Belka wspornikowa: 11 faktów, które powinieneś wiedzieć

Zawartość: belka wspornikowa

• Definicja belki wspornikowej
• Schemat korpusu swobodnego belki wspornikowej
• Warunki brzegowe belki wspornikowej
• Wyznacz wewnętrzne ścinanie i moment zginający belki wspornikowej w funkcji x
• Wyznaczanie siły ścinającej i momentu zginającego działającego w odległości 2 m od swobodnego końca belki wspornikowej z obciążeniem równomiernie rozłożonym (UDL)
• Równanie krzywej ugięcia dla belki wspornikowej z obciążeniem równomiernie rozłożonym
• Belka wspornikowa Sztywność i wibracje
• Gięcie belki wspornikowej spowodowane czystym momentem zginającym wywołującym naprężenie zginające
• Znajdowanie naprężenia zginającego wspornika wywołanego obciążeniem równomiernie rozłożonym (UDL)
• Pytanie i odpowiedź dotyczące belki wspornikowej

Definicja belki wspornikowej

„Wspornik to sztywny element konstrukcyjny, który rozciąga się poziomo i jest podparty tylko na jednym końcu. Zwykle rozciąga się od płaskiej pionowej powierzchni, takiej jak ściana, do której musi być mocno przymocowany. Podobnie jak inne elementy konstrukcyjne, wspornik może być utworzony jako belka, płyta, kratownica lub płyta ”.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantilever

Belka wspornikowa to belka, której jeden koniec jest zamocowany, a drugi koniec jest wolny. Stała podpora zapobiega przemieszczaniu się i ruchowi obrotowemu belki na tym końcu. Belka wspornikowa umożliwia przewieszanie bez dodatkowego podparcia. Kiedy obciążenie jest przyłożone do wolnego końca belki, wspornik przenosi to obciążenie na podporę, gdzie przykłada siłę ścinającą [V] i moment zginający [BM] na końcu nieruchomym.

Schemat swobodnego korpusu belki wspornikowej

Rozważmy belkę wspornikową z obciążeniem punktowym działającym na wolny koniec belki.

Schemat swobodnego ciała dla belki wspornikowej jest przedstawiony poniżej:

Warunki brzegowe belki wspornikowej

Siły reakcji i moment w punkcie A można obliczyć, stosując warunki równowagi z

\\suma F_y=0, \\suma F_x=0 ,\\suma M_A=0

Dla równowagi poziomej

\\suma F_x=0

R_ {HA} = 0

Dla równowagi pionowej

\\suma F_y=0
\\\\R_{VA}-W=0
\\\\R_{VA}=W

Biorąc Moment około A, moment zgodny z ruchem wskazówek zegara dodatni i moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest traktowany jako ujemny

WL-M_A = 0

M_A = WL

Wyznacz wewnętrzne ścinanie i moment zginający belki wspornikowej w funkcji x

Rozważ belkę wspornikową z równomiernie rozłożonym obciążeniem pokazanym na poniższym rysunku.

Wynikowe obciążenie działające na belkę z powodu UDL może być określone przez

W = powierzchnia prostokąta

szer. = dł. * szer

W = wL

Równoważne obciążenie punktowe wL będzie działać na środku belki. tj. na poziomie L / 2

Diagram swobodnego ciała belki staje się

Wartość reakcji w punkcie A można obliczyć, stosując warunki równowagi

\\suma F_y=0, \\suma F_x=0 ,\\suma M_A=0

Dla równowagi poziomej

\\suma F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Dla równowagi pionowej

\\suma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=wL

Biorąc Moment około A, moment zgodny z ruchem wskazówek zegara dodatni i moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest traktowany jako ujemny

wL*\\frac{L}{2}-M_A=0 \\\\M_A=\\frac{wL^2}{2}

Niech XX będzie interesującą sekcją w odległości x od wolnego końca

Zgodnie z omówioną wcześniej konwencją znaków, jeśli zaczniemy obliczać siłę ścinającą z Lewa strona lub Lewy koniec belki, Siła działająca w górę jest traktowany jako Pozytywny, i Siła działająca w dół jest traktowany jako Negatywny.

Siła ścinająca w punkcie A wynosi 

S.F_A = R_ {VA} = wL

w regionie XX jest

S.F_x=R_{VA}-w[Lx] \\\\S.F_x=wL-wL+wx=wx

Siła ścinająca w B wynosi

SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0

Wartości siły ścinającej w punktach A i B określają, że siła ścinająca zmienia się liniowo od końca stałego do końca swobodnego.

