Charakterystyka wykresów funkcji: 5 ważnych faktów

Charakterystyka grafów funkcyjnych

Charakterystyka grafów funkcyjnych, w tym artykule omówiona zostanie koncepcja graficznej prezentacji funkcji oprócz wartości zmiennej występującej w funkcji. Aby czytelnicy mogli łatwo zrozumieć metodologię.

Który wykres przedstawia funkcje f (X) = | x-2 | - 1?

Jedno spojrzenie na wyrażenie po prawej stronie sprawia, że ​​zastanawiamy się, czym są te dwa słupki wokół -2? Cóż, te słupki są notacją dla bardzo specjalnej funkcji matematycznej, znanej jako funkcja modułu lub funkcja wartości bezwzględnej. Ta funkcja jest tak ważna w teoria funkcji że warto o nim powiedzieć kilka słów.

Powiedzmy, że mamy zdecydować o czasie wymaganym do przejścia z jednego miasta do drugiego. W tym przypadku, czy nie będziemy interesować się tylko odległością między dwoma miastami? Czy kierunek będzie miał jakiekolwiek znaczenie? Podobnie w badaniu rachunku różniczkowego często jesteśmy zmuszeni przeanalizować bliskość dwóch liczb, która jest wartością bezwzględną ich różnicy. Nie obchodzi nas, czy różnica jest pozytywna czy negatywna. Niemiecki matematyk Karl Weierstrass był tym, który zdał sobie sprawę z konieczności funkcji, która wyrażałaby wartość bezwzględną liczby. W 1841 roku Weierstrass zdefiniował funkcję Modulus i użył dwóch słupków jako jej symbolu. 

f (x) = x dla wszystkich x> 0

= -x dla wszystkich x <0

= 0 dla x = 0

W skrócie f (x) = | x |

Z definicji jasno wynika, że ​​funkcja ta nie ma żadnego wpływu na liczbę dodatnią. Jednak zmienia liczbę ujemną na dodatnią o tej samej wartości bezwzględnej. W związku z tym

| 5 | = 5

 7-2 5 =

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

Aby narysować wykres | x |, powinniśmy zacząć od wykresu f (x) = x, który jest prostą linią przechodzącą przez początek, nachyloną pod kątem 45 stopni do dodatniej strony osi X

Można powiedzieć, że górna połowa tego wykresu zostanie zachowana przez f (x) = | x | ponieważ ta funkcja nie zmienia liczb dodatnich. Dolna połowa wykresu musi jednak zmienić stronę, ponieważ | x | zawsze musi być pozytywny. Zatem wszystkie punkty w dolnej połowie funkcji f (x) = x zostaną teraz zastąpione w górnej połowie, zachowując tę ​​samą odległość od osi X. Innymi słowy, całość LEWA POŁOWA f (x) = | x | W rzeczywistości jest odbiciem dolnej połowy f (x) = x wokół osi X.

Na powyższym rysunku prawa połowa przedstawia wykresy | x | i x nałożone, podczas gdy lewa połowa przedstawia jeden jako odbicie drugiego. Należy pamiętać, że ta technika może być rozciągnięta na dowolną funkcję. Innymi słowy, łatwo sobie wyobrazić wykres | f (x) | jeśli znamy już wykres funkcji f (x). Kluczem jest zastąpienie dolnej połowy jej odbiciem względem osi X.

Teraz wiemy, jak wykreślić |x|. Ale nasz pierwotny problem wymaga narysowania wykresu |x-2|. Cóż, to nic innego jak zmiana pochodzenia od (0,0) do (2,0), ponieważ po prostu zmniejsza odczyt X wszystkich punktów o 2 jednostki, przekształcając w ten sposób f(x) w f(x-2).

Teraz -1 jest jedyną rzeczą, którą należy się zająć. Oznacza to odjęcie 1 od wszystkich punktów na | x-2 |. Innymi słowy, oznacza to pociągnięcie wykresu pionowo w dół o 1 jednostkę. Tak więc nowy wierzchołek byłby (2, -1) zamiast (2,0)

Który wykres przedstawia funkcje f (X) = - | x-2 | - 1?

Cóż, po analizie, którą właśnie wykonaliśmy, powinno to być całkiem proste. Jedyna różnica to znak minus przed |x-2|. Znak minus po prostu odwraca wykres |x-2| względem osi X. Możemy więc zrestartować poprzednie problem tuż po punkcie gdzie mieliśmy wykres |x-2|. Ale tym razem przed rozważeniem -1 odwrócimy wykres.

Następnie przeciągniemy go w dół o jedną jednostkę, aby uwzględnić -1. I gotowe.

Wykres funkcji musi być liniowy, jeśli ma jaką charakterystykę?

