Zmienna losowa dwumianowa i Poissona i jej własności
Zmienna losowa, która dotyczy sukcesu i niepowodzenia eksperymentu losowego dla n powtórzeń, była znana jako Zmienna losowa dwumianowa definicja jej funkcji prawdopodobieństwa dotyczy tylko prawdopodobieństwa sukcesu p i prawdopodobieństwa niepowodzenia q, definicja z przykładami już widzieliśmy, teraz ze zrozumieniem widzimy niektóre właściwości takiej dyskretnej zmiennej losowej,
Oczekiwanie i wariancja dwumianowej zmiennej losowej
Oczekiwanie i wariancja dwumianowej zmiennej losowej z n powtórzeń ip jako prawdopodobieństwem sukcesu są
E [X] = np
i Var (X) = np (1-p)
teraz rozważ pokazanie tym dwóm oczekiwaniom zmiennej losowej mocy k, postępując zgodnie z definicją prawdopodobieństwo funkcji masowej dla dwumianowej zmiennej losowej jako,
gdzie Y jest kolejną dwumianową zmienną losową z n-1 prób i p jako prawdopodobieństwem sukcesu, Jeśli weźmiemy wartość k = 1, otrzymamy
E [X] = np
a jeśli podstawimy k = 2, otrzymamy
DAWNY2] = npE [Y + 1]
= np [(n-1) p + 1]
więc będziemy łatwo
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= np [(n-1) p + 1] - (np)2
= np (1-p)
Przykład: Dla bezstronnej monety wykonaj doświadczenie rzucania 100 razy, a dla liczby ogonów, które pojawiły się w tym przypadku, znajdź średnią, wariancję i odchylenie standardowe takiego eksperymentu.
Prawdopodobieństwo sukcesu ogona za jeden rzut wynosi p = 1/2 = 0.5
więc średnia takiego eksperymentu wynosi
E [X] = np
ponieważ eksperyment jest dwumianowy jako jedyny sukces lub porażka, otrzymamy dla n liczby powtórzeń
więc jak μ = np
μ = 100x (0.5) = 50
Podobnie wariancja i odchylenie standardowe będą
Var (X) = np (1-p)
σ2= np(1-p)
Wartość byłaby
σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25
Przykład: Znajdź średnią i odchylenie standardowe dla prawdopodobieństwa usterki 0.1 w firmie produkującej śruby z partii 400 śrub.
tutaj n = 400, p = 0.1, średnia = np = 400 × 0.1 = 40
ponieważ
σ2= np(1-p)
tak będzie odchylenie standardowe
Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo dokładnie, mniej niż i co najmniej 2 sukcesów, jeśli średnia i odchylenie standardowe dla dwumianowej zmiennej losowej wynosi odpowiednio 4 i 2.
Ponieważ średnia = np = 4
a wariancja = np(1-p) = 2,
więc 4(1-p)=2
(1-p) = 1/2
p = 1- (1/2)
wprowadzając tę wartość do środka,
np = 4
n (1/2) = 4
n = 8
prawdopodobieństwo dokładnie 2 sukcesów będzie
prawdopodobieństwo mniej niż 2 sukcesów będzie
p (X <2)
= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256
Prawdopodobieństwo co najmniej 2 sukcesów
p (X> 2) = 1- p (X <2)
= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256
Zmienna losowa Poissona
Dyskretna zmienna losowa X, która przyjmuje wartości 0,1,2 …… .. jest znana jako zmienna losowa Poissona przewidziana dla dowolnej λ> 0, której funkcja masy prawdopodobieństwa musi być
or
as
Gdy n jest bardzo duże, a prawdopodobieństwo sukcesu p jest bardzo małe, w takim przypadku zmienna losowa Poissona z jej funkcją masy prawdopodobieństwa stała się przybliżeniem dwumianowej zmiennej losowej z odpowiednim pmf, ponieważ oczekiwanie w tym przypadku, czyli np. być λ = np .
Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo, że na każdej stronie książki występuje co najmniej jeden błąd pisarski, który ma rozkład Poissona ze średnią 1/2 dla jednej strony.
Niech dyskretna zmienna losowa X oznacza błędy na stronie. więc zmienna losowa Poissona ma funkcję masy prawdopodobieństwa jako
λ = 1/2
Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo, że próbka 10 pozycji wyprodukowanych przez maszynę z 0.1 prawdopodobieństwem wadliwej produkcji ma najwyżej jeden wadliwy przedmiot.
