Teoria prawdopodobieństwa: 7 pełnych szybkich faktów

Z koncepcji podejmowania ryzyka wyrosła teoria prawdopodobieństwa. W dzisiejszych czasach gra losowa powoduje wiele komplikacji, takich jak wygranie meczu piłki nożnej, gra w karty, rzucanie monetą lub rzucanie kostką. 

Teoria prawdopodobieństwa jest używana w wielu różnych sektorach i elastyczności teoria prawdopodobieństwa dostarcza narzędzia spełniające prawie tak wiele różnych wymagań. Tutaj omówimy teorię prawdopodobieństwa i kilka przykładów za pomocą kilku podstawowych pojęć i wyników.

LOSOWE EKSPERYMENTY:

„Losowy eksperyment to rodzaj eksperymentu, którego wyniku nie można przewidzieć”.

PRZYKŁADOWA MIEJSCE: 

Zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu nazywany jest przestrzenią próbną, jest zwykle oznaczany literą S i mówi się, że wszystkie wyniki testu są punktem próbkowania.
Np .: Pomyśl o losowym eksperymencie polegającym na rzucaniu 2 monetami na raz. Istnieją 4 wyniki, które stanowią przestrzeń próbną oznaczoną przez, S = {HH, TT, HT, TH}

SZLAK I WYDARZENIE:

Każdy niepusty podzbiór A przestrzeni próbkowania S nazywany jest zdarzeniem. Rozważ eksperyment, aby rzucić monetą. Kiedy rzucamy monetą, możemy znaleźć głowę (H) lub ogon (T). Tutaj rzucanie monetą jest śladem, a zdobycie głowy lub ogona jest zdarzeniem.

WYDARZENIA ZŁOŻONE: 

Zdarzenia uzyskane przez połączenie dwóch lub więcej podstawowych zdarzeń nazywane są zdarzeniami złożonymi lub zdarzeniami podlegającymi rozkładowi.

WYDARZENIA WYDARZENIA:

Całkowita liczba możliwych do osiągnięcia wyników każdego szlaku nazywa się wydarzeniami wyczerpującymi.

Np .: Rzucając kostką potencjalne wyniki to 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub 5 lub 6. Tak więc w rzucie kostką mamy w sumie 6 zdarzeń.

WZAJEMNIE WYŁĄCZNY I WYCIĄGOWY SYSTEM IMPREZ:

Niech S jest przestrzenią próbną losowego eksperymentu, jeśli X₁, X₂,… ..X_n są podzbiorami S i

(i) X_i X_j =Φ dla i ≠ j oraz (ii) X₁ X₂ ……… ∪ X_n =S

Następnie ta kolekcja X₁X₂ ……… ∪ X_n mówi się, że tworzy wzajemnie wykluczający się i wyczerpujący system wydarzeń.

Co to jest niezależność?

Kiedy wyciągamy kartę z kieszeni dobrze dopasowanych kart, a po drugie również wyciągamy kartę z pozostałego pakietu kart (zawierającego 51 kart), to drugie wyciąganie zawiesza się na pierwszym. Ale jeśli, z drugiej strony, wyciągniemy drugą kartę z paczki, wkładając pierwszą wyciągniętą kartę (zastępując ją), to drugie losowanie jest znane jako niezależne od pierwszego.

Przykład:  Wrzucane są dwie monety. Niech pierwsza moneta z orłem będzie wydarzeniem X, a Y będzie drugą monetą pokazującą ogon po rzucie. Dwa zdarzenia X i Y są w zasadzie niezależne.

Przykład:   Wylosowano dwie uczciwe kostki. Jeśli na pierwszej kości pojawi się liczba nieparzysta, traktuj to jako wydarzenie X, a dla drugiej kości parzystą jako zdarzenie Y.

Dwa zdarzenia X i Y są wzajemnie niezależne.

Przykład: Karta jest losowana z talii 52 kart. Jeśli A = karta jest kier, B = karta jest królem i A ⋂ B = karta jest królem kier, a następnie wydarzenia A i B są zależni

KORZYSTNA LICZBA SPRAW: Liczba spraw, które pozwalają na rozpoznanie zdarzenia w procesie, to całkowita liczba zdarzeń pierwotnych, których aspekt któregokolwiek z nich zapewnia zajście zdarzenia.

Co oznacza prawdopodobieństwo 

Jeśli w wyniku arbitralnej demonstracji n niestosowne, równie prawdopodobne i wyczerpujące wyniki, z których m są zgodne z zajściem zdarzenia A, to prawdopodobieństwo wystąpienia A jest dany przez

Zapis prawdopodobieństwa: P (X) = m / n

W przypadku dwóch wydarzeń X i Y,

(i) X′ lub x  lub X^C wskazuje na brak lub zaprzeczenie X.

(ii) X ∪ Y oznacza wystąpienie co najmniej jednego z X i Y.

(iii) X ∩ Y oznacza równoczesne występowanie X i Y.

(iv) X ′ ∩ Y ′ oznacza brak jednego i drugiego X i Y.

(v) X⊆ Y oznacza, że ​​„wystąpienie X oznacza wystąpienie Y”.

Przykład: Wiaderko zawiera 6 czerwonych i 7 czarnych kulek. Znajdź prawdopodobieństwo narysowania kulek koloru czerwonego. 