Co to jest prosta? Zwykle jest definiowana jako minimalna odległość między dwoma punktami na płaskiej powierzchni. Ale można to również zdefiniować pod innym kątem. Ponieważ płaszczyzna XY jest zbiorem punktów, możemy uznać dowolną linię na tej płaszczyźnie za miejsce lub ślad poruszającego się punktu lub za punkt, którego współrzędne X, Y zmieniają się.

Poruszanie się po linii prostej oznacza, że ​​ruch odbywa się bez zmiany kierunku. Innymi słowy, jeśli punkt zaczyna się poruszać z danego punktu i porusza się tylko w jednym określonym kierunku, to mówi się, że porusza się po linii prostej. Jeśli więc mamy wyrazić wykres liniowy jako funkcję, musimy znaleźć równanie dla warunku stałego kierunku.

Ale jak matematycznie wyrazić kierunek? Cóż, skoro mamy już dwie osie odniesienia w płaszczyźnie XY, kierunek prostej można wyrazić za pomocą kąta, jaki tworzy z którąkolwiek z dwóch osi. Załóżmy więc, że prosta jest nachylona pod kątem α. Ale to oznaczałoby rodzinę równoległych linii, a nie tylko jedną. Zatem α nie może być jedynym parametrem linii.

Zauważ, że linie różnią się jedynie punktem przecięcia z osią Y. Punkt przecięcia z osią Y to odległość od początku punktu, w którym linia styka się z osią Y. Nazwijmy ten parametr C. Mamy więc dwa parametry, α i C. Teraz spróbujmy wyprowadzić równanie prostej.

Z rysunku z prawego trójkąta powinno jasno wynikać, że dla dowolnego punktu (x, y) na prostej warunek obowiązujący musi być                      

(yc) / x = tanα.

⟹ y = xtanα + do

⟹y = mx + c, gdzie m = tanα

Stąd każde równanie postaci y = ax + b musi reprezentować linię prostą. Innymi słowy, f (x) = ax + b jest pożądaną postacią funkcji, aby była liniowa.

To samo można wyprowadzić również z konwencjonalnej definicji prostej, która stwierdza, że ​​linia jest najkrótszą drogą między dwoma punktami na płaskiej powierzchni. Zatem niech (x1, y1) i (x2, y2) będą dwoma punktami na prostej.

Dla każdego innego punktu na prostej warunek można wyprowadzić, zrównując nachylenia dwóch odcinków linii utworzonych przez trzy punkty, ponieważ linia musi zachować swoje nachylenie we wszystkich segmentach. Stąd równanie                                 

                                                                   (rr₁) / (xx₁) = (y₂-y₁) / (x₂-x₁)

                                                            ⟹y (x₂-x₁) + x (y₁-y₂) + (x₁y₂-y₁x₂) = 0

Równanie to ma postać Ax + By + C = 0, które można zapisać w postaci y = ax + b, którą znamy jako postać funkcji liniowej.

Który wykres jest używany do pokazania zmiany podanej zmiennej w przypadku zmiany drugiej zmiennej?

Aby narysować idealny wykres funkcji, potrzebowalibyśmy albo określonego wyrażenia algebraicznego, albo nieskończonej liczby punktów danych. W prawdziwym życiu obie nie są zazwyczaj dostępne. Dane, które posiadamy, są rozproszone. Innymi słowy, możemy mieć listę punktów (x, y), które można wykreślić na wykresie, ale punkty mogą nie być bardzo gęsto położone. Ale i tak musimy połączyć te punkty, ponieważ nie ma innego sposobu, aby spojrzeć na wzór lub trend zmiennych. Tak otrzymany wykres nazywany jest wykresem liniowym.

Jest tak nazwany, ponieważ sąsiednie punkty są połączone liniami prostymi. Ten wykres najlepiej nadaje się do zilustrowania związku między dwiema zmiennymi, gdzie jedna jest zależna od drugiej i obie się zmieniają. Wykresy szeregów czasowych to przykłady wykresów liniowych, na których oś X przedstawia czas w jednostkach godzin / dni / miesięcy / lat, a oś Y przedstawia zmienną, której wartość zmienia się w czasie.

Obroty	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
Rok	4000	4700	4450	4920	5340	5120	5450	5680	5560	5900

Funkcja okresowa

Gdy zmienna zależna powtarza swoją wartość w określonym okresie lub interwale zmiennej niezależnej, funkcja jest nazywana okresową. Interwał nazywany jest okresem lub okresem podstawowym, czasem również jako okres podstawowy lub okres pierwszy. Kryterium, aby funkcja była okresowa, to pewna stała rzeczywista T, f (x + T) = f (x). Co oznacza, że ​​f (x) powtarza swoją wartość po każdych T jednostkach x. Możemy zanotować wartość funkcji w dowolnym momencie i znajdziemy tę samą wartość w jednostkach T po prawej i lewej stronie do tego punktu. To jest cecha funkcji okresowej.