Dla BMD, jeśli zaczniemy obliczać moment zginający z Lewa strona lub Lewy koniec belki, Moment zgodny z ruchem wskazówek zegara jest traktowany jako Pozytywy i Moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest traktowany jako Negatywny.

BM w A

B.M_A=M_A=\\frac{wL^2}{2}

BM w X

B.M_x=M_A-w[Lx] \\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(Lx)^2}{2}

\\\\B.M_x=wx(L-\\frac{x}{2})

BM w B

B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}

\\\\B.M_B=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{wL^2}{2}=0

Wyznaczanie siły ścinającej i momentu zginającego działającego w odległości 2 m od swobodnego końca belki wspornikowej z obciążeniem równomiernie rozłożonym (UDL)

Rozważ belkę wspornikową z równomiernie rozłożonym obciążeniem pokazanym na poniższym rysunku. tylko w = 20 N / m. L = 10 m, x = 2 m

Wynikowe obciążenie działające na belkę z powodu UDL może być określone przez

W = powierzchnia prostokąta

W = 20 * 10

W = 200 N.

Równoważne obciążenie punktowe wL będzie działać na środku belki. tj. na poziomie L / 2

Diagram swobodnego ciała belki staje się,

Wartość reakcji w punkcie A można obliczyć, stosując warunki równowagi

\\suma F_y=0, \\suma F_x=0 ,\\suma M_A=0

Dla równowagi poziomej

\\suma F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Dla równowagi pionowej

\\suma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 N

Biorąc Moment około A, moment zgodny z ruchem wskazówek zegara dodatni i moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest traktowany jako ujemny

200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-m

Niech XX będzie interesującą sekcją w odległości x od wolnego końca

Zgodnie z omówioną wcześniej konwencją znaków, jeśli zaczniemy obliczać siłę ścinającą z Lewa strona lub Lewy koniec belki, Siła działająca w górę jest traktowany jako Pozytywny, i Siła działająca w dół jest traktowany jako Negatywny.

Siła ścinająca w punkcie A wynosi 

S.F_A=R_{VA}=wL \\\\S.F_A=200 N

w regionie XX jest

S.F_x=R_{VA}-w[Lx] \\\\S.F_x=wL-wL+wx=wx

dla x = 2 m

\\\\S.F_x=wx=20*2=40\\;N

Siła ścinająca w B wynosi

SF=R_{VA}-wL \\\\S.F_B=wL-wL=0

Wartości siły ścinającej w punktach A i B określają, że siła ścinająca zmienia się liniowo od końca stałego do końca swobodnego.

Dla BMD, jeśli zaczniemy obliczać moment zginający z Lewa strona lub Lewy koniec belki, Moment zgodny z ruchem wskazówek zegara jest traktowany jako Pozytywy i Moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest traktowany jako Negatywny.

BM w A

B.M_A = M_A

B.M_A=1000\\;Nm

BM w X

B.M_x = M_A-w [Lx]

\\\\B.M_x=\\frac{wL^2}{2}-\\frac{w(L-x)^2}{2}=wx[L-\\frac{x}{2}]

\\\\B.M_x=20*2*[10-\\frac{2}{2}]=360\\;N.m

BM w B

B.M_B=M_A-\\frac{wL^2}{2}=1000-\\frac{20*10^2}{2}=0

Równanie krzywej ugięcia dla belki wspornikowej z obciążeniem równomiernie rozłożonym

Rozważ belkę wspornikową o długości L pokazaną na poniższym rysunku z równomiernie rozłożonym obciążeniem. Wyprowadzimy równanie na nachylenie i ugięcie dla tej belki przy użyciu metody podwójnej integracji.