Rozwiązanie: Razem nie. możliwych sposobów zdobycia 1 kulki = 6 + 7

 Liczba sposobów zdobycia 1 czerwonej kulki = 6 

Prawdopodobieństwo = (liczba korzystnych przypadków) / (całkowita liczba wyczerpujących przypadków) = 6/13

Przykład: Z talii 52 kart losowana jest 1 karta. Znajdź prawdopodobieństwo otrzymania karty królowej.

Rozwiązanie: Kartę królowej można wybrać na 4 sposoby.

 Całkowita liczba sposobów wyboru 1 karty królowej = 52 

Prawdopodobieństwo = liczba korzystnych przypadków / całkowita liczba wyczerpujących przypadków = 4/52 = 1/13

Przykład: Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia:

(a) uzyskanie 4, (b) liczby nieparzystej, (c) liczby parzystej 

zwykłą kostką (sześciokątną). 

Rozwiązanie: Problemem jest kostka

a) Rzucając kostką, jest tylko jeden sposób na uzyskanie 4.

Prawdopodobieństwo = liczba korzystnych przypadków / całkowita liczba wyczerpujących przypadków = 1/6

b) Liczba sposobów wypadnięcia liczby nieparzystej to 1, 3, 5 = 3

Prawdopodobieństwo = liczba korzystnych przypadków / całkowita liczba wyczerpujących przypadków = 3/6 = 1/2

c) Liczba sposobów spadania liczby parzystej to 2, 4, 6 = 3

Prawdopodobieństwo = liczba korzystnych przypadków / całkowita liczba wyczerpujących przypadków = 3/6 = 1/2

Przykład: Jaka jest możliwa szansa na znalezienie króla i królowej, gdy dobierane są 2 karty z talii 52 kart do gry?

Rozwiązanie:  Z zestawu 2 kart można dobrać 52 karty = ⁵²C₂ (52 do wyboru 2) sposoby

⁵² C₂ =52!/2!(52-2)!=(52*51)/2=1326

1 kartę królowej można wybrać z 4 kart królowej = ⁴C₁= 4 drogi (4 do wyboru 1) 

1 kartę króla można pobrać z 4 kart króla = ⁴C₁= 4 drogi (4 do wyboru 1)

Korzystne przypadki = 4 × 4 = 16 sposobów

P (rysunek 1 dama i 1 karta króla) = liczba korzystnych przypadków / całkowita liczba wyczerpujących przypadków = 16/1326 = 8/663

Przykład: Jakie są szanse na uzyskanie 4, 5 lub 6 w pierwszym rzucie i 1, 2, 3 lub 4 w drugim rzucie, jeśli kostka zostanie rzucona dwukrotnie. 

Rozwiązanie:

Niech P (A) = prawdopodobieństwo uzyskania 4, 5 lub 6 w pierwszym rzucie = 3/6 = 1/2

i P (B) = prawdopodobieństwo uzyskania 1, 2, 3 lub 4 w drugim rzucie = 4/6 = 2/3

być wtedy prawdopodobieństwem wydarzeń

Przykład: Książka mająca łącznie 100 stron, jeśli którakolwiek ze stron jest wybrana dowolnie. Jaka jest możliwa szansa, że ​​suma wszystkich cyfr numeru strony wybranej strony wynosi 11.

Rozwiązanie:  Liczba korzystnych sposobów uzyskania 11 to (2, 9), (9, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 7), (7, 4), (5, 6) ), (6, 5)

Stąd wymagane prawdopodobieństwo = 8/100 = 2/25

Przykład: Wiaderko zawiera 10 białych, 6 czerwonych, 4 czarne i 7 niebieskich kulek. Losowo wyciągnięto 5 kulek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 z nich są w kolorze czerwonym, a jeden w kolorze czarnym?

Rozwiązanie: 

Razem nie. kulek = 10 + 6 + 4 + 7 = 27

Z tych 5 kulek można wyciągnąć 27 kulek = 27 wybierz 5 sposobów

= ²⁷C₅=27!/

=(27*26*25*24*23)/(5*4*3*2)=80730

Razem nie. wyczerpujących wydarzeń = 80730

2 czerwone kulki można narysować z 6 czerwonych kulek = 6 sposobów

= ⁶C₂=6!/

=(6*5)/2=15

1 czarną kulkę można wyciągnąć z 4 czarnych kulek = 4 wybierz 1 sposób = ⁴C₁=4

∴ Liczba przypadków korzystnych = 15 × 4 = 60

Stąd wymagane prawdopodobieństwo = liczba korzystnych przypadków Całkowita liczba wyczerpujących przypadków

Wnioski:

   Połączenia teoria prawdopodobieństwa jest bardzo interesujący i ma zastosowanie w naszym codziennym życiu prawdopodobieństwo teoria i przykłady wydają się nam znajome, w rzeczywistości jest to kompletna teoria, która jest używana od wielu dni w wielu technologiach i zastosowaniach. Ten artykuł był tylko przebłyskiem pojęcia prawdopodobieństwa, kolejne artykuły zajmą się szczegółową koncepcją i wynikami prawdopodobieństwa , aby uzyskać więcej informacji, zapoznaj się z książką:

Odniesienie: Zarysy prawdopodobieństwa i statystyki Schauma.

Jeśli jesteś zainteresowany lekturą innych tematów z matematyki, zobacz tutaj.