Możemy to rozwiązać zarówno za pomocą funkcji masy prawdopodobieństwa dwumianowego, jak i funkcji masy prawdopodobieństwa Poissona, więc rozwiązujemy to przez Poissona
Oczekiwanie i wariancja zmiennej losowej Poissona
Oczekiwanie i wariancja zmiennej losowej Poissona z n powtórzeń ip jako prawdopodobieństwem sukcesu są
E [X] = np = λ
i
Var (X) = np = λ
Przed pokazaniem wyniku musimy pamiętać, że zmienna losowa Poissona to nic innego jak przybliżenie zmiennej losowej dwumianowej, więc np= λ teraz oczekiwanie przy użyciu funkcji masy prawdopodobieństwa będzie
Oznacza to, że matematyczna wartość oczekiwana zmiennej losowej Poissona jest równa jej parametrowi, podobnie do obliczenia wariancji i odchylenia standardowego zmiennej losowej Poissona wymagamy kwadratu X, więc
Powyższe podsumowanie jest oczywiste, ponieważ dwie z sum to oczekiwanie i suma prawdopodobieństw.
Zatem wartość wariancji, którą otrzymamy, wynosi
Var (X) = E [X2] - (E [X])2
= λ
więc w przypadku zmiennej losowej Poissona średnia i wariancja mają tę samą wartość, tj. np. jako parametr.
Połączenia Zmienna losowa Poissona jest przybliżeniem dobrym do znajdowania różnorodnych procesów, np. znajdowania występowania liczby trzęsień ziemi w określonym czasie, znajdowania liczby elektronów w określonym czasie od rozgrzanej katody, znajdowania możliwej liczby zgonów w określonym czasie lub liczby wojen w danym roku itp
Przykład : Oblicz prawdopodobieństwo, że całkowita liczba pasażerów w ciągu dwóch dni jest mniejsza niż 2. Jeśli liczba przylotów pasażerów ze średnią 5 jest zgodna ze zmienną losową Poissona. średnia = np = 5
Jeśli weźmiemy pod uwagę liczbę pasażerów w ciągu dwóch dni mniej niż 2, byłoby to
| Pierwszy dzień | Drugi dzień | W sumie |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
więc prawdopodobieństwo będzie połączenie z tych dwóch dni jak
=e-10[1+5+5]
=11e-10
= 114.5410-5
= 4.994 * 10-4
Przykład: Obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia 4 lub więcej wadliwych skraplaczy z zestawu 100 skraplaczy, pod warunkiem, że wada fabryczna skraplaczy wynosi 1%.
Tutaj p = 1% = 0.01 in = 100 * 0.01 = 1
więc możemy użyć funkcji masy prawdopodobieństwa zmiennych losowych Poissona PMF
średnia = np = 100 * 0.01 = 1
więc prawdopodobieństwo wystąpienia 4 lub więcej wadliwych kondensatorów będzie
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
Przykład: Jeśli istnieje prawdopodobieństwo, że produkt ma wadę produkcyjną wynoszącą 0.002, dla paczki zawierającej 10 takich produktów, jakie byłoby prawdopodobieństwo, że w takiej paczce nie ma wad, jeden wadliwy i dwa wadliwe produkty z przesyłki po 50000 pakiety tego samego produktu.
Tutaj dla pojedynczego opakowania prawdopodobieństwo wady, tj. p=0.002, n=10
wtedy średnia np=0.002*10=0.020
znajdziemy dla każdego przypadku jako
Z tabeli jasno wynika, że liczba wadliwych łopat w pakietach zero, jeden i dwa wyniesie odpowiednio 4900,980,10.
Wnioski:
W tym artykule omówiliśmy niektóre właściwości jednego z Dwumianowa zmienna losowa, Zmienna losowa Poissona i eksperyment losowy. Jeszcze jedna dyskretna zmienna losowa, czyli zmienna losowa Poissona, omówiona z właściwościami. Przykład rozkładu funkcji masy prawdopodobieństwa, oczekiwania, wariancji i odchylenia standardowego również wzięty dla lepszego zrozumienia. W następnych artykułach postaramy się omówić bardziej dyskretne zmienne losowe, jeśli chcesz dalej czytać, Strona Matematyka.
Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma
