Wzór na zginanie: kilka przypadków użycia i przykładów

W tym artykule omówiono wzór naprężeń zginających dla różnych typów konfiguracji belek. Wszyscy wiemy, że kiedy obiekt wygina się pod wpływem obciążenia, mówi się, że jest poddawany zginaniu.

Bardzo ważne jest, aby znać wielkość naprężeń zginających, jakich doświadcza obrabiany przedmiot. Obrabiany przedmiot pęknie, jeśli zastosowane naprężenie zginające przekroczy maksymalne dopuszczalne naprężenie zginające. Gięcie jest determinacja. materiału jest maksymalną wartością wytrzymałości na zginanie, którą można zastosować na obrabianym przedmiocie, zanim obrabiany element zacznie pękać.

Co to jest naprężenie zginające?

Rozpocznijmy naszą dyskusję od definicji naprężenia zginającego. To po prostu stres jest odpowiedzialny za zginanie obrabianego przedmiotu.

W dalszych rozdziałach zobaczymy matematyczne formy naprężeń zginających dla różnych konfiguracji belek i kształtów przekrojów.

Co to jest belka?

Belka to element konstrukcyjny, który służy głównie do podtrzymywania konstrukcji głównej. Belka niekoniecznie jest podporą, sama może być konstrukcją np. mostów i balkonów.

Najczęściej używane belki w przemyśle to: wspornik belki, belki swobodnie podparte i belki ciągłe.

Wzór naprężeń zginających dla belki

Gięcie stres zależy od momentu zginającego, momentu bezwładności przekroju i odległości od osi neutralnej, w której działa obciążenie.

Matematycznie można to przedstawić jako:

σ = mój/ja

czy on jest oddalony od osi neutralnej

ja jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego

Pod względem modułu przekroju-

σ = M/Z

gdzie,

Z jest modułem przekroju belki

M to moment zginający

Jednostki formuły naprężenia zginającego

Wzór na naprężenie zginające można podać jako:

σ = mój/ja

Wzór w jednostkach każdej wielkości można podać jako:

Jednostki = N – mm x mm/mm⁴

Z powyższego możemy wywnioskować, że jednostkami naprężenia zginającego są:

Jednostki = N/mm²

Dopuszczalna formuła naprężeń zginających

Dopuszczalne naprężenie to wartość naprężenia, powyżej której ze względów bezpieczeństwa nie należy stosować naprężeń. Dopuszczalne naprężenie zginające zależy od sztywność zginania materiału.

Połączenia dopuszczalne naprężenie zginające wzór można podać jako-

σ_dozwolone =σ_max/F_s

gdzie,

Fs jest współczynnikiem bezpieczeństwa

Wyprowadzanie formuły naprężeń zginających

Rozważmy przekrój belki, jak pokazano na poniższym schemacie-

Załóżmy, że moment M jest przyłożony do belki. Belka zakrzywia się pod kątem teta i tworzy promień krzywizny R, jak pokazano na rysunku poniżej:

Odkształcenie w osi neutralnej wynosi zero. Natomiast odkształcenie działające na linię, na którą działa siła, podlega odkształceniu. Równoważąc wszystkie wartości odkształceń otrzymujemy odkształcenie całkowite,

(R + y)θ – Rθ/Rθ = y/R

Szczep jest również podawany przez-

Odkształcenie = σ/E

z powyższych równań możemy wywnioskować, że

σ/y = E/R

Teraz,

M = Σ E/R xy²

i,

δA = E/R Σ y² A

M = E/R x I

Z powyższych równań wnioskujemy, że:

σ/y = E/R = M/I

Stąd pochodzi.

Wzór naprężeń zginających dla belki prostokątnej

W zależności od przekroju belki zmienia się moment bezwładności i stąd wzór na naprężenie zginające.

Moment bezwładności prostokąta jest podany jako:

ja = bd³/ 12

Z góry, obezwładniający stres wzór na belkę prostokątną można zapisać jako:

σ = 6M/bd²

Wzór naprężeń zginających dla pustej belki prostokątnej

Belki drążone służą do zmniejszenia ciężaru belki. Te belki mogą być używane w lekkich zastosowaniach.