Moment zginający działający w odległości x od lewego końca można otrzymać jako:

M=-wx* \\frac{x}{2}

Korzystając z równania różniczkowego krzywej,

\\frac{d^2y}{dx^2}=M = \\frac{-wx^2}{2}

Integracja, gdy już otrzymamy,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+C_1………..[1]

Całkowanie równania [1] otrzymujemy,

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Stałe całkowania można uzyskać za pomocą warunków brzegowych,

Przy x = L, dy / dx = 0; ponieważ wsparcie w punkcie A jest odporne na ruchy. Zatem z równania [1] otrzymujemy:

C_1=\\frac{wL^3}{6}

Przy x = L, y = 0, Brak ugięcia na podporze lub ustalonym końcu A Zatem z równania [2] otrzymujemy:

0= \\frac{-wL^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} *L+C_2

C_2= \\frac{-wL^4}{8}

Podstawiając wartość stałej w [1] i [2] otrzymujemy nowe zestawy równań jako

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}………..[3]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}……..[4]

Oszacuj nachylenie przy x = 12 mi maksymalne ugięcie na podstawie podanych danych: ja = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Z powyższych równań: przy x = 12 m,

EI \\frac{dy}{dx}= \\frac{-wx^3}{6}+\\frac{wL^3}{6}

210*10^9*722*10^{-8}* \\frac{dy}{dx}= \\frac{-20*12^3}{6}+\\frac{20*20^3}{6}

\\frac{dy}{dx}=0.01378 \\;radianów

Z równania [4]

EIy= \\frac{-wx^4}{24}+\\frac{wL^3}{6} -\\frac{wL^4}{8}

210*10^9*722*10^{-8}*y= \\frac{-20*12^4}{24}+\\frac{20*20^3}{6} -\\frac{20*20^4}{8}

y=-0.064 \\;m

Belka wspornikowa Sztywność i wibracje

Sztywność można zdefiniować jako odporność na zginanie, ugięcie lub odkształcenie na moment zginający. Stosunek maksymalnego obciążenia przyłożonego do maksymalnego ugięcia belki można nazwać sztywnością belki.

W przypadku belki wspornikowej z siłą W na wolnym końcu maksymalne ugięcie jest wyrażone przez

δ=\\frac{WL^3}{3EI}

Gdzie W = przyłożone obciążenie, L = długość belki, E = moduł Younga, I = drugi moment bezwładności

Sztywność jest określona przez,

k=W/δ \\\\k=W/\\frac{WL^3}{3EI}

\\\\k=\\frac{3EI}{L^3} 

Częstotliwość drgań własnych można zdefiniować jako częstotliwość, przy której układ ma tendencję do drgań przy braku siły napędowej lub oporu.

ω_n=\\sqrt{k/m} \\\\ω_n=\\sqrt{\\frac{3EI}{L^3m} }

Gdzie m = masa belki.

Gięcie belki wspornikowej spowodowane czystym zginaniem Moment wywołujący naprężenie zginające

Kiedy członek jest poddawany równym i przeciwstawnym parom w płaszczyźnie członka, jest to definiowane jako czyste zginanie. W przypadku czystego zginania Siła ścinająca działająca na belkę wynosi zero.

Założenia: Materiał jest jednorodny

Prawo Haka ma zastosowanie

Członek jest pryzmatyczny

Para jest nakładana w płaszczyźnie członka

Po zgięciu belki nie następuje wypaczenie przekroju poprzecznego

Profil odkształcenia musi być liniowy względem osi neutralnej

Rozkład naprężeń jest liniowy od osi neutralnej do górnych i dolnych włókien belki.

Równanie momentu zginającego Eulera-Bernoulliego jest podane przez

\\frac{M}{I}=\\frac{\\sigma_b}{y}=\\frac{E}{R}

M = przyłożony moment zginający na przekroju poprzecznym belki.

I = Drugi obszarowy moment bezwładności

σ = naprężenie zginające wywołane w pręcie

y = Odległość w pionie między obojętną osią wiązki a żądanym włóknem lub elementem w mm

E = moduł Younga w MPa

R = promień krzywizny w mm

Naprężenie zginające dla belki wspornikowej o średnicy da przyłożone obciążenie W można podać jako,

Naprężenie zginające będzie działało na stałe podparcie belki

Moment zastosowany M = WL

Moment bezwładności drugiego obszaru

I=\\frac{\\pi}{64}d^4

Odległość w pionie między obojętną osią wiązki a żądanym włóknem lub elementem

y = d / 2

Naprężenie zginające podano jako

σ=\\frac{Mój{I}

\\\\σ=\\frac{32WL}{\\pi d^3}

Znajdowanie naprężenia zginającego działającego na belkę wspornikową z obciążeniem równomiernie rozłożonym (UDL)

Rozważmy belkę wspornikową z równomiernie rozłożonym obciążeniem pokazanym na poniższym rysunku ja = 722 cm⁴ , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

