieństwem jeden to

Dowód: Aby to udowodnić, rozważmy, że średnia każdej ze zmiennych losowych wynosi zero, a szereg

teraz za to rozważ moc tego jako

po rozwinięciu wyrazów po prawej stronie mamy wyrazy postaci

ponieważ są to niezależne, więc średnia z nich będzie

za pomocą kombinacji pary rozszerzenie serii będzie teraz

ponieważ

so

mamy

to sugeruje nierówność

stąd

Przez zbieżność szeregu, ponieważ prawdopodobieństwo każdej zmiennej losowej wynosi jeden tak

ponieważ

jeśli średnia każdej zmiennej losowej nie jest równa zero to z odchyleniem i prawdopodobieństwem możemy zapisać ją jako

or

co jest wymaganym wynikiem.

Jednostronna nierówność Czebyszewa

Jednostronna nierówność Czebyszewa dla zmiennej losowej X ze średnią zerową i skończoną wariancją, jeśli a>0 wynosi

aby to udowodnić rozważmy dla b>0 niech zmienna losowa X jako

co daje

więc używając Nierówność Markowa

co daje wymaganą nierówność. dla średniej i wariancji możemy zapisać to jako

To dalej można zapisać jako

Przykład:

Znajdź górną granicę prawdopodobieństwa, że ​​produkcja firmy, która jest rozłożona losowo, wyniesie co najmniej 120, jeśli produkcja tej pewnej firmy ma średnią 100 i wariancję 400.

Rozwiązanie:

Korzystanie z jednostronnego nierówność Czebyszewa

więc daje to prawdopodobieństwo produkcji w ciągu tygodnia co najmniej 120 wynosi 1/2, teraz granica tego prawdopodobieństwa zostanie uzyskana za pomocą Nierówność Markowa

który pokazuje górną granicę prawdopodobieństwa.

Przykład:

Setki par bierze się z dwustu osób mających stu mężczyzn, a sto kobiet znajduje górną granicę prawdopodobieństwa, że ​​co najwyżej trzydzieści par będzie składać się z mężczyzny i kobiety.

Rozwiązanie:

Niech zmienna losowa X_i as

więc para może być wyrażona jako

Ponieważ każdy mężczyzna może z równym prawdopodobieństwem być parą z pozostałymi ludźmi, w których sto to kobiety, więc średnia

w ten sam sposób, jeśli i i j nie są równe wtedy

as

stąd mamy

używając nierówność Czebyszewa

co mówi, że możliwość sparowania 30 mężczyzn z kobietami jest mniejsza niż sześć, więc możemy poprawić więź, używając jednostronna nierówność Czebyszewa

Chernoff związany

Jeżeli funkcja generująca moment jest już znana, to

as

w ten sam sposób możemy napisać dla t<0 as

Zatem ograniczenie Chernoffa można zdefiniować jako

ta nierówność oznacza wszystkie wartości t, zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Granice Chernoffa dla standardowej normalnej zmiennej losowej

Granice Chernoffa dla standardu normalna zmienna losowa czyja funkcja generująca moment

is

więc zminimalizowanie tej nierówności i wyrazów mocy po prawej stronie daje a> 0

a dla a<0 jest

Granice Chernoffa dla zmiennej losowej Poissona

Granice Chernoffa dla zmiennej losowej Poissona, której funkcja generująca momenty

is

więc zminimalizowanie tej nierówności i wyrazów mocy po prawej stronie daje a> 0

i byłoby

Przykład dotyczący granic Chernoffa

W grze, jeśli gracz jest równie prawdopodobne, że wygra lub przegra grę niezależnie od wcześniejszych wyników, znajdź chernoff związany z prawdopodobieństwem

Rozwiązanie: Niech X_i oznaczają wygraną gracza, wtedy prawdopodobieństwo będzie

dla ciągu n odtworzeń niech

więc funkcja generowania momentu będzie

tutaj przy użyciu rozwinięć wyrazów wykładniczych

więc mamy

teraz stosujemy właściwość funkcji generującej momenty

To daje nierówności

stąd

Wnioski:

Omówiono nierówności i twierdzenie graniczne dla dużych liczb, a także podano uzasadnione przykłady granic prawdopodobieństw, aby uzyskać wgląd w tę ideę. koncepcja łatwo, jeśli potrzebujesz dalszej lektury, przejrzyj poniższe książki lub więcej artykułu na temat prawdopodobieństwa, postępuj zgodnie z naszymi Strony matematyczne.

Pierwszy kurs prawdopodobieństwa Sheldona Rossa

Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma

Wprowadzenie do prawdopodobieństwa i statystyki autorstwa ROHATGI i SALEH