Powyższy rysunek przedstawia okresowe zachowanie Sinx. Bierzemy dwie losowe wartości x, jako x1 i x2 i rysujemy linie równoległe do osi x od sin (x1) i sin (x2). Zauważmy, że obie linie ponownie spotykają się z wykresem w odległości dokładnie 2π. Stąd okres Sinx wynosi 2π. Zatem możemy zapisać sin (x + 2 π) = sinx dla dowolnego x. Inne funkcje trygonometryczne również są okresowe. Cosinus ma ten sam okres co Sin, podobnie jak Cosec i Sec. Opalenizna ma okres π, podobnie jak Cot.

Który termin określa liczbę cykli funkcji okresowej, które mają miejsce w jednej jednostce poziomej?

Jeden pełny okres nazywany jest cyklem. Tak więc istnieje dokładnie jeden cykl w jednostkach T x. Stąd w jednej jednostce x występują cykle 1 / T. Liczba 1 / T ma szczególne znaczenie w badaniu funkcji okresowych, ponieważ mówi, jak często funkcja powtarza swoje wartości. Stąd określenie „częstotliwość” jest przypisane liczbie 1 / T. Częstotliwość jest oznaczona przez „f”, którego nie należy mylić z funkcją „f”. Im wyższa częstotliwość, tym więcej cykli przypada na jednostkę. Częstotliwość i okres są do siebie odwrotnie proporcjonalne, powiązane jako f = 1 / T lub T = 1 / f. Dla Sin (X) okres wynosi 2π, więc częstotliwość będzie wynosić 1 / 2π.

Przykłady:

1. Oblicz okres i częstotliwość grzechu (3x)

Ponieważ Sin (x) ma jeden cykl w 2π, Sin (3x) będzie miał 3 cykle w 2π, gdy x postępuje 3 razy szybciej w Sin (3x). Zatem częstotliwość byłaby 3 razy większa od Sin (x), czyli 3 / 2π. To sprawia, że ​​okres 1 / (3 / 2π) = 2π / 3

2. Oblicz okres Sin2x + sin3x

Zauważ, że każda całkowita wielokrotność podstawowego okresu jest również okresem. W tym problemie występują dwie składowe funkcji. Pierwszy ma okres π, a drugi 2π / 3. Ale te dwa są różne, więc żaden z nich nie może być okresem funkcji złożonej. Ale jakikolwiek jest okres kompozycji, musi to być również okres składników. Zatem musi to być wspólna liczba całkowita będąca wielokrotnością ich obu. Ale może być ich nieskończenie wiele. Stąd okres podstawowy byłby najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów składników. W tym zadaniu Lcm (π, 2π / 3) = 2π 

3. Oblicz okres (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

Jest to trywialne, ale dość interesujące, aby zauważyć, że reguła, którą wymyśliliśmy w poprzednim zadaniu, faktycznie ma zastosowanie do dowolnej kompozycji funkcji okresowych. Tak więc w tym przypadku również okres obowiązywania byłby LCM okresów składników. To jest LCM (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π

4. Oblicz okres Sinx + sin πx

Na początku wydaje się oczywiste, że okres powinien być LCM (2π, 2), ale potem zdajemy sobie sprawę, że taka liczba nie istnieje, ponieważ 2π jest irracjonalne, więc są jego wielokrotności, a 2 jest wymierne, podobnie jak jego wielokrotności. Tak więc nie może istnieć wspólna wielokrotność liczby całkowitej dla tych dwóch liczb. Dlatego funkcja ta nie jest okresowa.

Funkcja części ułamkowej {x} jest okresowa.

f (x) = {x}

Jest to znane jako funkcja części ułamkowej. Pozostawia największą część całkowitą liczby rzeczywistej i pomija tylko część ułamkową. Tak więc jego wartość zawsze mieści się w zakresie od 0 do 1, ale nigdy nie jest równa 1. Ten wykres powinien jasno wskazywać, że ma okres 1.

                                                                           

WNIOSEK

Do tej pory omawialiśmy charakterystykę grafów funkcyjnych. Powinniśmy teraz mieć jasność co do Charakterystyki i różnych typów wykresów. Mieliśmy też pomysł na graficzną interpretację funkcji. W następnym artykule omówimy bardziej szczegółowo pojęcia takie jak zakres i dziedzina, funkcje odwrotne, różne funkcje i ich wykresy, a także wiele opracowanych problemów. Aby zagłębić się w badanie, zachęcamy do przeczytania poniżej

Calculus autorstwa Michaela Spivaka.

Algebra autorstwa Michaela Artina.

Więcej artykułów matematycznych kliknij tutaj.