Siły reakcji i moment w punkcie A można obliczyć, stosując warunki równowagi z

\\suma F_y=0, \\suma F_x=0 ,\\suma M_A=0

Dla równowagi poziomej

\\suma F_x=0
\\\\R_{HA}=0

Dla równowagi pionowej

\\suma F_y=0
\\\\R_{VA}-wL=0
\\\\R_{VA}=200 N

Biorąc Moment około A, moment zgodny z ruchem wskazówek zegara dodatni i moment przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest traktowany jako ujemny

200*\\frac{10}{2}-M_A=0
\\\\M_A=1000 \\;N-m

Obezwładniający stres

σ=\\frac{Mój{I}

σ=\\frac{1000*50*10^{-3}}{2*722*10^{-8}}

σ=3.238\\;MPa

Pytanie i odpowiedź dotyczące belki wspornikowej

P.1 Jaki jest stosunek maksymalnego obciążenia przyłożonego do maksymalnego ugięcia belki?

Odp: Sztywność można zdefiniować jako odporność na ugięcie przy zginaniu lub odkształcenie na moment zginający. Stosunek maksymalnego obciążenia przyłożonego do maksymalnego ugięcia belki można nazwać sztywnością belki.

P.2 Zdefiniuj belkę wspornikową?

Odp: Belka wspornikowa to belka, której jeden koniec jest przymocowany, a drugi koniec jest wolny. Stała podpora zapobiega przemieszczaniu się i ruchowi obrotowemu belki na tym końcu. Belka wspornikowa umożliwia przewieszanie bez dodatkowego podparcia. Kiedy obciążenie jest przyłożone do wolnego końca belki, wspornik przenosi to obciążenie na podporę, gdzie przykłada siłę ścinającą [V] i moment zginający [BM] w kierunku końca stałego.

P.3 Belka wspornikowa jest poddawana równomiernie rozłożonemu obciążeniu na całej długości belki, jaki będzie kształt wykresu siły ścinającej i momentu zginającego?

Odp.: W przypadku belki wspornikowej poddanej równomiernie rozłożonemu obciążeniu na całej długości belki, wykres siły ścinającej będzie miał kształt krzywej liniowej i Wykres momentu zginającego będzie krzywą paraboliczną.

P.4 Wspornik jest poddawany równomiernie zmieniającemu się obciążeniu na długości belki, zaczynając od zera od wolnego końca. Jaki będzie kształt wykresu siły ścinającej i momentu zginającego?

Odp: W przypadku belki wspornikowej poddanej równomiernie zmieniającemu się obciążeniu na całej długości belki, wykres siły ścinającej będzie miał kształt krzywej parabolicznej, a wykres momentu zginającego będzie krzywą sześcienną lub krzywą trzeciego stopnia.

P.5 Gdzie działa rozciąganie i ściskanie podczas zginania belek wspornikowych?

Ans: Dla belki wspornikowej o danej rozpiętości, maksymalne naprężenie zginające będzie na stałym końcu belki. W przypadku obciążenia netto w dół maksymalne naprężenie rozciągające zginające działa na górze przekroju, a max naprężenie ściskające działa na dolne włókno belki.

P.6 Wspornik poddawany jest działaniu momentu (M) na całej długości belki, jaka będzie siła ścinająca i moment zginający?

Odp: Dla belki wspornikowej poddanej działaniu momentu M na długości belki siła ścinająca będzie wynosić zero, ponieważ żadna zewnętrzna siła zginająca nie będzie działała na belkę, a moment zginający pozostanie stały na całej długości belki.

Wiedzieć o wytrzymałości materiału (kliknij tutaj)i diagram momentu zginającego Kliknij tutaj

Hakimuddin Bawangaonwala

Nazywam się Hakimuddin Bawangaonwala, inżynier projektu mechanicznego ze specjalistyczną wiedzą w zakresie projektowania i rozwoju mechanicznego. Ukończyłem studia magisterskie na kierunku inżynieria projektowa i posiadam 2.5-letnie doświadczenie badawcze. Do chwili obecnej opublikowano dwa artykuły badawcze na temat toczenia na twardo i analizy elementów skończonych urządzeń do obróbki cieplnej. Mój obszar zainteresowań to projektowanie maszyn, wytrzymałość materiału, przenikanie ciepła, inżynieria cieplna itp. Biegła obsługa oprogramowania CATIA i ANSYS dla CAD i CAE. Oprócz badań.