Rozważmy belkę o wydrążonym przekroju prostokątnym o długości zewnętrznej jako D i długości wewnętrznej jako d, szerokości zewnętrznej jako B i wewnętrznej szerokości jako b.

Moduł przekroju tego przekroju będzie:

Z = 1/6D x (BD³ – bd³)

Stąd wzór na naprężenie zginające dla belki drążonej może być podany przez:

σ = 3M/(BD³ – bd³)

Wzór na naprężenie zginające dla przekroju kołowego

Rozważmy belkę o przekroju kołowym o średnicy D.

Moment bezwładności przekroju kołowego można określić wzorem:

ja = πD⁴/ 64

Z góry możemy zapisać wzór naprężenia zginającego dla belki kołowej jako-

σ = 32M/bd³

Wzór na naprężenie zginające dla wału drążonego

Rozważmy wydrążony okrągły wałek o wewnętrznej średnicy d i zewnętrznej średnicy D.

Moment bezwładności wydrążonego przekroju kołowego można określić jako:

ja = π (D⁴-d⁴) / 64

Z góry naprężenie zginające można zapisać jako:

σ = 32MD/π(D⁴-d⁴)

Formuła naprężeń zginających dla rury

Rura to po prostu wydrążony okrągły wał. Tak więc wzór naprężenia zginającego jest taki sam jak w przypadku wydrążonego okrągłego wału.

To jest,

σ = 32MD/π(D⁴-d⁴)

Maksymalne naprężenie zginające dla swobodnie podpartej belki

Ogólny wzór na naprężenie zginające pozostaje taki sam, jak:

σ = mój/ja

Formuła jest jednak modyfikowana zgodnie z rodzajem obciążenia. Obciążenie może mieć postać obciążenia punktowego, obciążenia równomiernie rozłożonego lub obciążenia równomiernie zmiennego. W dalszych rozdziałach zobaczymy różne wzory dla belek swobodnie podpartych w różnych formach obciążenia.

Co to jest moment zginający?

Reakcja wywołana w elemencie konstrukcyjnym lub efekt zginania powstający w wyniku przyłożenia obciążenia zewnętrznego na belkę (element konstrukcyjny).

Wzór na moment zginający dla różnych konfiguracji belek przy różnych typach obciążeń omówiono w poniższych sekcjach.

Wzór na moment zginający dla belki stałej

Belka stała to rodzaj belki, która jest nieruchoma na obu końcach. Na obu końcach występują siły reakcji. Wzór na moment zginający dla belki stałej pod różnymi rodzajami obciążenia jest podany poniżej:

• Moment zginający pod obciążeniem UDL lub równomiernie rozłożonym

Wzór na moment zginający belki nieruchomej pod UDL jest podany jako:

M = ωL²/ 12

• Moment zginający pod obciążeniem punktowym

Wzór na moment zginający belki nieruchomej pod obciążeniem punktowym jest podany jako:

M = ωL/8

• Moment zginający pod obciążeniem trapezowym lub UVL lub równomiernie zmiennym obciążeniem

Wzór na moment zginający belki nieruchomej pod obciążeniem trapezowym podaje się jako:

M₁ = ωL²/ 30

Po drugiej stronie

M₂ = ωL²/ 20

Wzór na moment zginający dla belki ciągłej

Moment zginający ciągły pod różnymi rodzajami obciążenia pokazano poniżej:

• Moment zginający pod UDL

Aby znaleźć moment zginający belki ciągłej pod obciążeniem równomiernie rozłożonym, musimy znaleźć siły reakcji w punktach końcowych. Następnie musimy zastosować warunki równowagi, czyli suma wszystkich sił poziomych i pionowych wynosi zero oraz momentów wynosi zero. Aby rozwiązać UDL, mnożymy długość przez wielkość UDL. Na przykład, jeśli 2N/m UDL zostanie przyłożone do 4m długości przedmiotu obrabianego, wówczas działające obciążenie netto wyniesie 2×4=8N w środku, czyli 2m.

• Moment zginający pod obciążeniem punktowym

Procedura jest taka sama jak dla UDL. Jedyną różnicą jest to, że tutaj znamy wielkość siły i odległość, na jaką działa, więc nie musimy przekształcać jej w obciążenie punktowe, jak to zrobiliśmy w przypadku UDL.

• Moment zginający pod wpływem UVL lub równomiernie zróżnicowanego obciążenia

Aby rozwiązać UVL, musimy znaleźć obszar trójkąta utworzonego przez UVL. Obszar to wielkość obciążenia punktowego, które będzie działać z powodu UVL. Odległość od wierzchołka będzie wynosić L/3, przy której będzie działać obciążenie punktowe. Pozostała część procedury została omówiona powyżej.

Wzór na moment zginający dla belki prostokątnej

Moment zginający belki nie zależy od kształtu belki. Moment zginający zmieni się zgodnie z warunkami obciążenia i rodzajem belki (bez względu na to, czy jest ona ciągła, podparta na wsporniku itp.).

Jedynie moment bezwładności zmienia się wraz z kształtem przekroju belki. W ten sposób zmienia się formuła naprężeń zginających. Wzór na naprężenie zginające dla przekroju prostokątnego omówiono w powyższym rozdziale.

Wzór na moment zginający dla UDL

UDL lub obciążenie równomiernie rozłożone jest rodzajem obciążenia, które jest przykładane do określonej długości przedmiotu obrabianego i jest równe co do wielkości niezależnie od zastosowania.

Wzór na moment zginający dla UDL różnych konfiguracji belek podano poniżej:

• W razie zamówieenia projektu po prostu obsługiwane Belka-

Wzór na moment zginający swobodnie podpartej belki pod UDL jest podany jako:

M = ωL²/8

• Do belek wspornikowych-

Wzór na moment zginający belki wspornikowej pod UDL jest podany jako:

M = ωL²/2

Wzór na moment zginający dla obciążenia punktowego

Obciążenie punktowe to rodzaj obciążenia, który działa tylko w określonym punkcie na powierzchni przedmiotu obrabianego.

Wzory momentu zginającego dla obciążeń punktowych dla różnych konfiguracji belek podano poniżej:

• Dla łatwo obsługiwanej belki: Wzór na moment zginający belki swobodnie podpartej pod obciążeniem punktowym jest podany jako - M = ωL/4

• Do belki wspornikowej: Wzór na moment zginający belki wspornikowej pod obciążeniem punktowym jest podany jako - M = ωL

W przypadku innych konfiguracji belek wzór na moment zginający omówiono w powyższych rozdziałach.

Wzór na moment zginający dla obciążenia trapezowego

Obciążenie trapezowe to rodzaj obciążenia, który jest przykładany do określonej długości przedmiotu obrabianego i zmienia się liniowo wraz z długością. Obciążenie trapezowe jest kombinacją zarówno UDL, jak i UVL. Załóżmy, że wartość UDL wynosi zero, aby ułatwić nasze obliczenia.

Moment zginający dla różnych konfiguracji belek pod obciążeniem trapezowym podano poniżej:

• Dla łatwo obsługiwanej belki– Moment zginający swobodnie podpartej belki pod obciążeniem trapezowym jest podany jako: M = ωL²/ 12

• Do belki wspornikowej– Moment zginający belki wspornikowej pod obciążeniem trapezowym podaje się jako- M = ωL²/6

W przypadku innych konfiguracji belek wzór omówiono w powyższym rozdziale

Podsumowanie wzoru na moment zginający

Poniższa tabela przedstawia krótkie podsumowanie formuła dla różnych konfiguracji belek pod różnymi rodzajami obciążenia

Podsumowanie wzoru na naprężenie zginające

Poniższa tabela przedstawia krótkie podsumowanie wzoru na naprężenia zginające różnych przekrojów belek